高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷（一）

高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷（一）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單選題：本題共8題，每題5分，共40分.在每題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C【解析】，所以對應(yīng)的點位于第三象限．2．已知集合，集合且，則（） A． B． C． D．【答案】B【解析】，集合中，由，得，又，所以，，．3．已知角為第二象限角，，則（） A． B． C． D． 【答案】A【解析】因為是第二象限角，所以，，再由，，可得．4．函數(shù)的零點個數(shù)為（） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C【解析】函數(shù)的零點個數(shù)即函數(shù)與的圖象交點的個數(shù)，作圖容易判斷，兩圖象有兩個交點，故原函數(shù)有2個零點．5．“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)美的幾何模型．如圖1，正方體的棱長為2，用一個底面直徑為2的圓柱面去截該正方體，沿著正方體的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一個牟合方蓋（如圖2）． 已知這個牟合方蓋與正方體內(nèi)切球的體積之比為，則正方體除去牟合方蓋后剩余部分的體積為（） A． B． C． D． 【答案】C【解析】正方體的體積為，其內(nèi)切球的體積為，由條件可知牟合方蓋的體積為，故正方體除去牟合方蓋后剩余的部分體積為．6．已知拋物線：（）的焦點為，以為圓心，為半徑的圓與拋物線交于點，，與軸的正半軸交于點，若，則（） A． B． C． D．【答案】A【解析】過點作拋物線準線的垂線，垂足為，由拋物線定義，，設(shè)拋物線準線與軸的交點為，則，所以四邊形是正方形，則，又，所以．7．若函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（） A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，作出函數(shù)和的大致圖象．聯(lián)立和，得交點，的橫坐標分別是，，注意到點是二次函數(shù)圖象的最低點，所以若，則當(dāng)時，單調(diào)遞減，不符合題意；當(dāng)時符合題意；當(dāng)時，會出現(xiàn)，即在時函數(shù)圖象“向下跳躍”，不符合題意；當(dāng)時，符合題意．8．在直角梯形中，，，且，．若線段上存在唯一的點滿足，則線段的長的取值范圍是（） A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，以為坐標原點，和分別為軸和軸正方向建立直角坐標系．設(shè)的長為，則，，所以，解得或，由點存在且唯一，知的長的取值范圍是．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．依據(jù)我國《地表水環(huán)境質(zhì)量標準》，水質(zhì)由高到低可以分為I、II、III、IV、V、劣V類六個類別，其中I、II類水質(zhì)適用于飲用水源地一級保護區(qū)，劣V類水質(zhì)除調(diào)節(jié)局部氣候外，幾乎無使用功能．環(huán)境監(jiān)測部門某一年對全國范圍內(nèi)各大水域的水質(zhì)情況進行監(jiān)測，統(tǒng)計了各水域不同水質(zhì)所占的比例，得到了下面的統(tǒng)計圖．從統(tǒng)計圖中能夠得到的合理推斷是 A．浙閩片河流、西北諸河、西南諸河水質(zhì)情況整體高于其他流域水質(zhì)情況 B．遼河流域I～III類水質(zhì)占比小于 C．黃河流域的水質(zhì)比長江流域的水質(zhì)要好 D．IV、V類水質(zhì)所占的比例最高的是淮河流域 【答案】ABD【解析】由圖易知A，B，D正確，對于C，黃河流域的水質(zhì)比長江流域的水質(zhì)要差．10．已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，是其公比，下列說法正確的是（） A． B． C． D．【答案】BD【解析】遞增的等比數(shù)列包括兩種情況：時，或時，．故，，BD正確．11．已知函數(shù)，設(shè)，，則成立的一個充分條件是（） A． B． C． D． 【答案】CD【解析】易知函數(shù)和函數(shù)都是偶函數(shù)，所以函數(shù)是偶函數(shù)．又當(dāng)時，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．自變量離原點越遠，函數(shù)值越大，所以若，必有．易知只有C，D符合題意．12．對于直角坐標平面內(nèi)的任意兩點，，定義它們之間的一種“距離”：，則下列說法正確的是（） A．若點是線段的中點，則 B．在中，若，則 C．在中， D．