二次根式經(jīng)典總結(jié)

...wd......wd......wd...一、知識(shí)點(diǎn)講解：1．二次根式：一般地，式子叫做二次根式.注意：〔1〕假設(shè)這個(gè)條件不成立，則不是二次根式；〔2〕是一個(gè)重要的非負(fù)數(shù)，即；≥0.2．重要公式：〔1〕,〔2〕；注意使用.3．積的算術(shù)平方根：，積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積；注意：本章中的公式，對(duì)字母的取值范圍一般都有要求.4．二次根式的乘法法則：.5．二次根式比擬大小的方法：〔1〕利用近似值比大小；〔2〕把二次根式的系數(shù)移入二次根號(hào)內(nèi)，然后比大??；〔3〕分別平方，然后比大小.6．商的算術(shù)平方根：，商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方鏟除以除式的算術(shù)平方根.7．二次根式的除法法則：〔1〕；〔2〕；〔3〕分母有理化：化去分母中的根號(hào)叫做分母有理化；具體方法是：分式的分子與分母同乘分母的有理化因式，使分母變?yōu)檎?8．常用分母有理化因式：，，，它們也叫互為有理化因式.9．最簡(jiǎn)二次根式：〔1〕滿足以下兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式，①被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，②被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)的盡的因數(shù)或因式；〔2〕最簡(jiǎn)二次根式中，被開(kāi)方數(shù)不能含有小數(shù)、分?jǐn)?shù)，字母因式次數(shù)低于2，且不含分母；〔3〕化簡(jiǎn)二次根式時(shí)，往往需要把被開(kāi)方數(shù)先分解因數(shù)或分解因式；〔4〕二次根式計(jì)算的最后結(jié)果必須化為最簡(jiǎn)二次根式.10．二次根式化簡(jiǎn)題的幾種類型：〔1〕明顯條件題；〔2〕隱含條件題；〔3〕討論條件題.11．同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開(kāi)方數(shù)一樣，這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式.12．二次根式的混合運(yùn)算：〔1〕二次根式的混合運(yùn)算包括加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方六種代數(shù)運(yùn)算，以前學(xué)過(guò)的，在有理數(shù)范圍內(nèi)的一切公式和運(yùn)算律在二次根式的混合運(yùn)算中都適用；〔2〕二次根式的運(yùn)算一般要先把二次根式進(jìn)展適當(dāng)化簡(jiǎn)，例如：化為同類二次根式才能合并；除法運(yùn)算有時(shí)轉(zhuǎn)化為分母有理化或約分更為簡(jiǎn)便；使用乘法公式等.二、典型例題：知識(shí)點(diǎn)一二次根式的定義形如的式子，叫做二次根式〔1〕二次根式中，被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)。即〔2〕二次根式是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即；≥0.例題1.以下式子中，是二次根式的是〔〕A.-B.C.D.x2、以下各式中、、、、、，二次根式的個(gè)數(shù)是〔〕.A.4B.3C.2D.1知識(shí)點(diǎn)二二次根式有意義的條件二次根式有意義的條件：被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)即有意義<=>例題1．=1\*GB3①〔2010年無(wú)錫〕使有意義的的取值范圍是＿＿＿＿=2\*GB3②〔2010，安徽蕪湖〕要使式子有意義，a的取值范圍是＿＿＿＿=3\*GB3③〔2010·綿陽(yáng)〕要使有意義，則x應(yīng)滿足＿＿＿＿知識(shí)點(diǎn)三：三個(gè)具有非負(fù)性的知識(shí)點(diǎn)〔1〕〔1〕〔2〕〔3〕例題：假設(shè)，試求的值.假設(shè)y=++2009，則x+y=知識(shí)點(diǎn)四：最簡(jiǎn)二次根式被開(kāi)方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式．被開(kāi)方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式．例題1：以下根式中，不是最簡(jiǎn)二次根式的是〔〕A、B、C、D、例題：在根式①；②；③；④中，最簡(jiǎn)二次根式有.知識(shí)點(diǎn)五：同類二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)一樣的二次根式，叫做同類二次根式．化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)一樣的二次根式，叫做同類二次根式．