概率論中幾種具有可加性的分布與關(guān)系

...wd......wd......wd...目錄摘要……………1關(guān)鍵詞…………………………1Abstract………………………1Keywords……………………1引言………………11幾種常見的具有可加性的分布…………11.1二項(xiàng)分布………………21.2泊松分布〔分布〕……………31.3正態(tài)分布···…………………41.4伽瑪分布……………61.5柯西分布………………71.6卡方分布………………72具有可加性的概率分布間的關(guān)系………82.1二項(xiàng)分布的泊松近似…………………82.2二項(xiàng)分布的正態(tài)近似…………………92.3正態(tài)分布與泊松分布間的關(guān)系………102.4正態(tài)分布與柯西分布、卡方分布及卡方分布與伽瑪分布的關(guān)系…113小結(jié)………………………12參考文獻(xiàn)……………………12致謝…………………………13概率論中幾種具有可加性的分布及其關(guān)系摘要概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中概率分布的可加性是一個(gè)十分重要的內(nèi)容.所謂分布的可加性指的是同一類分布的獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布仍屬于此類分布.結(jié)合其特點(diǎn)，這里給出了概率論中幾種具有可加性的分布：二項(xiàng)分布，泊松分布，正態(tài)分布，柯西分布，卡方分布以及伽瑪分布.文章討論了各類分布的性質(zhì)及其可加性的證明，這里給出了證明分布可加性的兩種方法，即利用卷積公式和隨機(jī)變量的特征函數(shù).除此之外，文章就可加性分布之間的各種關(guān)系，如二項(xiàng)分布的泊松近似，棣莫佛-拉普拉斯中心極限定理等，進(jìn)展了不同層次的討論.關(guān)鍵詞概率分布可加性相互獨(dú)立特征函數(shù)SeveralKindsofProbabilityDstributionanditsRelationshipwithAdditiveAbstractProbabilityandmathematicalstatisticsintheprobabilitydistributionofadditivityisaveryimportantcontent.Thedistributionoftheso-calledadditivityreferstothedistributionofthesamekindofindependentrandomvariablesanddistributionarestillbelongtothiskindofdistribution.Combinedwithitscharacteristics,heregivenseveralhasadditivitydistributioninprobabilitytheory:thebinomialdistribution,poissondistributionandnormaldistributionandcauchydistribution,chi-squaredistributionandgammadistribution.Articlediscussesthenatureofallkindsofdistributionanditsproofofadditivity,additiveofproofdistributionarealsogiventwomethods,namelyusingconvolutionformulaandcharacteristicfunctionofarandomvariable.Inaddition,thispapertherelationshipsbetweentheadditivepropertydistribution,suchasthebinomialdistributionofpoissonapproximation,Dimo-Laplace'scentrallimittheorem,andsoon,hascarriedonthedifferentlevelsofdiscussion.KeyWordsprobabilitydistributionadditivitypropertymutualindependencecharacteristicfunction引言概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究大量隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，有時(shí)候我們需要求一些隨機(jī)變量的和的分布，在這些情形中，有一種求和類型比擬特殊，即有限個(gè)相互獨(dú)立且同分布的隨機(jī)變量的和的分布類型不變，這一求和過程稱為概率分布的“可加性〞.概率分布中隨機(jī)變量的可加性是一個(gè)相當(dāng)重要的概念，本文給出了概率論中常見的六種具有可加性的分布，包括二項(xiàng)分布，泊松分布，正態(tài)分布，伽瑪分布，柯西分布和卡方分布.