復(fù)合期權(quán)理論與方法的研究進(jìn)展

復(fù)合期權(quán)理論與方法的研究進(jìn)展

0復(fù)合控制權(quán)理論復(fù)合權(quán)重是記錄權(quán)重的權(quán)利，其研究起源于黑鶴科和斯皮爾在權(quán)重價(jià)格方面的創(chuàng)新。他們將股票視為寫(xiě)在公司價(jià)值上的期權(quán),若公司價(jià)值是寫(xiě)在公司債券上的期權(quán),則股票便可表示為寫(xiě)在公司債券上的復(fù)合期權(quán)。自Geske導(dǎo)出了簡(jiǎn)單的兩期復(fù)合歐式期權(quán)模型封閉形式的解以后,復(fù)合期權(quán)模型得到了廣泛的應(yīng)用。復(fù)合期權(quán)模型的本質(zhì)是一系列權(quán)利的嵌套,適合于描述涉及序列決策的問(wèn)題。譬如許多R&D項(xiàng)目都具有多期特性,只有在前期的研究目標(biāo)達(dá)到時(shí)才能進(jìn)入下一期。高科技項(xiàng)目的風(fēng)險(xiǎn)投資也是典型的多期投資,若運(yùn)作過(guò)程中預(yù)定的目標(biāo)沒(méi)有達(dá)到,風(fēng)險(xiǎn)投資者也可以選擇放棄下一期投資。企業(yè)在進(jìn)行戰(zhàn)略決策時(shí),考慮的往往不僅是直接的預(yù)期的現(xiàn)金流,而且還會(huì)關(guān)注項(xiàng)目是否會(huì)為企業(yè)開(kāi)啟未來(lái)投資機(jī)會(huì)或者讓企業(yè)在未來(lái)的競(jìng)爭(zhēng)中處于有利地位。這些序列決策問(wèn)題都可以采用復(fù)合期權(quán)模型來(lái)描述。實(shí)踐中還有很多的重要課題,如金融資產(chǎn)和實(shí)物資產(chǎn)價(jià)值評(píng)估、并購(gòu)策略、企業(yè)治理和激勵(lì)機(jī)制設(shè)計(jì)等都涉及到了復(fù)合期權(quán)模型。關(guān)于復(fù)合期權(quán)理論、方法與應(yīng)用的研究一直是眾多學(xué)者關(guān)注的熱點(diǎn)。簡(jiǎn)單復(fù)合期權(quán)理論模型主要基于Black-Scholes框架的,其前提假設(shè)非常嚴(yán)格,因此在實(shí)際應(yīng)用上存在很大的局限性?，F(xiàn)有的復(fù)合期權(quán)理論研究主要圍繞如何對(duì)簡(jiǎn)單復(fù)合期權(quán)模型進(jìn)行擴(kuò)展,大致可以從兩個(gè)方面上進(jìn)行歸納。其一是從簡(jiǎn)單的二期復(fù)合向多期復(fù)合的推廣。這在理論上并不困難,難點(diǎn)在于計(jì)算期權(quán)價(jià)值和最優(yōu)策略的復(fù)雜性會(huì)隨著期數(shù)的增加而迅速增加,導(dǎo)致了傳統(tǒng)的解析定價(jià)方法遇到很大困難。Dixit和Pindyck將多期序列投資看成是多期復(fù)合期權(quán),分別采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法和相機(jī)權(quán)益分析(CCA)方法建立定價(jià)的偏微分方程,在一定的邊界條件下求得復(fù)合期權(quán)價(jià)值函數(shù)以及執(zhí)行閾值的解析解,但是只有在某些特定的邊界條件下才能獲得解析解,大多數(shù)情形仍然需要數(shù)值求解。Alvarez和Stenbacka基于馬爾科夫泛函的格林表示提出一種對(duì)復(fù)合期權(quán)通用的計(jì)算方法,該方法能夠提供系統(tǒng)的方法來(lái)計(jì)算復(fù)合期權(quán)價(jià)值函數(shù)和刻畫(huà)期權(quán)的最優(yōu)執(zhí)行規(guī)則。Lin則直接將簡(jiǎn)單復(fù)合期權(quán)模型的結(jié)論推廣到多期的情形,給出了歐式多期復(fù)合期權(quán)解的一般形式,且對(duì)求解的各種解析近似方法進(jìn)行了比較。該方法的不足就在于在解的形式中存在著嵌套的高維正態(tài)積分,欲求得問(wèn)題最終的數(shù)值解,仍需耗費(fèi)大量的計(jì)算資源。其二是對(duì)描述標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)值運(yùn)動(dòng)過(guò)程的隨機(jī)微分方程的改進(jìn)。