例題1：在以下各組根式中，是同類二次根式的是〔〕A、與B、與C、與D、與例題2：假設(shè)最簡(jiǎn)二次根式與是同類項(xiàng)二次根式，則，.知識(shí)點(diǎn)六：二次根式的性質(zhì)〔1〕〔1〕〔2〕〔3〕例題1：，求的值.例題2：假設(shè)兩個(gè)實(shí)數(shù)的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如以下圖，那么化簡(jiǎn)=〔〕A、B、C、D、知識(shí)點(diǎn)七；分母有理化及有理化因式〔1〕分母有理化：把分母中的根號(hào)化去，叫做分母有理化.〔1〕分母有理化：把分母中的根號(hào)化去，叫做分母有理化.〔2〕有理化因式：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，假設(shè)它們的積不含二次根式，則稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式.例題：在化簡(jiǎn)時(shí)，甲、乙兩人的解法如下：甲：乙：對(duì)于甲、乙兩人的解法，正確的判斷是〔〕A、甲、乙兩人的解法都正確B、甲正確，乙不正確C、甲、乙兩人都不正確D、甲不正確、乙正確變式題：小明與小紅在化簡(jiǎn)時(shí)，兩人解法如下：小明：小紅：對(duì)于甲、乙兩人的解法，正確的判斷是〔〕A、小明、小紅兩人的解法都正確B、小明正確，小紅不正確C、小明、小紅兩人都不正確D、小明不正確、小紅正確知識(shí)點(diǎn)八：根號(hào)的外移與內(nèi)移因式外移與內(nèi)移：因式外移與內(nèi)移：〔1〕被開(kāi)方數(shù)中有的因式能夠開(kāi)得盡，那么就可以用它的算求平方根代替而移到根號(hào)外面.〔2〕被開(kāi)方數(shù)是代數(shù)和的形式，那么先解因式，變形為積的形式，再移因式到根號(hào)外面例題1：將根號(hào)外的移到根號(hào)內(nèi)，得到的值是.例題2：把根號(hào)內(nèi)的因式移到外面，得到的值是.知識(shí)點(diǎn)九：二次根式的運(yùn)算(1)二次根式的加減：先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把同類三次根式分別合并．(1)二次根式的加減：先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把同類三次根式分別合并．(2)二次根式的乘法：二次根式相乘，等于各個(gè)因式的被開(kāi)方數(shù)的積的算術(shù)平方根，即：①②(3)二次根式的除法：通常先寫(xiě)成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根號(hào)化去(或分子、分母約分)．把分母的根號(hào)化去，并將結(jié)果寫(xiě)成最簡(jiǎn)二次根式.即：，例題1：，，則的值等于.例題2：計(jì)算〔1〕〔2〕例題3：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：〔1〕；〔2〕例題4：比擬大?。骸?〕〔2〕例題5：的整數(shù)局部是，小數(shù)局部是.三、針對(duì)性訓(xùn)練：·21.1二次根式：1.使式子有意義的條件是。2.當(dāng)時(shí)，有意義。3.假設(shè)有意義，則的取值范圍是。4.當(dāng)時(shí)，是二次根式。5.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：。6.假設(shè)，則的取值范圍是。7.，則的取值范圍是。8.化簡(jiǎn)：的結(jié)果是。9.當(dāng)時(shí)，。10.把的根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)等于。11.使等式成立的條件是。12.假設(shè)與互為相反數(shù)，則。13.在式子中，二次根式有〔〕A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)14.以下各式一定是二次根式的是〔〕A.B.C.D.15.假設(shè)，則等于〔〕A.B.C.D.16.假設(shè)，則〔〕A.B.C.D.17.假設(shè)，則化簡(jiǎn)后為〔〕A.B.C.D.18.能使等式成立的的取值范圍是〔〕A.B.C.D.19.計(jì)算：的值是〔〕A.0B.C.D.或20.下面的推導(dǎo)中開(kāi)場(chǎng)出錯(cuò)的步驟是〔〕A.B.C.D.21.假設(shè)，求的值。22.當(dāng)取什么值時(shí)，代數(shù)式取值最小，并求出這個(gè)最小值。23.去掉以下各根式內(nèi)的分母：24.，求的值。25.為實(shí)數(shù)，且，求的值。21.2二次根式的乘除1.當(dāng)，時(shí)，。2.假設(shè)和都是最簡(jiǎn)二次根式，則。3.計(jì)算：。4.計(jì)算：。5.長(zhǎng)方形的寬為，面積為，則長(zhǎng)方形的長(zhǎng)約為〔準(zhǔn)確到0.01〕。6.以下各式不是最簡(jiǎn)二次根式的是〔〕A.B.C.D.7.，化簡(jiǎn)二次根式的正確結(jié)果為〔〕A.B.C.D.8.對(duì)于所有實(shí)數(shù)，以下等式總能成立的是〔〕A.B.C.D.9.