文章最后討論了幾項(xiàng)分布之間的關(guān)系，如二項(xiàng)分布的泊松近似，正態(tài)近似等等.1幾種常見的具有可加性的分布在討論概率分布的可加性之前，我們先來看一下卷積公式和隨機(jī)變量的特征函數(shù),首先來看卷積公式[1]：=1\*GB3①離散場(chǎng)合的卷積公式設(shè)離散型隨機(jī)變量彼此獨(dú)立，且它們的分布列分別是和則的概率分布列可表示為=2\*GB3②連續(xù)場(chǎng)合的卷積公式設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量彼此獨(dú)立，且它們的密度函數(shù)分別是，則它們的和的密度函數(shù)如下其證明如下：的分布函數(shù)是其中為的分布函數(shù)，對(duì)上式兩端進(jìn)展求導(dǎo)，則可得到的密度函數(shù)：即證.在概率分布可加性的證明中，除了卷積公式，我們常用的證明方法還有利用隨機(jī)變量的特征函數(shù).下面我們來討論一下這幾種具有可加性的分布及其可加性證明的過程中卷積公式和特征函數(shù)的應(yīng)用.1.1二項(xiàng)分布1.1.1二項(xiàng)分布的概念如果記為n次伯努利試驗(yàn)中成功〔記為事件A〕的次數(shù)，則的可能取值為0，1，2，……，n.記p為事件A發(fā)生的概率，則記為即因n次伯努利試驗(yàn)的根本結(jié)果可以記作?=〔w1,w2，…?n〕，wi或?yàn)榛驗(yàn)?這樣的w共有2n個(gè)，這個(gè)樣本點(diǎn)w組成了樣本空間Ω.下求的分布列，即求事件{}的概率.假設(shè)某個(gè)樣本點(diǎn)?=〔w1,w2，…?n〕∈{}，意味著w1,w2，…?n中有個(gè)，個(gè)，由獨(dú)立性即可得:()而事件{=}中這樣的w共有個(gè)，所以的分布列為=〔1-p〕，此分布即稱為二項(xiàng)分布，記作.且我們易驗(yàn)證其和恒為.也就是=.n=1時(shí)，二項(xiàng)分布稱為兩點(diǎn)分布，有時(shí)也稱之為分布.二項(xiàng)分布的圖像具有以下特點(diǎn)：=1\*GB3①二項(xiàng)分布的圖像形狀取決于和的大小，隨著的增加，分布圖頂峰逐漸右移.=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，圖像是對(duì)稱的.1.1.2二項(xiàng)分布的可加性定理1.1.1設(shè)而且相互獨(dú)立，記則有證明因所以易知可以取等個(gè)值.根據(jù)卷積公式，事件的概率可以表示為又因所以也就是說，即證！1.2泊松分布分布與二項(xiàng)分布一樣，泊松分布也是一種離散分布，許多隨機(jī)現(xiàn)象，特別是社會(huì)現(xiàn)象與物理學(xué)中的一些隨機(jī)現(xiàn)象都服從于泊松分布.泊松分布可作為描述大量試驗(yàn)中稀有事件出現(xiàn)次數(shù)的概率分布的數(shù)學(xué)模型.1.2.1泊松分布的概率分布列泊松分布的概率分布如下所示：…，其中大于，記作.對(duì)于泊松分布而言，它的參數(shù)即是期望又是它的方差：.又因，===故的方差為=1.2.2泊松分布的可加性定理1.2.1設(shè)隨機(jī)變量，且相互獨(dú)立，則證明此處根據(jù)卷積公式，有所以即證！同樣我們可以利用特征函數(shù)對(duì)其進(jìn)展證明，此處不再贅述.1.3正態(tài)分布1.3.1正態(tài)分布的定義[6]定義1.3對(duì)于已經(jīng)給定的兩個(gè)常數(shù)和>0，定義函數(shù)它含有兩個(gè)參數(shù)和.顯然的，取正值.我們稱密度函數(shù)為的分布為正態(tài)分布，記作，它的分布函數(shù)記為正態(tài)分布的密度函數(shù)的圖像是一條鐘形曲線，中間高兩邊低，而且關(guān)于對(duì)稱，在此處取最大值我們稱為該正態(tài)分布的中心，在附近取值的可能性比擬大，在處有拐點(diǎn).假設(shè)將固定，改變的取值，則越大，曲線峰頂越低，圖像較為平坦；越小，曲線封頂越高，圖像較為陡峭.因此正態(tài)密度函數(shù)的尺度由確定，故稱為尺度參數(shù).同樣的，將固定，而去改變的值，會(huì)發(fā)現(xiàn)圖像沿軸平移而并不改變形狀，也就說明該函數(shù)的位置由決定，故稱其為位置參數(shù).當(dāng)時(shí)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作.它的密度函數(shù)記為，分布函數(shù)記為.則有1.3.2一般正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化對(duì)于正態(tài)分布族標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布只是其中一個(gè)成員.其實(shí)在應(yīng)用中很少有隨機(jī)變量恰好服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可是一般正態(tài)分布均可以利用線性變換轉(zhuǎn)變成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.所以一切與正態(tài)變量有關(guān)的事件的概率均可通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分布求取.