復(fù)合期權(quán)理論與方法的研究進展

復(fù)合期權(quán)理論與方法的研究進展

0復(fù)合控制權(quán)理論復(fù)合權(quán)重是記錄權(quán)重的權(quán)利，其研究起源于黑鶴科和斯皮爾在權(quán)重價格方面的創(chuàng)新。他們將股票視為寫在公司價值上的期權(quán),若公司價值是寫在公司債券上的期權(quán),則股票便可表示為寫在公司債券上的復(fù)合期權(quán)。自Geske導(dǎo)出了簡單的兩期復(fù)合歐式期權(quán)模型封閉形式的解以后,復(fù)合期權(quán)模型得到了廣泛的應(yīng)用。復(fù)合期權(quán)模型的本質(zhì)是一系列權(quán)利的嵌套,適合于描述涉及序列決策的問題。譬如許多R&D項目都具有多期特性,只有在前期的研究目標(biāo)達到時才能進入下一期。高科技項目的風(fēng)險投資也是典型的多期投資,若運作過程中預(yù)定的目標(biāo)沒有達到,風(fēng)險投資者也可以選擇放棄下一期投資。企業(yè)在進行戰(zhàn)略決策時,考慮的往往不僅是直接的預(yù)期的現(xiàn)金流,而且還會關(guān)注項目是否會為企業(yè)開啟未來投資機會或者讓企業(yè)在未來的競爭中處于有利地位。這些序列決策問題都可以采用復(fù)合期權(quán)模型來描述。實踐中還有很多的重要課題,如金融資產(chǎn)和實物資產(chǎn)價值評估、并購策略、企業(yè)治理和激勵機制設(shè)計等都涉及到了復(fù)合期權(quán)模型。關(guān)于復(fù)合期權(quán)理論、方法與應(yīng)用的研究一直是眾多學(xué)者關(guān)注的熱點。簡單復(fù)合期權(quán)理論模型主要基于Black-Scholes框架的,其前提假設(shè)非常嚴格,因此在實際應(yīng)用上存在很大的局限性。現(xiàn)有的復(fù)合期權(quán)理論研究主要圍繞如何對簡單復(fù)合期權(quán)模型進行擴展,大致可以從兩個方面上進行歸納。其一是從簡單的二期復(fù)合向多期復(fù)合的推廣。這在理論上并不困難,難點在于計算期權(quán)價值和最優(yōu)策略的復(fù)雜性會隨著期數(shù)的增加而迅速增加,導(dǎo)致了傳統(tǒng)的解析定價方法遇到很大困難。Dixit和Pindyck將多期序列投資看成是多期復(fù)合期權(quán),分別采用動態(tài)規(guī)劃方法和相機權(quán)益分析(CCA)方法建立定價的偏微分方程,在一定的邊界條件下求得復(fù)合期權(quán)價值函數(shù)以及執(zhí)行閾值的解析解,但是只有在某些特定的邊界條件下才能獲得解析解,大多數(shù)情形仍然需要數(shù)值求解。Alvarez和Stenbacka基于馬爾科夫泛函的格林表示提出一種對復(fù)合期權(quán)通用的計算方法,該方法能夠提供系統(tǒng)的方法來計算復(fù)合期權(quán)價值函數(shù)和刻畫期權(quán)的最優(yōu)執(zhí)行規(guī)則。Lin則直接將簡單復(fù)合期權(quán)模型的結(jié)論推廣到多期的情形,給出了歐式多期復(fù)合期權(quán)解的一般形式,且對求解的各種解析近似方法進行了比較。該方法的不足就在于在解的形式中存在著嵌套的高維正態(tài)積分,欲求得問題最終的數(shù)值解,仍需耗費大量的計算資源。其二是對描述標(biāo)的資產(chǎn)價值運動過程的隨機微分方程的改進。在簡單復(fù)合期權(quán)理論中,僅考慮單因素標(biāo)的資產(chǎn)情形,且假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價值的運動可以用幾何布朗運動來描述。由于在復(fù)合期權(quán)情形下,期權(quán)價值對于標(biāo)的資產(chǎn)價值運動參數(shù)的敏感性被放大,因此簡單的幾何布朗運動假設(shè)顯得不切實際。