在簡(jiǎn)單復(fù)合期權(quán)理論中,僅考慮單因素標(biāo)的資產(chǎn)情形,且假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)值的運(yùn)動(dòng)可以用幾何布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)描述。由于在復(fù)合期權(quán)情形下,期權(quán)價(jià)值對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)值運(yùn)動(dòng)參數(shù)的敏感性被放大,因此簡(jiǎn)單的幾何布朗運(yùn)動(dòng)假設(shè)顯得不切實(shí)際。Buraschi和Dumas放松了這個(gè)假設(shè),研究了標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)值服從一般的擴(kuò)散過(guò)程情形下復(fù)合期權(quán)的定價(jià),導(dǎo)出了一個(gè)由歐式期權(quán)價(jià)格邊界上的前向積分表達(dá)的解析定價(jià)公式。Geman,EIKaroui和Rochet以及Elettra和Rossella也放松了幾何布朗運(yùn)動(dòng)假設(shè),引入更有適應(yīng)性的變波動(dòng)率,并同時(shí)考慮資產(chǎn)價(jià)值和利率兩個(gè)因素,將復(fù)合期權(quán)模型擴(kuò)展到兩因素情形。該文沿用傳統(tǒng)的解析求解方法導(dǎo)出兩期歐式復(fù)合看漲期權(quán)的解析定價(jià)公式,但該公式的形式與簡(jiǎn)單復(fù)合期權(quán)是類似的,也包含有高維積分,當(dāng)擴(kuò)展到多期情形后會(huì)帶來(lái)計(jì)算上的困難。Herath和Park采用寫(xiě)在多個(gè)互不相關(guān)資產(chǎn)上的多期復(fù)合期權(quán)模型來(lái)定價(jià)將多期投資,并采用二項(xiàng)式網(wǎng)格方法來(lái)定價(jià),但其定價(jià)方法過(guò)于簡(jiǎn)單,既沒(méi)有考慮解的精確性和收斂性也沒(méi)有考慮最優(yōu)執(zhí)行閾值的確定。由于問(wèn)題的復(fù)雜性,復(fù)合期權(quán)定價(jià)模型僅在有限的情況下可獲得解析解。許多學(xué)者采用現(xiàn)代數(shù)值技術(shù)進(jìn)行求解。Trigeorgis將二項(xiàng)式定價(jià)方法變形,提出一種所謂的“對(duì)數(shù)變形的二項(xiàng)式數(shù)值分析方法”來(lái)定價(jià)復(fù)合期權(quán),在數(shù)值計(jì)算中可以獲得很好的一致性,穩(wěn)定性和有效性。Breen混和了二項(xiàng)式模型和Geske和Johnson模型,提出了一種“加速二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型方法”,達(dá)到比傳統(tǒng)二項(xiàng)式模型更快的速度,而且適用于更大的范圍的期權(quán)定價(jià)模型。本文將簡(jiǎn)單復(fù)合期權(quán)模型同時(shí)在兩個(gè)方面上進(jìn)行擴(kuò)展,在Lin文給出的常波動(dòng)率多期復(fù)合實(shí)物期權(quán)模型基礎(chǔ)上,探討如何引入變波動(dòng)率。由于波動(dòng)率是變的,經(jīng)典的多期復(fù)合期權(quán)解析求解框架已是不可行的,難以獲得解的一般形式,本文提出采用數(shù)值方法來(lái)求解。二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)方法雖然簡(jiǎn)單實(shí)用,但在多期情形下計(jì)算收斂速度較慢,而且計(jì)算量隨著期數(shù)的增加而迅速增加。本文采用Dixit和Pindyck的思路,運(yùn)用CCA方法建立定價(jià)的偏微分方程,并提出相應(yīng)的邊界條件。但與之不同的是,由于邊界條件的復(fù)雜性難以從方程中求得解析解,本文提出采用有限差分?jǐn)?shù)值方法來(lái)求解。在本文的最后給出模型在風(fēng)險(xiǎn)投資定價(jià)上的一個(gè)應(yīng)用,結(jié)果表明這種擴(kuò)展是非常有意義的。