定理1.3.1如果隨機(jī)變量，則，其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量.證明記與的分布函數(shù)分別為和，易知因?yàn)檎龖B(tài)分布函數(shù)嚴(yán)格遞增而且處處可導(dǎo)，所以如果記和的密度函數(shù)分別是和，會(huì)有由此即得，即證.對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為因被積函數(shù)為奇函數(shù)，故上述積分值為0，也就是說而對(duì)于一般正態(tài)變量，如果滿足，由數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì)則可得到所以我們可以知道正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望即為其參數(shù).因?yàn)榍?由方差的性質(zhì)也就是說，正態(tài)分布的方差即是其另一個(gè)參數(shù)1.3.3正態(tài)分布的可加性定理1.3.2設(shè)隨機(jī)變量而且和彼此獨(dú)立，且則有證明知服從于正態(tài)分布，且它們的密度函數(shù)分別是又因彼此獨(dú)立，所以這正是數(shù)學(xué)期望為方差為的正態(tài)分布的特征函數(shù)，即證！我們同樣可以使用連續(xù)場(chǎng)合的卷積公式進(jìn)展證明，詳見文獻(xiàn)[5]，此處不再贅述.1.4伽瑪分布在討論伽瑪分布之前，我們先來看一下伽瑪函數(shù)：我們稱為伽瑪函數(shù)，為其參數(shù).它的性質(zhì)如下：=1\*GB3①=2\*GB3②取自然數(shù)的時(shí)候，有1.4.1伽瑪分布的定義定義1.4如果隨機(jī)變量的密度函數(shù)為就稱作服從伽瑪分布，記為且的值均大于0.為伽瑪分布的形狀參數(shù)，為其尺度參數(shù).當(dāng)時(shí)，為嚴(yán)格單調(diào)遞減的函數(shù)，在處取得奇異點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，亦嚴(yán)格單調(diào)減，且時(shí)有當(dāng)時(shí)，為單峰函數(shù)，先上凸然后下凸；當(dāng)時(shí)，先下凸再上凸，最后下凸.而且隨著的增大，逐漸接近于正態(tài)分布的密度函數(shù).1.4.2伽瑪分布的可加性定理1.4.1設(shè)隨機(jī)變量且和彼此獨(dú)立，則證明知且與彼此獨(dú)立，所以此即為的特征函數(shù)，根據(jù)惟一性定理則可知結(jié)論得證！如正態(tài)分布，對(duì)于伽瑪分布，我們同樣可以利用連續(xù)場(chǎng)合的卷積公式對(duì)其可加性進(jìn)展證明，詳見文獻(xiàn)[5];1.5柯西分布[4]1.5.1柯西分布的密度函數(shù)柯西分布是幾個(gè)常見的連續(xù)分布之一.它的密度函數(shù)為時(shí)的柯西分布密度函數(shù)稱為標(biāo)準(zhǔn)柯西分布密度函數(shù)，即為方便起見，往后我們分別記這兩類密度函數(shù)為和對(duì)于柯西分布的數(shù)學(xué)期望和方差，因所以不收斂，故柯西分布的數(shù)學(xué)期望與方差均不存在.1.5.2柯西分布的可加性定理1.5.1設(shè)隨機(jī)變量且彼此獨(dú)立，則有證明因均服從于柯西分布，且的特征函數(shù)分別是又因彼此獨(dú)立，所以這恰好就是參數(shù)為的柯西分布的特征函數(shù)，所以即證！1.6卡方分布〔分布〕1.6.1卡方分布〔分布〕的定義及密度函數(shù)定義1.6[7]設(shè)獨(dú)立同分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分布則稱所服從的分布為自由度為的卡方分布，記為卡方分布的密度函數(shù)為1.6.2卡方分布可加性卡方分布密度函數(shù)的圖像是一個(gè)只取非負(fù)值的偏態(tài)圖像.它的圖像隨著自由度的增加而逐漸趨于對(duì)稱，當(dāng)自由度時(shí)，其圖像趨于正態(tài)分布的圖像.這也從另一個(gè)側(cè)面告訴我們，卡方分布是由其自由度決定的，不同的自由度對(duì)應(yīng)了不同的卡方分布.由1.6.1，我們可以知道卡方分布即伽瑪分布的一個(gè)特例，所以由伽瑪分布的可加性我們易知卡方分布亦滿足可加性定理，即定理1.6.1[5]設(shè)且彼此獨(dú)立，則有證明由卡方分布的定義，設(shè)且彼此獨(dú)立.則有，從從卡方分布的定義，因此即證！2具有可加性的概率分布間的關(guān)系2.1二項(xiàng)分布的泊松近似[4]當(dāng)?shù)娜≈岛艽髸r(shí)，二項(xiàng)分布的計(jì)算是令人頭疼的.這里介紹了泊松分布的一個(gè)十分有用的特性，我們可利用泊松分布作為二項(xiàng)分布的一種特殊近似，即二項(xiàng)分布的泊松近似.下面我們來看泊松定理，當(dāng)取值較大，而取值偏小的情況下使用泊松定理，可大大減小二項(xiàng)分布的計(jì)算量.