泰勒公式及其應(yīng)用

./目錄摘要………………1英文摘要…………2第一章緒論……………………3第二章泰勒公式………………51.1泰勒公式的意義………………51.2泰勒公式余項(xiàng)的類型……………51.3泰勒公式………………………6第三章泰勒公式的實(shí)際應(yīng)用………………72.1利用泰勒公式求極限…………72.2利用泰勒公式進(jìn)行近似計(jì)算…………………82.3在不等式證明中的應(yīng)用………92.4泰勒公式在外推上的應(yīng)用……………………102.5求曲線的漸近線方程…………112.6泰勒公式在函數(shù)凹凸性及拐點(diǎn)判斷中的應(yīng)用………………132.7在廣義積分?jǐn)可⑿灾械膽?yīng)用…………………142.8泰勒公式在關(guān)于界的估計(jì)……………………152.9泰勒公式展開的唯一性問題…………………15結(jié)束語………………16致…………………17參考文獻(xiàn)…………18第一章緒論近代微積分的蓬勃發(fā)展,促使幾乎所有的數(shù)學(xué)大師都致力于相關(guān)問題的研究,特別是泰勒,笛卡爾,費(fèi)馬,巴羅,沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世紀(jì)早期英國牛頓學(xué)派最優(yōu)秀代表人物之一的英國數(shù)學(xué)家泰勒,在微積分學(xué)中將函數(shù)展開成無窮級數(shù)而定義出來的.泰勒將函數(shù)展開成級數(shù)從而得到泰勒公式,對于一般函數(shù),設(shè)它在點(diǎn)存在直到階的導(dǎo)數(shù),由這些導(dǎo)數(shù)構(gòu)成一個次多項(xiàng)式稱為函數(shù)在點(diǎn)處的泰勒多項(xiàng)式,若函數(shù)在點(diǎn)存在直至階導(dǎo)數(shù),則有即稱為泰勒公式.眾所周知,泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中非常重要的容,它的理論方法已經(jīng)成為研究函數(shù)極限和估計(jì)誤差等方面不可或缺的數(shù)學(xué)工具,集中體現(xiàn)了微積分"逼近法"的精髓,在近似計(jì)算上有著獨(dú)特的優(yōu)勢,利用它可以將非線性問題化為線性問題,并能滿足很高的精確度要求,在微積分的各個方面都有重要的應(yīng)用.泰勒公式在分析和研究數(shù)學(xué)問題中有著重要作用,它可以應(yīng)用于求極限、判斷函數(shù)極值、求高階導(dǎo)數(shù)在某些點(diǎn)的數(shù)值、判斷廣義積分收斂性、近似計(jì)算、不等式證明等方面.關(guān)于泰勒公式的應(yīng)用,已有許多專家學(xué)者對它產(chǎn)生了濃厚的興趣,它們對某些具體的題目作出了具體的解法,如求極限,判斷函數(shù)凹凸性和收斂性,求漸近線,界的估計(jì)和近似值的計(jì)算等等.雖然泰勒公式應(yīng)用到各個數(shù)學(xué)領(lǐng)域很多,但也還有很多方面學(xué)者還很少提及,因此在這泰勒公式及其應(yīng)用方面我們有研究的必要,并且有很大的空間.泰勒公式不僅在極限和不等式證明中能解決許多問題,同時也是研究分析數(shù)學(xué)的重要工具.其原理是很多函數(shù)都能用泰勒公式表示,又能借助于泰勒公式來研究函數(shù)近似值式和判斷級數(shù)收斂性的問題.因此泰勒公式在數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用中是一種重要的應(yīng)用工具,我們必須掌握它,用泰勒公式這一知識解決更多的數(shù)學(xué)實(shí)際問題.第二章泰勒公式1.1泰勒公式的意義泰勒公式的意義是,用一個次多項(xiàng)式來逼近函數(shù).而多項(xiàng)式具有形式簡單,易于計(jì)算等優(yōu)點(diǎn).泰勒公式由的次泰勒多項(xiàng)式和余項(xiàng)組成,我們來詳細(xì)討論它們.