和的大小關(guān)系是〔〕A.B.C.D.不能確定10.對(duì)于二次根式，以下說(shuō)法中不正確的選項(xiàng)是〔〕A.它是一個(gè)非負(fù)數(shù)B.它是一個(gè)無(wú)理數(shù)C.它是最簡(jiǎn)二次根式D.它的最小值為311.計(jì)算：12.化簡(jiǎn)：13.把根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)：21.3二次根式的加減1.以下根式中，與是同類二次根式的是〔〕A.B.C.D.2.下面說(shuō)法正確的選項(xiàng)是〔〕A.被開(kāi)方數(shù)一樣的二次根式一定是同類二次根式B.與是同類二次根式C.與不是同類二次根式D.同類二次根式是根指數(shù)為2的根式3.與不是同類二次根式的是〔〕A.B.C.D.4.以下根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是〔〕A.B.C.D.5.假設(shè)，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是〔〕A.B.C.3D.-36.假設(shè)，則的值等于〔〕A.4B.C.2D.7.假設(shè)的整數(shù)局部為，小數(shù)局部為，則的值是〔〕A.B.C.1D.38.以下式子中正確的選項(xiàng)是〔〕A.B.C.D.9.在中，與是同類二次根式的是。10.假設(shè)最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，則。11.一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為，則它的周長(zhǎng)是cm。12.假設(shè)最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，則。13.，則。14.，則。15.。16.計(jì)算：⑴.⑵.⑶.⑷.17.計(jì)算及化簡(jiǎn)：⑴.⑵.(3)⑷.18.：，求的值。19.：，求的值。20.：為實(shí)數(shù)，且，化簡(jiǎn)：。21.的值。四、穩(wěn)固練習(xí)A組一、選擇題(2009年湖北武漢)函數(shù)中自變量的取值范圍是〔〕A． B． C． D．〔2009年湖北荊門(mén)〕假設(shè)，則x－y的值為〔〕A．－1B．1〔2009年湖北黃石〕以下根式中，不是最簡(jiǎn)二次根式的是〔〕A． B． C． D．[來(lái)源:Zxxk.Com]〔2009年四川眉山〕估算的值( )A．在1到2之間 B．在2到3之間 C．在3到4之間 D．在4到5之間〔2009年湖南益陽(yáng)〕在電路中，一個(gè)電阻的阻值R和它消耗的電功率P.由電功率計(jì)算公式可得它兩端的電壓U為〔〕Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．〔2009年新疆〕假設(shè)，則的值是〔〕A． B． C． D．二、填空題1.〔2009年河南省〕16的平方根是.2.〔2009年山西省〕計(jì)算：=．3.〔2009年遼寧鐵嶺〕函數(shù)自變量的取值范圍是．4.〔2009年廣西崇左〕當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)的結(jié)果是．5.〔2009年湖北襄樊〕計(jì)算：．6．(2009年上海市)分母有理化：．[來(lái)源:學(xué)?？啤＞W(wǎng)Z。X。X。K]7．〔2009年黑龍江大興安嶺〕計(jì)算：．8.〔2009年廣東佛山〕〔1〕有這樣一個(gè)問(wèn)題：與以下哪些數(shù)相乘，結(jié)果是有理數(shù)A．B．C．D．E．問(wèn)題的答案是〔只需填字母〕：；〔2〕如果一個(gè)數(shù)與相乘的結(jié)果是有理數(shù)，則這個(gè)數(shù)的一般形式是什么〔用代數(shù)式9.〔2009年福建福州〕請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)比小的整數(shù).10.〔2009年湖南湘西自治州〕對(duì)于任意不相等的兩個(gè)數(shù)a，b，定義一種運(yùn)算※如下：a※b=，如3※2=．那么12※4=11．〔2009年浙江嘉興〕當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值是．三、解答題1.(2009年廣東梅州)計(jì)算：．2.〔2009年湖南邵陽(yáng)〕在進(jìn)展二次根式化簡(jiǎn)時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如，，一樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：＝；〔一〕＝〔二〕＝＝〔三〕以上這種化簡(jiǎn)的步驟叫做分母有理化。[來(lái)源:Z。xx。k.Com]還可以用以下方法化簡(jiǎn)：＝〔四〕請(qǐng)用不同的方法化簡(jiǎn)。參照〔三〕式得＝______________________________________________；參照〔四〕式得＝_________________________________________.〔2〕化簡(jiǎn)：.3