1n期復(fù)合實(shí)物的資金來(lái)源和模型在一個(gè)多期項(xiàng)目投資中,投資者在每一期所擁有的投資權(quán)利可以看成一個(gè)期權(quán),其價(jià)值包含兩部分:該期產(chǎn)生的現(xiàn)金流價(jià)值和進(jìn)行下一期投資的權(quán)利價(jià)值。投資者在期末獲得該期現(xiàn)金流,還可以選擇是否執(zhí)行期權(quán)。若執(zhí)行期權(quán),即以一定的執(zhí)行價(jià)格(投資成本)來(lái)購(gòu)買下一期的期權(quán)(投資權(quán)利),項(xiàng)目得以繼續(xù)進(jìn)行;如果放棄執(zhí)行,即保留投資成本而放棄后續(xù)的投資,那么項(xiàng)目就此永久放棄,重復(fù)此決策過(guò)程直至到期日。這一系列的投資權(quán)利可以看作是一個(gè)多期歐式復(fù)合實(shí)物期權(quán)。Lin采用了常波動(dòng)率多期復(fù)合實(shí)物期權(quán)模型來(lái)評(píng)價(jià)高科技項(xiàng)目投資決策(圖1)。模型假設(shè)投資決策時(shí)間點(diǎn)預(yù)先給定,決策只能在每一期的期末(即下一期期初)做出。且只有在到期日才產(chǎn)生現(xiàn)金流。圖中,tk,Ik(k=0,…,n)分別表示給定的決策時(shí)間點(diǎn)和在該時(shí)間點(diǎn)投資者需支付的投資成本;Vt表示在任一時(shí)間點(diǎn)t上標(biāo)的項(xiàng)目的價(jià)值;Ck表示tk時(shí)刻投資者的支付函數(shù)。當(dāng)k=0,…,n-1時(shí),Ck=max(Fk-Ik,0),Fk表示在第k期(即tk到tk+l,之間)期權(quán)(投資機(jī)會(huì))價(jià)值,若Fk≥Ik,投資者將會(huì)支付投資成本Ik,來(lái)購(gòu)買價(jià)值Fk為下一期的投資期權(quán),反之投資者將會(huì)放棄項(xiàng)目投資。Cn=max(Vn-In,0)表示投資者的最終支付,若Vn≥In投資者將支付In購(gòu)買價(jià)值為Vn的標(biāo)的資產(chǎn),反之投資者將放棄交易。假設(shè)標(biāo)的項(xiàng)目?jī)r(jià)值Vt服從幾何布朗運(yùn)動(dòng):dVt/Vt=αVdt+σVdz,其中αV和αV分別表示Vt的瞬時(shí)期望回報(bào)率和瞬時(shí)期望波動(dòng)率,dz表示標(biāo)準(zhǔn)維納過(guò)程。Lin假定市場(chǎng)上存在著均衡交易的“酷似證券”(twinsecurity)。且與標(biāo)的項(xiàng)目?jī)r(jià)值期望收益率之間有收益率虧空δ:δ=r+ρVMλMσV-αV,其中r表示無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率;ρVM表示酷似證券與市場(chǎng)證券組合收益率之間的相關(guān)系數(shù);λM表示為市場(chǎng)證券組合的風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)價(jià)格。依據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)理論,便可在所謂的“風(fēng)險(xiǎn)中性環(huán)境”中研究任何衍生資產(chǎn)的定價(jià)。任何衍生資產(chǎn)(無(wú)論是否可交易)的價(jià)值就是在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下未來(lái)現(xiàn)金流的期望值在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率下的折現(xiàn)。由于期權(quán)Fk(·)(k=0,…,n-1)是寫(xiě)在標(biāo)的項(xiàng)目?jī)r(jià)值Vt上的歐式相機(jī)權(quán)益,因此通過(guò)對(duì)終端支付進(jìn)行折現(xiàn)就能夠逐期回溯得到多期復(fù)合實(shí)物期權(quán)的價(jià)值。Lin在文中給出n期復(fù)合實(shí)物期權(quán)的封閉形式的解:Fi=Vie-δ(tn-ti)Φn-i(Ηn-i;Rn-i)-n-i∑J=1e-rτJΙJ+iΦJ(ΚJ;RJ),(i=0,?,n-1)Fi=Vie?δ(tn?ti)Φn?i(Hn?i;Rn?i)?∑J=1n?ie?rτJIJ+iΦJ(KJ;RJ),(i=0,?,n?1)其中:ΦJ(H;R)=1(2π)J2|R|1/2R)=1(2π)J2|R|1/2∫hn-∞hn?