Buraschi和Dumas放松了這個假設(shè),研究了標(biāo)的資產(chǎn)價值服從一般的擴散過程情形下復(fù)合期權(quán)的定價,導(dǎo)出了一個由歐式期權(quán)價格邊界上的前向積分表達的解析定價公式。Geman,EIKaroui和Rochet以及Elettra和Rossella也放松了幾何布朗運動假設(shè),引入更有適應(yīng)性的變波動率,并同時考慮資產(chǎn)價值和利率兩個因素,將復(fù)合期權(quán)模型擴展到兩因素情形。該文沿用傳統(tǒng)的解析求解方法導(dǎo)出兩期歐式復(fù)合看漲期權(quán)的解析定價公式,但該公式的形式與簡單復(fù)合期權(quán)是類似的,也包含有高維積分,當(dāng)擴展到多期情形后會帶來計算上的困難。Herath和Park采用寫在多個互不相關(guān)資產(chǎn)上的多期復(fù)合期權(quán)模型來定價將多期投資,并采用二項式網(wǎng)格方法來定價,但其定價方法過于簡單,既沒有考慮解的精確性和收斂性也沒有考慮最優(yōu)執(zhí)行閾值的確定。由于問題的復(fù)雜性,復(fù)合期權(quán)定價模型僅在有限的情況下可獲得解析解。許多學(xué)者采用現(xiàn)代數(shù)值技術(shù)進行求解。Trigeorgis將二項式定價方法變形,提出一種所謂的“對數(shù)變形的二項式數(shù)值分析方法”來定價復(fù)合期權(quán),在數(shù)值計算中可以獲得很好的一致性,穩(wěn)定性和有效性。Breen混和了二項式模型和Geske和Johnson模型,提出了一種“加速二項式期權(quán)定價模型方法”,達到比傳統(tǒng)二項式模型更快的速度,而且適用于更大的范圍的期權(quán)定價模型。本文將簡單復(fù)合期權(quán)模型同時在兩個方面上進行擴展,在Lin文給出的常波動率多期復(fù)合實物期權(quán)模型基礎(chǔ)上,探討如何引入變波動率。由于波動率是變的,經(jīng)典的多期復(fù)合期權(quán)解析求解框架已是不可行的,難以獲得解的一般形式,本文提出采用數(shù)值方法來求解。二項式期權(quán)定價方法雖然簡單實用,但在多期情形下計算收斂速度較慢,而且計算量隨著期數(shù)的增加而迅速增加。本文采用Dixit和Pindyck的思路,運用CCA方法建立定價的偏微分方程,并提出相應(yīng)的邊界條件。但與之不同的是,由于邊界條件的復(fù)雜性難以從方程中求得解析解,本文提出采用有限差分數(shù)值方法來求解。在本文的最后給出模型在風(fēng)險投資定價上的一個應(yīng)用,結(jié)果表明這種擴展是非常有意義的。1n期復(fù)合實物的資金來源和模型在一個多期項目投資中,投資者在每一期所擁有的投資權(quán)利可以看成一個期權(quán),其價值包含兩部分:該期產(chǎn)生的現(xiàn)金流價值和進行下一期投資的權(quán)利價值。投資者在期末獲得該期現(xiàn)金流,還可以選擇是否執(zhí)行期權(quán)。若執(zhí)行期權(quán),即以一定的執(zhí)行價格(投資成本)來購買下一期的期權(quán)(投資權(quán)利),項目得以繼續(xù)進行;如果放棄執(zhí)行,即保留投資成本而放棄后續(xù)的投資,那么項目就此永久放棄,重復(fù)此決策過程直至到期日。這一系列的投資權(quán)利可以看作是一個多期歐式復(fù)合實物期權(quán)。Lin采用了常波動率多期復(fù)合實物期權(quán)模型來評價高科技項目投資決策(圖1)。模型假設(shè)投資決策時間點預(yù)先給定,決策只能在每一期的期末(即下一期期初)做出。且只有在到期日才產(chǎn)生現(xiàn)金流。圖中,tk,Ik(k=0,…,n)分別表示給定的決策時間點和在該時間點投資者需支付的投資成本;Vt表示在任一時間點t上標(biāo)的項目的價值;Ck表示tk時刻投資者的支付函數(shù)。