當(dāng)=1時,有,是的曲線在點(diǎn)處的切線〔方程,稱為曲線在點(diǎn)的一次密切,顯然,切線與曲線的差異是較大的,只是曲線的近似.當(dāng)=2時,有,是曲線在點(diǎn)的"二次切線",也稱曲線在點(diǎn)的二次密切.可以看出,二次切線與曲線的接近程度比切線要好.當(dāng)次數(shù)越來越高時,接近程度越來越密切,近似程度也越來越高.1.2泰勒公式余項(xiàng)的類型泰勒公式的余項(xiàng)分為兩類,一類是定性的,一類是定量的,它們的本質(zhì)相同,但性質(zhì)各異.定性的余項(xiàng)如佩亞諾型余項(xiàng),僅表示余項(xiàng)是比〔當(dāng)時高階的無窮小.如,表示當(dāng)時,用近似,誤差〔余項(xiàng)是比高階的無窮小.定量的余項(xiàng)如拉格朗日型余項(xiàng)〔也可以寫成、柯西余項(xiàng)〔如在某些函數(shù)的冪級數(shù)展開時用.定量的余項(xiàng)一般用于函數(shù)值的計(jì)算與函數(shù)形態(tài)的研究.1.3泰勒公式的定義〔1帶有佩亞諾<Peano>型余項(xiàng)的泰勒公式如果函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域具有階導(dǎo)數(shù),則對此鄰域的點(diǎn),有當(dāng)時,上式稱為麥克勞林<Maclaurin>公式.即〔2帶有拉格朗日<Lagrange>型余項(xiàng)的泰勒公式如果函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域具有階導(dǎo)數(shù),則對此鄰域的點(diǎn),有<介于與之間第三章泰勒公式的實(shí)際應(yīng)用2.1利用泰勒公式求極限對于待定型的極限問題,一般可以采用洛比達(dá)法則來求,但是,對于一些求導(dǎo)比較繁瑣,特別是要多次使用洛比達(dá)法則的情況,泰勒公式往往是比洛比達(dá)法則更為有效的求極限工具.利用泰勒公式求極限,一般用麥克勞林公式形式,并采用佩亞諾型余項(xiàng).當(dāng)極限式為分式時,一般要求分子分母展成同一階的麥克勞林公式,通過比較求出極限.例1求分析：此題分母為,如果用洛比達(dá)法則,需連用4次,比較麻煩.而用帶佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式解求較簡單.解：因?yàn)閷Q成有又所以故例2求極限.解：因?yàn)榉帜傅拇螖?shù)為4,所以只要把,展開到的4次冪即可.故帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式是求函數(shù)極限的一個非常有力的工具,運(yùn)用得當(dāng)會使求函數(shù)的極限變得十分簡單.2.2利用泰勒公式進(jìn)行近似計(jì)算例1用的10次泰勒多項(xiàng)式求的近似值,并估計(jì)誤差.解：在的泰勒公式中取,則有由于的精確度值,可以看出這么算得的結(jié)果是比較準(zhǔn)確的.關(guān)于計(jì)算的誤差,則有如下的估計(jì).必須注意,泰勒公式只是一種局部性質(zhì),因此在用它進(jìn)行近似計(jì)算時,不能遠(yuǎn)離,否則效果會比較差,甚至產(chǎn)生完全錯誤的結(jié)果.如在的泰勒多項(xiàng)式中令=1,取它的前10項(xiàng)計(jì)算的近似值,得到=0.64563492…而=0.69314728…,誤差相當(dāng)大,但如改用其他泰勒多項(xiàng)式,如,令只取前兩項(xiàng)便有0.69135…,取前四項(xiàng)則可達(dá)到=0.69312475…,效果比前面好得多.例2當(dāng)很小時,推出的簡單的近似公式.解：當(dāng)很小時,2.3在不等式證明中的應(yīng)用關(guān)于不等式的證明,我們已經(jīng)在前面介紹了多種方法,如利用拉格朗日中值定理來證明不等式,利用函數(shù)的凸性來證明不等式,以及通過討論導(dǎo)數(shù)的符號來得到函數(shù)的單調(diào)性,從而證明不等式的方法.