∞…∫h1-∞h1?∞e-12xΤR-1xdx1?dxJ,(J=1,?,n)e?12xTR?1xdx1?dxJ,(J=1,?,n);RJ=(Rmn)∈RJ×J;Rmn=√τmτn(m=1,2,?JRmn=τmτn???√(m=1,2,?J;n=1,2,…J);τJ=ti+J-ti;HJ≡(hi,1,hi,2,…,hi,J-1,hi,J)′∈RJ×1;KJ≡(ki,1,ki,2,…,ki,J-1,ki,J)′∈RJ×1;hi,j={ln(ViV*i+j)+(r-δ+12σ2V)(ti+j-ti)σV√ti+j-ti(j=1,2,?,n-i-1)ln(ViΙn)+(r-δ+12σ2V)(tn-ti)σV√tn-ti(j=n-i);ki,j=hi,j-σV√ti+j-ti;V*i+j是ti+j時(shí)的執(zhí)行閾值,滿足:Fi+j(Xi+j)=Ii+j。從解的形式可以看出,為了從中得到問(wèn)題最終的數(shù)值解,須計(jì)算高維積分ΦJ(J=1,…,n),同時(shí)為了求解Xi+j,必須求解非線性的高維嵌套積分函數(shù)的根:Fi+j(Xi+j)-Ii+j=0。因此雖然解的一般形式已經(jīng)給出,但是實(shí)際上為了得到問(wèn)題最終的解仍須耗費(fèi)巨大的計(jì)算資源,尤其對(duì)于期數(shù)較多的情形,難以保證計(jì)算過(guò)程的收斂,不易得到問(wèn)題的數(shù)值解。2風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度的仿真結(jié)果盡管Lin給出的常波動(dòng)率多期復(fù)合實(shí)物期權(quán)模型能夠反映投資的多期特性,但是其模型的常波動(dòng)率假設(shè)仍是不切實(shí)際的。本文通過(guò)引入標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)值的多期運(yùn)動(dòng)過(guò)程,來(lái)反映標(biāo)的資產(chǎn)在各階段具有的不同的風(fēng)險(xiǎn)收益特性。為描述簡(jiǎn)單起見(jiàn),假設(shè)整個(gè)運(yùn)作過(guò)程只有在到期日才產(chǎn)生現(xiàn)金流。到期日之前出現(xiàn)現(xiàn)金流的情形也可以采用同樣的方法進(jìn)行分析,沒(méi)有本質(zhì)的區(qū)別。同樣假設(shè)投資決策時(shí)間點(diǎn)預(yù)先給定,決策只能在每一期的期末做出。在任何決策點(diǎn),只有當(dāng)期權(quán)的價(jià)值高于該時(shí)刻投資成本時(shí)該期權(quán)才會(huì)被執(zhí)行,即進(jìn)行下一期投資,否則放棄項(xiàng)目。重復(fù)此過(guò)程直到期末。圖中,Vk(k+1)(t)(k=0,…,n-1)表示在第k個(gè)階段內(nèi)任一時(shí)間點(diǎn)t(t∈[tk,tk+1])上標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)值;其他符號(hào)意義同前。與Lin所作的常波動(dòng)率假設(shè)不周,下面假設(shè)Vk(k+1)(t)服從如下過(guò)程:dVk(k+1)/Vk(k+1)=αk(k+1)dt+σk(k+1)dzk(1)其中,αk(k+1)和σk(k+1)分別表示瞬時(shí)期望回報(bào)率和瞬時(shí)期望波動(dòng)率,dzk表示標(biāo)準(zhǔn)維納過(guò)程,且var(dzk,dzk′)=0(k,k′=0,1,…,n-1;k≠k′)。假定αk(k+1)和σk(k+1)可隨k變化,借以描述標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)值在不同的階段所具有的不同的風(fēng)險(xiǎn)收益特征(圖2)。假定在任一階段市場(chǎng)上都存在著對(duì)應(yīng)的均衡交易的“酷似證券”,且與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)值期望收益率之間有收益率虧空δk(k+1):δk(k+1)=r+ρkMλMσk(k+1)-αk(k+1)其中ρkM表示k階段酷似證券與市場(chǎng)證券組合收益率之間的相關(guān)系數(shù)。