當(dāng)k=0,…,n-1時,Ck=max(Fk-Ik,0),Fk表示在第k期(即tk到tk+l,之間)期權(quán)(投資機會)價值,若Fk≥Ik,投資者將會支付投資成本Ik,來購買價值Fk為下一期的投資期權(quán),反之投資者將會放棄項目投資。Cn=max(Vn-In,0)表示投資者的最終支付,若Vn≥In投資者將支付In購買價值為Vn的標(biāo)的資產(chǎn),反之投資者將放棄交易。假設(shè)標(biāo)的項目價值Vt服從幾何布朗運動:dVt/Vt=αVdt+σVdz,其中αV和αV分別表示Vt的瞬時期望回報率和瞬時期望波動率,dz表示標(biāo)準維納過程。Lin假定市場上存在著均衡交易的“酷似證券”(twinsecurity)。且與標(biāo)的項目價值期望收益率之間有收益率虧空δ:δ=r+ρVMλMσV-αV,其中r表示無風(fēng)險利率;ρVM表示酷似證券與市場證券組合收益率之間的相關(guān)系數(shù);λM表示為市場證券組合的風(fēng)險市場價格。依據(jù)風(fēng)險中性定價理論,便可在所謂的“風(fēng)險中性環(huán)境”中研究任何衍生資產(chǎn)的定價。任何衍生資產(chǎn)(無論是否可交易)的價值就是在風(fēng)險中性測度下未來現(xiàn)金流的期望值在無風(fēng)險利率下的折現(xiàn)。由于期權(quán)Fk(·)(k=0,…,n-1)是寫在標(biāo)的項目價值Vt上的歐式相機權(quán)益,因此通過對終端支付進行折現(xiàn)就能夠逐期回溯得到多期復(fù)合實物期權(quán)的價值。Lin在文中給出n期復(fù)合實物期權(quán)的封閉形式的解:Fi=Vie-δ(tn-ti)Φn-i(Ηn-i;Rn-i)-n-i∑J=1e-rτJΙJ+iΦJ(ΚJ;RJ),(i=0,?,n-1)Fi=Vie?δ(tn?ti)Φn?i(Hn?i;Rn?i)?∑J=1n?ie?rτJIJ+iΦJ(KJ;RJ),(i=0,?,n?1)其中:ΦJ(H;R)=1(2π)J2|R|1/2R)=1(2π)J2|R|1/2∫hn-∞hn?∞…∫h1-∞h1?∞e-12xΤR-1xdx1?dxJ,(J=1,?,n)e?12xTR?1xdx1?dxJ,(J=1,?,n);RJ=(Rmn)∈RJ×J;Rmn=√τmτn(m=1,2,?JRmn=τmτn???√(m=1,2,?J;n=1,2,…J);τJ=ti+J-ti;HJ≡(hi,1,hi,2,…,hi,J-1,hi,J)′∈RJ×1;KJ≡(ki,1,ki,2,…,ki,J-1,ki,J)′∈RJ×1;hi,j={ln(ViV*i+j)+(r-δ+12σ2V)(ti+j-ti)σV√ti+j-ti(j=1,2,?,n-i-1)ln(ViΙn)+(r-δ+12σ2V)(tn-ti)σV√tn-ti(j=n-i);ki,j=hi,j-σV√ti+j-ti;V*i+j是ti+j時的執(zhí)行閾值,滿足:Fi+j(Xi+j)=Ii+j。從解的形式可以看出,為了從中得到問題最終的數(shù)值解,須計算高維積分ΦJ(J=1,…,n),同時為了求解Xi+j,必須求解非線性的高維嵌套積分函數(shù)的根:Fi+j(Xi+j)-Ii+j=0。因此雖然解的一般形式已經(jīng)給出,但是實際上為了得到問題最終的解仍須耗費巨大的計算資源,尤其對于期數(shù)較多的情形,難以保證計算過程的收斂,不易得到問題的數(shù)值解。2風(fēng)險中性測度的仿真結(jié)果盡管Lin給出的常波動率多期復(fù)合實物期權(quán)模型能夠反映投資的多期特性,但是其模型的常波動率假設(shè)仍是不切實際的。本文通過引入標(biāo)的資產(chǎn)價值的多期運動過程,來反映標(biāo)的資產(chǎn)在各階段具有的不同的風(fēng)險收益特性。為描述簡單起見,假設(shè)整個運作過程只有在到期日才產(chǎn)生現(xiàn)金流。到期日之前出現(xiàn)現(xiàn)金流的情形也可以采用同樣的方法進行分析,沒有本質(zhì)的區(qū)別。同樣假設(shè)投資決策時間點預(yù)先給定,決策只能在每一期的期末做出。