《數(shù)列章小結(jié)》示范教學方案

《數(shù)列》教學設(shè)計教學目標教學目標1．引導學生對本章知識進行小結(jié)，構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)圖；2．通過梳理本章知識，總結(jié)并構(gòu)建本章知識網(wǎng)絡(luò)圖，提高對本章知識的理解，弄清知識之間的聯(lián)系以及相互之間的邏輯關(guān)系，掌握本章所學的重點內(nèi)容．教學重難點教學重難點教學重點：引導學生對本章知識進行小結(jié)，構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)圖．教學難點：知識之間的邏輯聯(lián)系．課前準備課前準備PPT課件．教學過程教學過程1．知識結(jié)構(gòu)問題1：本章內(nèi)容有兩大部分，數(shù)列與數(shù)學歸納法，在數(shù)列部分，我們可以用哪幾個關(guān)鍵詞來描述？師生活動：學生思考后回答：定義、通項、特殊數(shù)列、函數(shù)追問1：你能用知識結(jié)構(gòu)圖來表示嗎？師生活動：學生獨立完成并展示交流，教師可用多媒體展示．展示一：展示二：追問2：每一個關(guān)鍵詞都有相應(yīng)的內(nèi)容，如數(shù)列里有數(shù)列的定義和分類、數(shù)列的表示法以及數(shù)列的前n項和與項之間的關(guān)系等，依此思路，你能將上面的知識結(jié)構(gòu)圖再補充上相關(guān)的內(nèi)容嗎？師生活動：學生獨立完成并展示交流，教師可用多媒體展示數(shù)列這一部分的擴展結(jié)構(gòu)圖．追問3：你能將數(shù)列相關(guān)公式用結(jié)構(gòu)圖來表示嗎？師生活動：學生分組討論，然后派代表展示．設(shè)計意圖：通過畫知識結(jié)構(gòu)圖可以讓學生對本章第一部分內(nèi)容有個全面認識和掌握，尤其是數(shù)列知識之間的邏輯關(guān)系．通過給出與數(shù)列有關(guān)的幾個關(guān)鍵詞，然后從這幾個詞出發(fā)，逐漸發(fā)散，把與數(shù)列相關(guān)的各種概念、特殊數(shù)列逐步列入，從而得到這一部分的知識結(jié)構(gòu)圖．在建立框架時，關(guān)鍵詞的提出，以及每個關(guān)鍵詞統(tǒng)領(lǐng)的教學內(nèi)容，對學生尤為重要．問題2：數(shù)學歸納法中，我們可以用哪幾個關(guān)鍵詞來描述？師生活動：學生思考后回答：方法、步驟、證明．追問1：你能用知識結(jié)構(gòu)圖來表示嗎？師生活動：學生回答，教師展示．追問2：你能用更全面一些知識結(jié)構(gòu)圖來表示嗎？師生活動：學生分組討論，然后派代表展示．2．研究思路問題3：你能簡單描述一下數(shù)列內(nèi)容的研究過程和方法嗎？師生活動：學生討論并回答，教師補充說明．從生活中的實例出發(fā)引出了數(shù)列的概念，并以取值規(guī)律最簡單的兩類數(shù)列——等差數(shù)列和等比數(shù)列為例，在研究它們的性質(zhì)的基礎(chǔ)上，推導出了這兩類數(shù)列的通項公式與前n項和公式，還通過建立數(shù)列模型，解決了一些數(shù)學問題和實際問題．數(shù)列的定義建立起了它的序號與項之間的對應(yīng)關(guān)系．數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，因此我們可以用函數(shù)的方法來研究數(shù)列，例如，用表格、圖象和函數(shù)解析式（數(shù)列的通項公式）來表示數(shù)列，建立數(shù)列模型刻畫具有遞推規(guī)律的事物等．而從等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式出發(fā)，我們發(fā)現(xiàn)了等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系．在本章的學習中，我們還常常通過運算發(fā)現(xiàn)數(shù)列的取值規(guī)律，解決與數(shù)列有關(guān)的問題．在本章中，用到了類比、分類討論、函數(shù)與方程以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法．問題4：你能簡單描述一下數(shù)學歸納法這部分內(nèi)容的研究過程和方法嗎？師生活動：學生討論并回答，教師補充說明．從不完全歸納法入手，我們還學習了數(shù)學歸納法．這種方法建立了一種無窮遞推的機制，用有限的步驟證明了與無限多個正整數(shù)有關(guān)的命題，實現(xiàn)了從有限到無限的飛躍．它既是我們證明與正整數(shù)n有關(guān)的命題的一種思想方法，又為我們提供了一種“觀察－歸納－猜想－證明”的思維模式．需要注意的是，數(shù)學歸納法中的兩個步驟是缺一不可的．設(shè)計意圖：通過讓學生回顧不完全歸納法，進而學習數(shù)學歸納法，提高學生的思維深度和高度，進一步提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)．3．具體內(nèi)容問題5：你能對本章的主要知識點進行歸納和整理嗎？師生活動：分組討論并回答，教師加以補充．（一）數(shù)列的概念1．數(shù)列的概念(1)一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列．(2)數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．數(shù)列的第一個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第1項，常用符號a1表示；第二個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第2項，用a2表示……第n個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第n項，用an表示．其中第1項也叫做首項．（3）數(shù)列的一般形式是a1，a2，…，an，…，簡記為{an}．2．數(shù)列與函數(shù)數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到實數(shù)集R的函數(shù)，其自變是序號n，對應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項an，記為an＝f(n)．另一方面，對于函數(shù)y＝f(x)，如果f(n)(n∈N*)有意義，那么f(1)，f(2)，…，f(n)，…，構(gòu)成了一個數(shù)列{f(n)}．數(shù)列可以用列表法、圖象法和解析法來表示．3．