然后依據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)理論,將(1)變換到風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下:dVk(k+1)/Vk(k+1)=(r-δk(k+1))dt+σk(k+1)dz由于投資決策時(shí)間點(diǎn)預(yù)先給定,實(shí)際上Fk(Vk(k+1),t)是一個(gè)寫(xiě)Vk(k+1)上,到期日為T(mén)k+1=tk+1-tk的一個(gè)歐式相機(jī)權(quán)益。應(yīng)當(dāng)說(shuō)明的是,盡管本模型與Lin的模型很類似,但是由于變參數(shù)αk(k+1)和σk(k+1)的引入,通過(guò)對(duì)終端條件折現(xiàn)逐期回溯的解析求解過(guò)程變得異常復(fù)雜,難以解的一般形式。本文沿用Dixit和Pindyck的思路,首先由CCA方法導(dǎo)出任一階段實(shí)物期權(quán)價(jià)值Fk(Vk(k+1),t)(k=0,…,n-1;t∈[tk,tk+1])應(yīng)當(dāng)滿足的控制方程:?Fk?t+12σ2k(k+1)V2k(k+1)?2Fk?Vk(k+1)2+(r-δk(k+1))×Vk(k+1)?Fk?Vk(k+1)-rFk=0,(k=0,?,n-1)(2)由于在多期復(fù)合期權(quán)中,前后的期權(quán)之間有復(fù)合的關(guān)系,其終端條件和邊界條件的提法是互不相同的。首先考慮最后一期,可以看出Fn-1(·)類似于一個(gè)寫(xiě)在連續(xù)分紅股票上的歐式看漲期權(quán),因此其終端條件的提法是:Fn-1(Vn,Τn)=max(Vn-Ιn,0)(3)當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)值為0時(shí),期權(quán)的價(jià)值也為0,因此下邊界條件的提法為:Fn-1(0,t)=0(4)當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)值足夠大時(shí),期權(quán)可以被認(rèn)為幾乎肯定被執(zhí)行,因此如果不考慮類似分紅因素的影響,期權(quán)價(jià)值與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)值之間的差異就是最終支付成本的折現(xiàn)。因此上邊界條件的提法為:Fn-1(V(n-1)n,t)[V(n-1)n-Ιne-r(Τn-t)]e-δ(n-1)n(Τn-1)→1,當(dāng)V(n-1)n→+∞.(5)現(xiàn)在往回溯考慮Fk(·)(k=n-2,n-3,…,1,0)的終端條件和邊界條件的提法。Fk(·)是寫(xiě)在Vk(k+1)上的歐式相機(jī)權(quán)益,后一期期權(quán)Fk+1(·)對(duì)Fk(·)的影響全部反映在其終端條件上:Fk(Vk+1,Τk+1)=max(Fk+1(Vk+1)-Ιk+1,0)(6)復(fù)合期權(quán)的價(jià)值隨標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)值單調(diào)增加,故期權(quán)Fk(·)的執(zhí)行閾值V*k滿足方程:Fk(V*k,0)=Ιk.(k=0,1,?,n-1).(7)與(4)(5)的提法同理,可以提出Fk+1(·)相應(yīng)的上下邊界條件。下邊界條件的提法為:Fk(0.t)=0.(8)上邊界條件的提法為:Fk(Vk(k+1),t)[Fk+1(Vk(k+1),0)-Ιk+1e-r(Τk+1-t)]e-δk(k+1)(Τk+1-t)→1,當(dāng)Vk(k+1)→+∞.(9)由于多期復(fù)合期權(quán)中期權(quán)前后嵌套,后期期權(quán)的價(jià)值函數(shù)進(jìn)入了前期期權(quán)的終端條件,欲得到方程(2)～(9)的封閉形式的解是非常困難的。注意到模型的求解區(qū)域是規(guī)則的半帶狀區(qū)域(t,Vk(k+1))∈{[tk,tk+1],[0,+∞]},而且邊界條件和終端條件都是第一類邊界條件,因此采用有限差分方法來(lái)求解問(wèn)題將是非常簡(jiǎn)單而有效的。3fkzk的差分格式上一節(jié)已經(jīng)給出了變波動(dòng)率多期復(fù)合實(shí)物期權(quán)的定價(jià)控制方程,以及各期期權(quán)滿足的終端條件和邊界條件,本節(jié)將詳細(xì)描述有限差分方法求解過(guò)程。首先做變換zk(k+1)=ln(Vk(k+1)),并代入(2)～(9)式,并將(t,zk(k+1)空間劃分成均勻網(wǎng)格:Τk+1=ΙΔt,ˉzk(k+1)-[ΖΖ(Ζ]z[ΖΖ)]k(k+1)=JΔzk(k+1).