下面我們舉例說明,泰勒公式也是證明不等式的一個重要方法.例1設(shè)在二次可導(dǎo),而且,,試求存在,使.證：由于在的最小值不等于在區(qū)間端點(diǎn)的值,故在存在,使,由費(fèi)馬定理知,.又〔介于與之間由于,不令和,有所以當(dāng)時,,而當(dāng)時,,可見與中必有一個大于或等于8.2.4泰勒公式在外推上的應(yīng)用外推是一種通過將精度較低的近似值進(jìn)行適當(dāng)組合,產(chǎn)生精度較高的近似值的方法,它的基礎(chǔ)是泰勒公式,其原理可以簡述如下.若對于某個值,按參數(shù)算出的近似值可以展開成〔*〔這里先不管的具體形式,那么按參數(shù)算出的近似值就是<**>和與準(zhǔn)確值的誤差都是階的.現(xiàn)在,將后<**>式乘2減去〔*式,便得到也就是說,對兩個階的近似值化了少量幾步四則運(yùn)算進(jìn)行組合之后,卻得到了具有階的近似值.這樣的過程就稱為外推.若進(jìn)行了一次外推之后精度仍未達(dá)到要求,則可以從出發(fā)再次外推,,得到階的近似值.這樣的過程可以進(jìn)行步,直到,滿足預(yù)先給定的精度.外推方法能以較小的待解獲得高精度的結(jié)果,因此是一種非常重要的近似計(jì)算技術(shù).例1單位圓的接正邊形的面積可以表示為,這里,按照泰勒公式因此,其接正邊形的面積可以表示為,用它們作為的近似值,誤差都是量級的.現(xiàn)在將這兩個近似的程度不夠理想的值按以下方式組合：那么通過簡單的計(jì)算就可以知道項(xiàng)被消掉了！也就是說,用近似表示,其精度可以大大提高.2.5求曲線的漸近線方程若曲線上的點(diǎn)到直線的距離在或時趨于零,則稱直線是曲線的一條漸近線.當(dāng)時稱為水平漸近線,否則稱為斜漸近線.顯然,直線是曲線的漸近線的充分必要條件為或如果是曲線的漸近線,則〔或.因此首先有〔或.其次,再由〔或可得〔或反之,如果由以上兩式確定了和,那么是曲線的一條漸近線.中至少有一個成立,則稱直線是曲線的一條漸近線,當(dāng)時,稱為水平漸近線,否則稱為斜漸近線.而如果在趨于某個定值時趨于或,即成立則稱直線是的一條垂直漸近線.注意,如果上面的極限對于成立,則說明直線關(guān)于曲線在和兩個方向上都是漸近線.除上述情況外,如果當(dāng)或時,趨于或,即或,則稱直線是曲線的一條垂直漸近線.例1求的漸近線方程.解：設(shè)的漸近線方程為,則由定義=由此為曲線的漸近線方程。2.6泰勒公式在函數(shù)凹凸性及拐點(diǎn)判斷中的應(yīng)用泰勒公式是高等數(shù)學(xué)的一個重要容,在各個領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用,不少書中利用它來判斷函數(shù)的單調(diào)性、極值,由于泰勒公式的廣泛應(yīng)用,所以嘗試?yán)锰├展絹硌芯亢瘮?shù)的凹凸性何拐點(diǎn).定理1設(shè)在上連續(xù),在上具有一階和二階導(dǎo)數(shù).若在,則在上的圖形是凹的.證明：設(shè)為任意兩點(diǎn),且足夠小.為中的任意兩點(diǎn),記由定理?xiàng)l件的泰勒公式由此,因?yàn)橛囗?xiàng)為的高階無窮小,又為足夠小,所以泰勒公式的符號與相同.又因,所以,可得：即,得.由得任意性,可得在足夠小的區(qū)間上是凹的.再由得任意性,可得在任意一個足夠小的區(qū)間部都是凹向的.定理2若在某個階可導(dǎo),且滿足,且若〔1為奇數(shù),則為拐點(diǎn)；〔2為偶數(shù),則不是拐點(diǎn).證明：寫出在處的泰勒公式因?yàn)閯t,同樣余項(xiàng)是的高階無窮小.所以的符號在的心領(lǐng)域與相同.當(dāng)為奇數(shù)時,顯然在的兩邊,符號相異,即的符號相異,所以為拐點(diǎn).當(dāng)為偶數(shù)時,則的符號相同,所以不是拐點(diǎn).2.8在廣義積分?jǐn)可⑿灾械膽?yīng)用在判定廣義積分?jǐn)可⑿詴r,通常選取廣義積分進(jìn)行比較,在此通過研究無窮小量的階來有效地選中的值,從而簡單地判定的斂散性〔注意到：如果得收斂,則得收斂.