在任何決策點,只有當(dāng)期權(quán)的價值高于該時刻投資成本時該期權(quán)才會被執(zhí)行,即進行下一期投資,否則放棄項目。重復(fù)此過程直到期末。圖中,Vk(k+1)(t)(k=0,…,n-1)表示在第k個階段內(nèi)任一時間點t(t∈[tk,tk+1])上標(biāo)的資產(chǎn)的價值;其他符號意義同前。與Lin所作的常波動率假設(shè)不周,下面假設(shè)Vk(k+1)(t)服從如下過程:dVk(k+1)/Vk(k+1)=αk(k+1)dt+σk(k+1)dzk(1)其中,αk(k+1)和σk(k+1)分別表示瞬時期望回報率和瞬時期望波動率,dzk表示標(biāo)準維納過程,且var(dzk,dzk′)=0(k,k′=0,1,…,n-1;k≠k′)。假定αk(k+1)和σk(k+1)可隨k變化,借以描述標(biāo)的資產(chǎn)價值在不同的階段所具有的不同的風(fēng)險收益特征(圖2)。假定在任一階段市場上都存在著對應(yīng)的均衡交易的“酷似證券”,且與標(biāo)的資產(chǎn)價值期望收益率之間有收益率虧空δk(k+1):δk(k+1)=r+ρkMλMσk(k+1)-αk(k+1)其中ρkM表示k階段酷似證券與市場證券組合收益率之間的相關(guān)系數(shù)。然后依據(jù)風(fēng)險中性定價理論,將(1)變換到風(fēng)險中性測度下:dVk(k+1)/Vk(k+1)=(r-δk(k+1))dt+σk(k+1)dz由于投資決策時間點預(yù)先給定,實際上Fk(Vk(k+1),t)是一個寫Vk(k+1)上,到期日為Tk+1=tk+1-tk的一個歐式相機權(quán)益。應(yīng)當(dāng)說明的是,盡管本模型與Lin的模型很類似,但是由于變參數(shù)αk(k+1)和σk(k+1)的引入,通過對終端條件折現(xiàn)逐期回溯的解析求解過程變得異常復(fù)雜,難以解的一般形式。本文沿用Dixit和Pindyck的思路,首先由CCA方法導(dǎo)出任一階段實物期權(quán)價值Fk(Vk(k+1),t)(k=0,…,n-1;t∈[tk,tk+1])應(yīng)當(dāng)滿足的控制方程:?Fk?t+12σ2k(k+1)V2k(k+1)?2Fk?Vk(k+1)2+(r-δk(k+1))×Vk(k+1)?Fk?Vk(k+1)-rFk=0,(k=0,?,n-1)(2)由于在多期復(fù)合期權(quán)中,前后的期權(quán)之間有復(fù)合的關(guān)系,其終端條件和邊界條件的提法是互不相同的。首先考慮最后一期,可以看出Fn-1(·)類似于一個寫在連續(xù)分紅股票上的歐式看漲期權(quán),因此其終端條件的提法是:Fn-1(Vn,Τn)=max(Vn-Ιn,0)(3)當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價值為0時,期權(quán)的價值也為0,因此下邊界條件的提法為:Fn-1(0,t)=0(4)當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價值足夠大時,期權(quán)可以被認為幾乎肯定被執(zhí)行,因此如果不考慮類似分紅因素的影響,期權(quán)價值與標(biāo)的資產(chǎn)價值之間的差異就是最終支付成本的折現(xiàn)。因此上邊界條件的提法為:Fn-1(V(n-1)n,t)[V(n-1)n-Ιne-r(Τn-t)]e-δ(n-1)n(Τn-1)→1,當(dāng)V(n-1)n→+∞.(5)現(xiàn)在往回溯考慮Fk(·)(k=n-2,n-3,…,1,0)的終端條件和邊界條件的提法。Fk(·)是寫在Vk(k+1)上的歐式相機權(quán)益,后一期期權(quán)Fk+1(·)對Fk(·)的影響全部反映在其終端條件上:Fk(Vk+1,Τk+1)=max(Fk+1(Vk+1)-Ιk+1,0)(6)復(fù)合期權(quán)的價值隨標(biāo)的資產(chǎn)價值單調(diào)增加,故期權(quán)Fk(·)的執(zhí)行閾值V*k滿足方程:Fk(V*k,0)=Ιk.