其中,t∈[tk,tk+1];zk(k+1)∈[zk(k+1),ˉzk(k+1)],I,J為網(wǎng)格劃分的網(wǎng)格數(shù);ˉzk(k+1)=ln(ˉVk(k+1)),zk(k+1)=ln(Vk(k+1)),ˉVk(k+1)([ΖΖ(Ζ]V[ΖΖ)]k(k+1))是數(shù)值計(jì)算過(guò)程中需要給定的最大(小)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)值,通常取一個(gè)很大(小)的正數(shù)。計(jì)算過(guò)程中采用如下的隱式差分格式:?Fk?t≈Fi+1k,j-Fik,jΔt;?Fk?zk(k+1)≈Fik,j+1-Fik,j-12Δzk(k+1);?2Fk?zk(k+1)2≈Fik,j+1-2Fik,j+Fik,j-1Δzk(k+1)2其中,Fik,j≡Fk(zk(k+1)+jΔzk(k+1),iΔt)。將上述差分格式代入方程并忽略高階項(xiàng)就可以得到差分方程:αFik,j+1+βFik,j+γFik,j-1=Fi+1k,j,(i=0,?,Ι-1;j=1,?,J-1;k=0,1,?,n-1)(10)其中:α?-σk(k+1)2Δt2Δzk(k+1)2-(r-δk(k+1)-12σk(k+1)2)2Δzk(k+1);β?σk(k+1)2Δtδzk(k+1)2+rΔt+1;γ?(r-δk(k+1)-12σk(k+1)2)Δt2Δzk(k+1)-σk(k+1)2Δt2Δzk(k+1)2將(10)式改寫(xiě)成矩陣形式:[βγαβγαβγ???αβγαβ](Fik,1Fik,2Fik,3?Fik,J-2Fik,J-1)=(Fi+1k,1-αFik,0Fi+1k,2Fik,3?Fi+1k,J-2Fi+1k,J-1-Fik,J),(i=0,?,Ι-1)(11)終端條件(3)和邊界條件(4)(5)變?yōu)?FΙn-1,j=max(e[ΖΖ(Ζ]Ζ[ΖΖ)](n-1)n+jΔz(n-1)n-Ιn,0),(j=0,?,J)(12)Fin-1,0=0,(i=0,?,Ι)(13)Fin-1,J=[eˉz(n-1)n-Ιne-r(Τn-iΔt)]e-δ(n-1)n(Τn-iΔt),(i=0,?,Ι)(14)對(duì)于k=(n-2,n-3,…,1,0),終端條件(6)變?yōu)?FΙk,j=max(F0k+1,j-Ιk+1,0),(j=0,?,J)(15)此時(shí)可以求得閾值為:V*k=ez*k(k+1)=ezk(k+1)+j*Δzk(k+1)(k=0,1,…,n-1),其中j*使得:F0k,j*=Ιk(16)邊界條件(8)(9)變?yōu)?Fik,0=0,(i=0,?,Ι)(17)Fik,J=F0k+1,Je-δk(k+1)(Τk+1-iΔt)-Ιk+1e-(δk(k+1)+r)(Τk+1-iΔt)?(i=0,?,Ι)(18)這樣,將方程組(11)及邊界條件(12)～(18)聯(lián)立就構(gòu)成了模型的有限差分方法求解方程組,逐期回溯就可以快速的求解出變波動(dòng)率多期復(fù)合實(shí)物期權(quán)在網(wǎng)格點(diǎn)(t,zk(k+1))上的價(jià)值。由于本文所采用的差分格式是隱式差分格式,穩(wěn)定性和一致性是有保證的,誤差隨著網(wǎng)格數(shù)I和J的增加而逐漸減小。當(dāng)I和J逐漸增加,有限差分方法的計(jì)算結(jié)果就會(huì)收斂到問(wèn)題的解。當(dāng)I和J足夠大時(shí)可以近似認(rèn)為本文采用的有限差分方法的解就是變波動(dòng)率多期復(fù)合實(shí)物期權(quán)的價(jià)值。4多期復(fù)合實(shí)物管理權(quán)模型風(fēng)險(xiǎn)投資是一項(xiàng)高風(fēng)險(xiǎn)、高收益的投資活動(dòng),在實(shí)際運(yùn)作中通常是以多輪融資的模式進(jìn)行的。這種模式是與風(fēng)險(xiǎn)投資的高風(fēng)險(xiǎn)高收益特性、投資的不可逆性以及信息不對(duì)稱的特點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的。它賦予了風(fēng)險(xiǎn)投資家更多的柔性來(lái)應(yīng)對(duì)研發(fā)和經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中的不確定性、減少由于信息不對(duì)稱帶來(lái)的經(jīng)營(yíng)風(fēng)險(xiǎn)、以及對(duì)經(jīng)理人產(chǎn)生更大的激勵(lì)。