研究廣義積分的斂散性.解：因此,,即是的階,而收斂,故收斂,從而.2.9泰勒公式關(guān)于界的估計(jì)我們在數(shù)學(xué)分析課文中學(xué)習(xí)知道了有些函數(shù)是有界的,有的有上節(jié),而有的有下界,再結(jié)合泰勒公式的知識與泰勒公式的廣泛應(yīng)用,這里我們探討泰勒公式關(guān)于界的估計(jì),這里通過例題來分析界的估計(jì).例1設(shè)在上有二階導(dǎo)數(shù),時,.試證：當(dāng)時,.證：所以2.10泰勒公式展開的唯一性問題泰勒公式的展開式有多種,常見的如帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒展開式,帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒展開式,而最為常用的是麥克勞林展開式,它是當(dāng)時的特殊的泰勒公式展開式,現(xiàn)在我們來探討泰勒公式展開式的唯一性.設(shè)是連續(xù)的階導(dǎo)數(shù),在處有展開式：〔1且余項(xiàng)滿足〔2則必有〔3其中.證：根據(jù)泰勒公式,在處可以展開成〔4讓〔1式與〔4式聯(lián)立可得此式令取極限,得.兩邊消去首項(xiàng),再同時除以,然后令取極限,又得.繼續(xù)這樣下去則順次可得式〔3.該例具有重要理論意義,它表明：不論用何種途徑、何種方式得到形如〔1式的展開式,只要余項(xiàng)滿足條件〔2式,則此展開式的系數(shù)必是唯一確定的,它們是〔3式給出的泰勒系數(shù).該結(jié)論的情況自然也成立.由此可知,對于任何多項(xiàng)式而言,必有且.結(jié)束語文章主要對泰勒公式在近似計(jì)算、求極限、證明不等式、外推、求曲線的漸近線方程和判斷級數(shù)收斂性,對函數(shù)凹凸性及拐點(diǎn)判斷、廣義積分?jǐn)可⑿灾械膽?yīng)用關(guān)于界的估計(jì)、和泰勒公式展開的唯一性問題做了簡單系統(tǒng)的介紹和分析,從而體現(xiàn)泰勒公式式在微分學(xué)中占有很重要的地位.致此文得以完成,凝聚了許許多多老師、同事、朋友,親人的心血和關(guān)愛！在我即將完成學(xué)業(yè)之際,謹(jǐn)向四年來給與我無私幫助、支持,關(guān)心和呵護(hù)過我的所有老師、同事、朋友、親人致以最誠摯的意！感城建學(xué)院的華老師,老師作為我的論文指導(dǎo)老師在本文的撰寫過程中給予我大量的指導(dǎo)和幫助,花費(fèi)了很多心血.尤其是在課題設(shè)計(jì)、研究方法、論文撰寫等各個環(huán)節(jié)給予我的指導(dǎo)和幫助.還衷心感徐剛老師、蘭奇遜老師、常勝老師、屈鵬展教授等老師四年來在學(xué)業(yè)上對我的辛勤培養(yǎng)、指導(dǎo)以及學(xué)習(xí)上給予的諸多幫助和支持.老師們嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)與工作態(tài)度使我受益匪淺,也將是我一生的表率.在此也感指導(dǎo)老師對我的指導(dǎo)和關(guān)心.相信在以后的學(xué)習(xí)和實(shí)踐中我們會更加努力,使泰勒公式在各個領(lǐng)域得到更充分的利用.！衷心感我的親人在我四年的大學(xué)生涯中給予我的理解、支持和無私援助,是你們的鼓勵讓我完成了學(xué)業(yè).在此也感指導(dǎo)老師對我的指導(dǎo)和關(guān)心.再一次感所有關(guān)心、支持和幫助過我的老師、同學(xué)、朋友和親人們.參考文獻(xiàn)[1]華東師大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].:高教2001[2]裴禮文編.數(shù)學(xué)分析中的典型問題[M].:高教1993[3]紀(jì)修；於崇華；金路.數(shù)學(xué)分析第二版上冊[M].高等教育,2004[4]清華；