在正方形中，有【答案】ACD【解析】對于A，，故A正確；對于B，取，，，則，而，不滿足，故B錯誤；對于C，設(shè)，則，因為，同理，所以，故C正確；對于D，設(shè)正方形的邊長為，當(dāng)正方形的邊與坐標軸平行時，易知，如圖，設(shè)與軸的夾角為，由圖可知，故D正確．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．若對任意的且，函數(shù)的圖象恒過定點，則點的坐標為.【答案】【解析】，所以點的坐標為．14．已知雙曲線：（，）的右頂點為．若到的一條漸近線的距離為1，則的離心率為.【答案】【解析】由已知得的一條漸近線的傾斜角為，即，所以的離心率為．15．已知函數(shù)（）的圖象如圖所示，點和分別是最低點和最高點，是的圖象與軸的一個交點，軸于點，為坐標原點，若且，則.【答案】【解析】由已知得的最小正周期，所以，所以，，則，，所以，化簡得，解得，又，所以．16．在空間直角坐標系中，已知點，，，若平面軸，且，則直線與平面所成的角的正弦值為.【答案】【解析】，，由平面平行于軸，可設(shè)平面的法向量為，則，所以可取，所以，所以直線與平面所成的角的正弦值為．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）某市場研究機構(gòu)為了解用戶在選購相機時品牌因素的影響，用，兩個品牌的相機各拍攝了一張照片，然后隨機調(diào)查了200個人，讓他們從中選出自己認為更好的一張照片．這200個人被分成兩組，其中一組不知道兩張照片分別是哪個品牌的相機拍攝的．稱為“盲測組”；另一組則被告知相關(guān)信息，稱為“對照組”．調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計如下：選擇品牌相機拍攝的照片選擇品牌相機拍攝的照片盲測組6634對照組4456 （1）分別求盲測組和對照組認為品牌相機拍攝的照片更好的概率； （2）判斷是否有的把握認為相機的品牌對用戶有影響． 附：，其中．【答案】（1）；；（2）有把握，理由見解析【解析】（1）由題中數(shù)據(jù)可知： 盲測組認為品牌相機拍攝的照片更好的概率為； 對照組認為品牌相機拍攝的照片更好的概率為． （2）零假設(shè)為：用戶選擇的照片與相機品牌之間無關(guān)，即相機的品牌對用戶無影響． 根據(jù)所給數(shù)據(jù)可得， 因為，根據(jù)獨立性檢驗推斷不成立，即認為相機的品牌對用戶有影響，此推斷犯錯誤的概率不超過，即有的把握認為相機的品牌對用戶有影響．18．（12分）在中，角，，的對邊分別為，，，已知． （1）求角的大?。?（2）若的面積，求的最小值．【答案】（1）；（2）48【解析】（1）由及正弦定理得， 所以，即． 因為，所以． （2）由題意知，即， 由余弦定理知， 即，因此， 當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為48．19．（12分）已知等差數(shù)列滿足，且，，成等差數(shù)列． （1）求數(shù)列的通項公式； （2）證明：數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為， 因為，，成等差數(shù)列，所以， 即， 代入，解得，所以的通項公式為． （2）， 所以， 即數(shù)列的前項和．20．（12分）如圖所示，在多面體中，底面是邊長為2的正方形，底面，底面，點在底面內(nèi)的投影為正方形的中心． （1）在圖中作出平面與平面的交線（不必說出畫法和理由）； （2）設(shè)二面角的大小為，求的長．【答案】（1）作圖見解析；（2）【解析】（1）作圖步驟：如圖，延長與直線交于點，連接．直線即平面與平面的交線． 理由：由已知平面，平面，所以， 又，，共線，所以點，，，共面． 顯然直線與直線不平行，即與必存在交點， 點在平面和平面內(nèi)，又因為點也在平面和平面內(nèi)，所以直線是平面與平面的交線． （2）方法一：如圖所示，以為坐標原點，以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系． 設(shè)（），則，，，所以，， 設(shè)平面的法向量為，則且， 所以，令，則． 同理可得平面的一個法向量為． 由圖可知，的夾角為二面角的平面角的補角， 所以，解得，得． 方法二：連接，． 因為平面，所以， 在正方形中，， 又因為，所以平面． 因為平面，所以，所以平面． 因此就是二面角的平面角． 所以，所以． 因為正方形的邊長為2，所以， 所以， 所以．21．（12分）已知橢圓：（）的右焦點為，上頂點為，過點與軸垂直的直線交于，兩點（點在第一象限），為坐標原點，四邊形是面積為的平行四邊形． （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)點，過點的直線交橢圓于點，，交軸的正半軸于點，點為線段的中點，，求直線的斜率．【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)，將代人橢圓方程，得， 所以，，則， 由四邊形是平行四邊形知，即，得， 所以， 又平行四邊形的面積， 所以，，， 所以橢圓的方程為． （2）易知直線的斜率，設(shè)，則可得直線的方程為， 聯(lián)立，消去整理得． 由，得． 設(shè)，，，， 則， 在中令，得， 所以，， 所以， 解得或（舍去），滿足， 綜上，直線的斜率．22．（12分）已知函數(shù)． （1）求在區(qū)間上的最大值和最小