多期投資模式是風(fēng)險(xiǎn)投資活動(dòng)的重要特征之一。正由于風(fēng)險(xiǎn)投資所具有的高收益高風(fēng)險(xiǎn)特征及多期投資模式,傳統(tǒng)的基于NPV的評(píng)估方法在風(fēng)險(xiǎn)投資定價(jià)問(wèn)題上是不適用的。正如Dixit和Pindyck所說(shuō):“…thesimpleNPVruleisnotjustwrong;itisoftenverywrong”。而實(shí)物期權(quán)(RealOption)方法恰當(dāng)?shù)姆从吵隽嗽诓淮_定性環(huán)境下投資者所擁有的管理柔性和策略柔性,為投資項(xiàng)目和策略提供了更為合理的評(píng)估,已成為了一種強(qiáng)有力的定價(jià)工具。多期投資決策問(wèn)題(或稱序列投資決策問(wèn)題)通常采用一類特殊的實(shí)物期權(quán)模型——多期復(fù)合實(shí)物期權(quán)模型——來(lái)描述。朱東辰等采用多期復(fù)合期權(quán)模型來(lái)評(píng)估風(fēng)險(xiǎn)投資中的風(fēng)險(xiǎn)企業(yè)價(jià)值,但該文僅給出模型,而未能對(duì)計(jì)算方法和結(jié)論進(jìn)行深入的分析和討論。風(fēng)險(xiǎn)投資活動(dòng)一般分為種子階段、創(chuàng)建階段、成長(zhǎng)階段、擴(kuò)張階段和成熟階段(圖3)。風(fēng)險(xiǎn)企業(yè)在每一個(gè)階段的任務(wù)和目標(biāo)不一樣,也就決定了每一個(gè)階段的風(fēng)險(xiǎn)企業(yè)價(jià)值的風(fēng)險(xiǎn)收益特性是有很大差別的。風(fēng)險(xiǎn)企業(yè)在初期的任務(wù)是新產(chǎn)品的研發(fā),故初始階段面臨的不確定性主要是技術(shù)成功和技術(shù)完善的不確定性。相對(duì)于后期在經(jīng)營(yíng)和市場(chǎng)上的不確定性而言,這些不確定性更大,風(fēng)險(xiǎn)企業(yè)價(jià)值的波動(dòng)更難以預(yù)測(cè)。因此直接采用已有的模型來(lái)評(píng)估風(fēng)險(xiǎn)投資是有缺陷的。本文的分析結(jié)論也表明了如果對(duì)所有階段中風(fēng)險(xiǎn)企業(yè)的價(jià)值運(yùn)動(dòng)均采用相同的波動(dòng)率參數(shù),那么模型會(huì)明顯低估投資價(jià)值,同時(shí)高估了期初的執(zhí)行閾值和低估了后期的執(zhí)行閾值。因此,風(fēng)險(xiǎn)投資的實(shí)物期權(quán)模型除了要反映出風(fēng)險(xiǎn)投資項(xiàng)目的多期特性外,應(yīng)當(dāng)進(jìn)一步適當(dāng)?shù)姆从吵鲲L(fēng)險(xiǎn)投資在不同階段所具有的不同風(fēng)險(xiǎn)收益特性。本文提出的變波動(dòng)率多期復(fù)合實(shí)物期權(quán)模型具有很強(qiáng)的適應(yīng)性。如果令各階段的參數(shù)相同,即令αi(i+1)=αV及σi(i+1)=σV,那么模型就會(huì)退化到常波動(dòng)率多期復(fù)合實(shí)物期權(quán)模型。下面首先在退化情形下對(duì)比本文采用的有限差分方法和Lin采用的解析近似計(jì)算方法,然后討論引入變波動(dòng)率的意義,最后分析變波動(dòng)率模型對(duì)波動(dòng)率的敏感性。由于風(fēng)險(xiǎn)投資的階段一般分為種子階段、創(chuàng)建階段、成長(zhǎng)階段、擴(kuò)張階段和成熟階段等五個(gè)階段,因此取階段數(shù)n為5,并假定每一階段的時(shí)間間隔Tk都是1.5年(k=1,2,…,n)。4.1解析近似方法模型計(jì)算的其他參數(shù)見(jiàn)表1。令αi(i+1)=αV及σi(i+1)=σV。在σV=0.1、σV=0.5、σV=0.9的三種情形下分別采用有限差分方法和Lin所采用的解析定價(jià)方法計(jì)算的復(fù)合實(shí)物期權(quán)價(jià)值及執(zhí)行閾值。解析近似方法中數(shù)值積分的容許誤差取為10-5;有限差分方法計(jì)算中取I=50,J=200,Vk(k+1)=0.01?ˉVk(k+1)=10000(k=0,1,?,n-1)。期權(quán)價(jià)值以及執(zhí)行閾值的計(jì)算結(jié)果在附錄中給出。