(k=0,1,?,n-1).(7)與(4)(5)的提法同理,可以提出Fk+1(·)相應(yīng)的上下邊界條件。下邊界條件的提法為:Fk(0.t)=0.(8)上邊界條件的提法為:Fk(Vk(k+1),t)[Fk+1(Vk(k+1),0)-Ιk+1e-r(Τk+1-t)]e-δk(k+1)(Τk+1-t)→1,當(dāng)Vk(k+1)→+∞.(9)由于多期復(fù)合期權(quán)中期權(quán)前后嵌套,后期期權(quán)的價值函數(shù)進入了前期期權(quán)的終端條件,欲得到方程(2)～(9)的封閉形式的解是非常困難的。注意到模型的求解區(qū)域是規(guī)則的半帶狀區(qū)域(t,Vk(k+1))∈{[tk,tk+1],[0,+∞]},而且邊界條件和終端條件都是第一類邊界條件,因此采用有限差分方法來求解問題將是非常簡單而有效的。3fkzk的差分格式上一節(jié)已經(jīng)給出了變波動率多期復(fù)合實物期權(quán)的定價控制方程,以及各期期權(quán)滿足的終端條件和邊界條件,本節(jié)將詳細描述有限差分方法求解過程。首先做變換zk(k+1)=ln(Vk(k+1)),并代入(2)～(9)式,并將(t,zk(k+1)空間劃分成均勻網(wǎng)格:Τk+1=ΙΔt,ˉzk(k+1)-[ΖΖ(Ζ]z[ΖΖ)]k(k+1)=JΔzk(k+1).其中,t∈[tk,tk+1];zk(k+1)∈[zk(k+1),ˉzk(k+1)],I,J為網(wǎng)格劃分的網(wǎng)格數(shù);ˉzk(k+1)=ln(ˉVk(k+1)),zk(k+1)=ln(Vk(k+1)),ˉVk(k+1)([ΖΖ(Ζ]V[ΖΖ)]k(k+1))是數(shù)值計算過程中需要給定的最大(小)標(biāo)的資產(chǎn)價值,通常取一個很大(小)的正數(shù)。計算過程中采用如下的隱式差分格式:?Fk?t≈Fi+1k,j-Fik,jΔt;?Fk?zk(k+1)≈Fik,j+1-Fik,j-12Δzk(k+1);?2Fk?zk(k+1)2≈Fik,j+1-2Fik,j+Fik,j-1Δzk(k+1)2其中,Fik,j≡Fk(zk(k+1)+jΔzk(k+1),iΔt)。將上述差分格式代入方程并忽略高階項就可以得到差分方程:αFik,j+1+βFik,j+γFik,j-1=Fi+1k,j,(i=0,?,Ι-1;j=1,?,J-1;k=0,1,?,n-1)(10)其中:α?-σk(k+1)2Δt2Δzk(k+1)2-(r-δk(k+1)-12σk(k+1)2)2Δzk(k+1);β?σk(k+1)2Δtδzk(k+1)2+rΔt+1;γ?(r-δk(k+1)-12σk(k+1)2)Δt2Δzk(k+1)-σk(k+1)2Δt2Δzk(k+1)2將(10)式改寫成矩陣形式:[βγαβγαβγ???αβγαβ](Fik,1Fik,2Fik,3?Fik,J-2Fik,J-1)=(Fi+1k,1-αFik,0Fi+1k,2Fik,3?Fi+1k,J-2Fi+1k,J-1-Fik,J),(i=0,?,Ι-1)(11)終端條件(3)和邊界條件(4)(5)變?yōu)?FΙn-1,j=max(e[ΖΖ(Ζ]Ζ[ΖΖ)](n-1)n+jΔz(n-1)n-Ιn,0),(j=0,?,J)(12)Fin-1,0=0,(i=0,?,Ι)(13)Fin-1,J=[eˉz(n-1)n-Ιne-r(Τn-iΔt)]e-δ(n-1)n(Τn-iΔt),(i=0,?,Ι)(14)對于k=(n-2,n-3,…,1,0),終端條件(6)變?yōu)?FΙk,j=max(F0k+1,j-Ιk+1,0),(j=0,?,J)(15)此時可以求得閾值為:V*k=ez*k(k+1)=ezk(k+1)+j*Δzk(k+1)(k=0,1,…,n-1),其中j*使得:F0k,j*=Ιk(16)邊界條件(8)(9)變?yōu)?Fik,0=0,(i=0,?,Ι)(17)Fik,J=F0k+1,Je-δk(k+1)(Τk+1-iΔt)-Ιk+1e-(δk(k+1)+r)(Τk+1-iΔt)?