數(shù)列的分類類別含義按項的個數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限的數(shù)列無窮數(shù)列項數(shù)無限的數(shù)列按項的變化趨勢遞增數(shù)列從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列常數(shù)列各項相等的數(shù)列擺動數(shù)列從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列4．數(shù)列的通項公式如果數(shù)列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式．通項公式就是數(shù)列的函數(shù)解析式，根據(jù)通項公式可以寫出數(shù)列的各項．5．數(shù)列的遞推公式如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式，知道了首項和遞推公式就能求出數(shù)列的每一項了.6．數(shù)列的通項與前n項和數(shù)列{an}的通項與前n項和Sn的關(guān)系為：【方法技巧】1.根據(jù)數(shù)列的前幾項寫通項公式的具體思路為：(1)先統(tǒng)一項的結(jié)構(gòu)，如都化成分數(shù)、根式等．(2)分析這一結(jié)構(gòu)中變化的部分與不變的部分，探索變化部分的規(guī)律與對應(yīng)序號間的關(guān)系．(3)對于符號交替出現(xiàn)的情況，可先觀察其絕對值，再用或處理符號．或常常用來表示正負相間的變化規(guī)律．(4)對于周期出現(xiàn)的數(shù)列，考慮利用周期函數(shù)的知識解答．2.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn,求an,一般使用公式an=SnSn1(n≥2),但必須注意它成立的條件是n≥2且n∈N*.由SnSn1求得的an,若當n=1時,a1的值不等于S1的值,則數(shù)列的通項公式應(yīng)采用分段表示,即（二）等差數(shù)列1.等差數(shù)列的概念文字語言如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示符號語言an＋1－an＝d(d為常數(shù)，n∈N*),或an－an1＝d(d為常數(shù)，n∈N*且n2)2．等差中項如果a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項，此時a＋b＝2A.3．等差數(shù)列的通項公式首項為a1,公差為d的等差數(shù)列{an}的通項公式為an=a1+（n1）d．4．等差數(shù)列的前n項和公式已知量首項，末項與項數(shù)首項，公差與項數(shù)選用公式5．等差數(shù)列的性質(zhì)（1）等差數(shù)列中奇數(shù)項成等差數(shù)列，偶數(shù)項成等差數(shù)列，下標成等差數(shù)列的項成等差數(shù)列；（2）在等差數(shù)列中，為公差，若p、q、s、tN*,且p＋q＝s＋t，則；（3）等差數(shù)列的前n項和為Sn，則Sn、S2nSn、S3nS2n、…成等差數(shù)列，公差為；(4)項數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列，有，.（5）項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，有，，．【方法技巧】1.等差數(shù)列中通項公式以及前n項和公式，共涉及五個量，常用基本量法知三求二；三個數(shù)成等差數(shù)列，常將三數(shù)設(shè)為ad，a，a+d；2.(1)在等差數(shù)列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一項，使這項及它前面的項皆取正(負)值或零，而它后面的各項皆取負(正)值，則從第1項起到該項的各項的和為最大(小)．由于Sn為關(guān)于n的二次函數(shù)，也可借助二次函數(shù)的圖象或性質(zhì)求解．(2)求等差數(shù)列{an}前n項的絕對值之和，關(guān)鍵是找到數(shù)列{an}的正負項的分界點，然后去掉絕對值號，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的求和問題．（三）等比數(shù)列1.等比數(shù)列的概念一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(顯然q0)．符號語言：．2．等比中項由三個數(shù)a，G，b組成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項．此時，G2=ab．3．等比數(shù)列的通項公式首項為a1,公比為q的等比數(shù)列{an}的通項公式為．4．等比數(shù)列的前n項和公式已知量首項a1、公比q(q≠1)與項數(shù)n首項a1、末項an與公比q(q≠1)首項a1、公比q＝1求和公式5．等比數(shù)列的性質(zhì)（1）等比數(shù)列中奇數(shù)項成等比數(shù)列，偶數(shù)項成等比數(shù)列，下標成等差數(shù)列的項成等比數(shù)列；（2）等比數(shù)列{an}中，若m,n,r,s∈N+，且m+n=r+s，則am·an=ar·as.特別地，若2p=m+n，則ap2=aman.（3）等比數(shù)列的前n項和為Sn，則Sn、S2nSn、S3nS2n、…（Sn不為0）成等比數(shù)列，公比為.【方法技巧】1.等比數(shù)列的通項公式可寫成，知道任意兩項，可以求公比；2.三個數(shù)成等比數(shù)列，常將三數(shù)設(shè)為，a，aq；3.在等比數(shù)列{an}的五個量a1，q，an，n，Sn中，a1與q是最基本的元素，當條件與結(jié)論間的聯(lián)系不明顯時，均可以用a1與q表示an與Sn，從而列方程組求解．在解方程組時經(jīng)常用到兩式相除達到整體消元的目的．這是方程思想與整體思想在數(shù)列中的具體應(yīng)用．（四）數(shù)學歸納法一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：（1）（歸納奠基）證明當（）時命題成立；（2）（歸納遞推）以“當n=k（，k≥）時命題成立”為條件，推出“當n=k+1時命題也成立”.只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從開始的所有正整數(shù)n都成立，這種證明方法稱為數(shù)學歸納法.特別地，當時，命題就對從1開始的正整數(shù)成立，也就是對所有正整數(shù)都成立.【方法技巧】數(shù)學歸納法用來證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，證明的時候需要兩個步驟：一是證明當時命題成立，它為后續(xù)的證明奠定了基礎(chǔ)，故稱之為歸納奠基；二是假設(shè)n=k時命題成立，證明n=k+1時也成立，也就是要證明一個遞推關(guān)系，故稱這一步為歸納遞推.這兩個步驟缺