從結(jié)果來(lái)看符合得很好,絕對(duì)差別約在10-1的量級(jí),相對(duì)誤差小于3%。同時(shí),在計(jì)算速度方面,有限差分算法要比解析近似計(jì)算方法快得多,計(jì)算時(shí)間的對(duì)比如圖4所示。解析近似方法涉及到1維到n積分的數(shù)值計(jì)算,且要進(jìn)行1維到(n-1)維積分函數(shù)的求根,非常耗時(shí),計(jì)算時(shí)間隨著期數(shù)n的增加迅速增加;而利用有限差分算法則非?？?計(jì)算時(shí)間隨期數(shù)n的增加呈線性增加,且一次計(jì)算能夠得到所有網(wǎng)格點(diǎn)上的價(jià)值。4.2模型2:常波動(dòng)率模型如前所述,在風(fēng)險(xiǎn)投資的實(shí)踐中前后各階段的特性是不一樣的,如種子期投資的風(fēng)險(xiǎn)就遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于成熟期,因此用來(lái)描述風(fēng)險(xiǎn)投資的模型必須要反映出這種特點(diǎn)。在本小節(jié)的討論中假設(shè)變波動(dòng)率模型中第一期的波動(dòng)率最大,其后依次遞減:σ01=0.9,σ12=0.5,σ23=0.3,σ34=0.2,σ45=0.1,并采用常波動(dòng)率模型作為參照。由于常波動(dòng)率模型不允許波動(dòng)率上的波動(dòng),故選取一個(gè)平均波動(dòng)率(σV=0.4)來(lái)進(jìn)行對(duì)比。其他的參數(shù)設(shè)置同上小節(jié)。計(jì)算結(jié)果如圖5所示,可以發(fā)現(xiàn)常波動(dòng)率模型顯著低估了這個(gè)多期復(fù)合實(shí)物期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值。執(zhí)行閥值的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2?？梢园l(fā)現(xiàn),如果對(duì)所有階段的風(fēng)險(xiǎn)企業(yè)價(jià)值運(yùn)動(dòng)過(guò)程均采取相同波動(dòng)率參數(shù),則在期初(種子期和創(chuàng)建期)會(huì)高估了執(zhí)行的閾值,人為設(shè)置了進(jìn)入障礙,白白浪費(fèi)投資機(jī)會(huì);而在后期(成長(zhǎng)期、擴(kuò)張期和成熟期)則又放低了執(zhí)行閾值,帶來(lái)了過(guò)大的投資風(fēng)險(xiǎn)。因此常波動(dòng)率模型在實(shí)際運(yùn)用中是有缺陷的,而引入變波動(dòng)率恰恰能夠彌補(bǔ)這個(gè)缺陷。4.3波動(dòng)率對(duì)復(fù)合實(shí)物內(nèi)部長(zhǎng)期股權(quán)價(jià)值的影響Lin在常波動(dòng)率多期復(fù)合實(shí)物期權(quán)模型中,發(fā)現(xiàn)當(dāng)標(biāo)的風(fēng)險(xiǎn)企業(yè)的價(jià)值較小的時(shí)候價(jià)值隨著波動(dòng)率的增加而增加,而當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)企業(yè)價(jià)值較大的時(shí)候卻隨著波動(dòng)率的增加而減少。這個(gè)現(xiàn)象與金融期權(quán)理論的結(jié)論是不同的。在本文提出的變波動(dòng)率多期復(fù)合實(shí)物期權(quán)模型中,我們也發(fā)現(xiàn)了類似的現(xiàn)象。考慮一下三種情形。情形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的波動(dòng)率依次上浮0.1。●情形Ⅰ:σ01=0.6,σ12=0.5,σ23=0.3,σ34=0.2,σ45=0.1;●情形Ⅱ:σ01=0.7,σ12=0.6,σ23=0.4,σ34=0.3,σ45=0.2;●情形Ⅲ:σ01=0.8,σ12=0.7,σ23=0.5,σ34=0.4,σ45=0.3。三種情形下復(fù)合實(shí)物期權(quán)價(jià)值的數(shù)值計(jì)算結(jié)果變化如圖6所示。從計(jì)算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)標(biāo)的風(fēng)險(xiǎn)企業(yè)價(jià)值較小的時(shí)候,復(fù)合實(shí)物期權(quán)的價(jià)