(i=0,?,Ι)(18)這樣,將方程組(11)及邊界條件(12)～(18)聯(lián)立就構(gòu)成了模型的有限差分方法求解方程組,逐期回溯就可以快速的求解出變波動率多期復(fù)合實物期權(quán)在網(wǎng)格點(t,zk(k+1))上的價值。由于本文所采用的差分格式是隱式差分格式,穩(wěn)定性和一致性是有保證的,誤差隨著網(wǎng)格數(shù)I和J的增加而逐漸減小。當(dāng)I和J逐漸增加,有限差分方法的計算結(jié)果就會收斂到問題的解。當(dāng)I和J足夠大時可以近似認為本文采用的有限差分方法的解就是變波動率多期復(fù)合實物期權(quán)的價值。4多期復(fù)合實物管理權(quán)模型風(fēng)險投資是一項高風(fēng)險、高收益的投資活動,在實際運作中通常是以多輪融資的模式進行的。這種模式是與風(fēng)險投資的高風(fēng)險高收益特性、投資的不可逆性以及信息不對稱的特點相對應(yīng)的。它賦予了風(fēng)險投資家更多的柔性來應(yīng)對研發(fā)和經(jīng)營活動中的不確定性、減少由于信息不對稱帶來的經(jīng)營風(fēng)險、以及對經(jīng)理人產(chǎn)生更大的激勵。多期投資模式是風(fēng)險投資活動的重要特征之一。正由于風(fēng)險投資所具有的高收益高風(fēng)險特征及多期投資模式,傳統(tǒng)的基于NPV的評估方法在風(fēng)險投資定價問題上是不適用的。正如Dixit和Pindyck所說:“…thesimpleNPVruleisnotjustwrong;itisoftenverywrong”。而實物期權(quán)(RealOption)方法恰當(dāng)?shù)姆从吵隽嗽诓淮_定性環(huán)境下投資者所擁有的管理柔性和策略柔性,為投資項目和策略提供了更為合理的評估,已成為了一種強有力的定價工具。多期投資決策問題(或稱序列投資決策問題)通常采用一類特殊的實物期權(quán)模型——多期復(fù)合實物期權(quán)模型——來描述。朱東辰等采用多期復(fù)合期權(quán)模型來評估風(fēng)險投資中的風(fēng)險企業(yè)價值,但該文僅給出模型,而未能對計算方法和結(jié)論進行深入的分析和討論。風(fēng)險投資活動一般分為種子階段、創(chuàng)建階段、成長階段、擴張階段和成熟階段(圖3)。風(fēng)險企業(yè)在每一個階段的任務(wù)和目標(biāo)不一樣,也就決定了每一個階段的風(fēng)險企業(yè)價值的風(fēng)險收益特性是有很大差別的。風(fēng)險企業(yè)在初期的任務(wù)是新產(chǎn)品的研發(fā),故初始階段面臨的不確定性主要是技術(shù)成功和技術(shù)完善的不確定性。相對于后期在經(jīng)營和市場上的不確定性而言,這些不確定性更大,風(fēng)險企業(yè)價值的波動更難以預(yù)測。因此直接采用已有的模型來評估風(fēng)險投資是有缺陷的。本文的分析結(jié)論也表明了如果對所有階段中風(fēng)險企業(yè)的價值運動均采用相同的波動率參數(shù),那么模型會明顯低估投資價值,同時高估了期初的執(zhí)行閾值和低估了后期的執(zhí)行閾值。因此,風(fēng)險投資的實物期權(quán)模型除了要反映出風(fēng)險投資項目的多期特性外,應(yīng)當(dāng)進一步適當(dāng)?shù)姆从吵鲲L(fēng)險投資在不同階段所具有的不同風(fēng)險收益特性。本文提出的變波動率多期復(fù)合實物期權(quán)模型具有很強的適應(yīng)性。如果令各階段的參數(shù)相同,即令αi(i+1)=αV及σi(i+1)=σV,那么模型就會退化到常波動率多期復(fù)合實物期權(quán)模型。下面首先在退化情形下對比本文采用的有限差分方法和Lin采用的解析近似計算方法,然后討論引入變波動率的意義,最后分析變波動率模型對波動率的敏感性。由于風(fēng)險投資的階段一般分為種子階段、創(chuàng)建階段、成長階段、擴張階段和成熟階段等五個階段,因此取階段數(shù)n為5,并假定每一階段的時間間隔Tk都是1.5年(k=1,2,…,n)。4.1解析近似方法模型計算的其他參數(shù)見表1。令αi(i+1)=αV及σi(i+1)=σV。在σV=0.1、σV=0.5、σV=0.9的三種情形下分別采用有限差分方法和Lin所采用的解析定價方法計算的復(fù)合實物期權(quán)價值及執(zhí)行閾值。解析近似方法中數(shù)值積分的容許誤差取為10-5;有限差分方法計算中取I=50,J=200,Vk(k+1)=0.01?ˉVk(k+1)=10000(k=0,1,?,n-1)。期權(quán)價值以及執(zhí)行閾值的計算結(jié)果在附錄中給出。從結(jié)果來看符合得很好,絕對差別約在10-1的量級,相對誤差小于3%。同時,在計算速度方面,有限差分算法要比解析近似計算方法快得多,計算時間的對比如圖4所示。解析近似方法涉及到1維到n積分的數(shù)值計算,且要進行1維到(n-1)維積分函數(shù)的求根,非常耗時,計算時間隨著期數(shù)n的增加迅速增加;而利用有限差分算法則非?？?計算時間隨期數(shù)n的增加呈線性增加,且一次計算能夠得到所有網(wǎng)格點上的價值。4.2模型2:常波動率模型如前所述,在風(fēng)險投資的實踐中前后各階段的特性是不一樣的,如種子期投資的風(fēng)險就遠遠大于成熟期,因此用來描述風(fēng)險投資的模型必須要反映出這種特點。在本小節(jié)的討論中假設(shè)變波動率模型中第一期的波動率最大,其后依次遞減:σ01=0.9,σ12=0.5,σ23=0.3,σ34=0.2,σ45=0.1,并采用常波動率模型作為參照。由于常波動率模型不允許波動率上的波動,故選取一個平均波動率(σV=0.4)來進行對比。其他的參數(shù)設(shè)置同上小節(jié)。計算結(jié)果如圖5所示,可以發(fā)現(xiàn)常波動率模型顯著低估了這個多期復(fù)合實物期權(quán)的內(nèi)在價值。執(zhí)行閥值的計算結(jié)果見表2?？梢园l(fā)現(xiàn),如果對所有階段的風(fēng)險企業(yè)價值運動過程均采取相同波動率參數(shù),則在期初(種子期和創(chuàng)建期)會高估了執(zhí)行的閾值,人為設(shè)置了進入障礙,白白浪費投資機會;而在后期(成長期、擴張期和成熟期)則又放低了執(zhí)行閾值,帶來了過大的投資風(fēng)險。因此常波動率模型在實際運用中是有缺陷的,而引入變波動率恰恰能夠彌補這個缺陷。4.3波動率對復(fù)合實物內(nèi)部長期股權(quán)價值的影響Lin在常波動率多期復(fù)合實物期權(quán)模型中,發(fā)現(xiàn)當(dāng)標(biāo)的風(fēng)險企業(yè)的價值較小的時候價值隨著波動率的增加而增加,而當(dāng)風(fēng)險企業(yè)價值較大的時候卻隨著波動率的增加而減少。這個現(xiàn)象與金融期權(quán)理論的結(jié)論是不同的。在本文提出的變波動率多期復(fù)合實物期權(quán)模型中,我們也發(fā)現(xiàn)了類似的現(xiàn)象。考慮一下三種情形。情形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的波動率依次上浮0.1?！袂樾微?σ01=0.6,σ12=0.5,σ23=0.3,σ34=0.2,σ45=0.1;●情形Ⅱ:σ01=0.7,σ12=0.6,σ23=0.4,σ34=0.3,σ45=0.2;●情形Ⅲ:σ01=0.8,σ12=0.7,σ23=0.5,σ34=0.4,σ45=0.3。三種情形下復(fù)合實物期權(quán)價值的數(shù)值計算結(jié)果變化如圖6所示。從計算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)標(biāo)的風(fēng)險企業(yè)價值較小的時候,復(fù)合實物期權(quán)的價