定理2.1[8]〔定理)在重伯努利試驗(yàn)中，記事件在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為它與試驗(yàn)發(fā)生的次數(shù)有關(guān)，假設(shè)當(dāng)時(shí)，有即則對(duì)任意給定的〔為非負(fù)整數(shù)〕，有證明設(shè)則有所以由有，則對(duì)于給定的值，有且；所以有即證！因定理的條件之一為所以在二項(xiàng)分布的計(jì)算中，假設(shè)值很大，的值卻很小，且的大小適中時(shí)〔一般認(rèn)為當(dāng)且時(shí)〕，二項(xiàng)分布可以使用參數(shù)為的泊松分布來做近似，即有此即為二項(xiàng)分布的泊松近似，而且的值應(yīng)盡可能的大，這樣計(jì)算結(jié)果才能更準(zhǔn)確.二項(xiàng)分布的泊松近似經(jīng)常被用于稀有事件〔即每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率很小〕的研究中，大量實(shí)例說明，一般情況下概率時(shí)，泊松近似非常好用，甚至的取值不必很大.2.2二項(xiàng)分布的正態(tài)近似定理2.2[7]〔棣莫佛-拉普拉斯〔〕極限定理〕設(shè)隨機(jī)變量〔〕，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)，有證明因隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，所以可看做是個(gè)相互獨(dú)立的且服從于同一參數(shù)的兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量的和，即而且根據(jù)中心極限定理，有定理得證！中心極限定理說明，相當(dāng)大時(shí)，服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的概率的計(jì)算服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的計(jì)算.也就是說，二項(xiàng)分布可以用正態(tài)分布來近似計(jì)算.比方，在比擬大的時(shí)候的計(jì)算量時(shí)十分大的.根據(jù)中心極限定理，因近似服從于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，或者說是近似服從于分布，也就是說對(duì)于有我們只需查一下標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，就可以求出我們需要的相當(dāng)準(zhǔn)確的值.但是，當(dāng)較大或者較小時(shí)近似效果可能差一些，利用公式時(shí)的值最好滿足另外，因二項(xiàng)分布是離散分布，正態(tài)分布是連續(xù)分布，所以在我們實(shí)際的應(yīng)用中，為減小誤差，常常使用來替換式.2.3正態(tài)分布與泊松分布之間的關(guān)系[9]由上面的定理2.1和定理2.2我們可以知道，二項(xiàng)分布可以用泊松分布來做近似，同樣也可以用正態(tài)分布來近似.所以，從某個(gè)方面來說，泊松分布與正態(tài)分布也具有某種近似的關(guān)系，首先我們來看特征函數(shù)的連續(xù)性定理.定理2.3.1[11]分布函數(shù)列弱收斂于分布函數(shù)的充分必要條件是它的相應(yīng)的特征函數(shù)列收斂于的特征函數(shù)定理2.3.2[11]設(shè)隨機(jī)變量則有證明知服從泊松分布，則的特征函數(shù)為所以的特征函數(shù)是對(duì)于任何一個(gè)我們有所以有因此對(duì)于任意的點(diǎn)列有又知是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的特征函數(shù)，因此由連續(xù)性定理可以得到，由的任意性，所以有成立.我們來看泊松分布的正態(tài)逼近.定理2.3.3[8]對(duì)于任意的有其中其證明見文獻(xiàn)[8].由前可知，的正態(tài)近似與泊松近似的條件是不同的，當(dāng)?shù)娜≈堤貏e小時(shí)，哪怕的值不是太大，用泊松分布來近似二項(xiàng)分布也是可以的.但在這種情況下，用正態(tài)近似卻是不合理的.我們可以想象，假設(shè)值很小，但的值也不是太大，則的值肯定不會(huì)很大，而由定理2.3.1，我們可知，此時(shí)正態(tài)分布就不可能很好的進(jìn)展泊松近似.2.4正態(tài)分布與柯西分布、卡方分布及卡方分布與伽瑪分布之間的關(guān)系首先來看正態(tài)分布與柯西分布的關(guān)系.定理2.4.1設(shè)且與獨(dú)立同分布，記,則.證明易知的取值范圍是，所以對(duì)于，我們利用商的公式，可以得到這正是時(shí)的柯西分布的密度函數(shù)，所以結(jié)論得證！正態(tài)分布與卡方分布的關(guān)系如下：定理2.4.2假設(shè)隨機(jī)變量則定理證明見文獻(xiàn)[10].這說明了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與自由度為1的卡方分布之間的關(guān)系.假設(shè)且彼此獨(dú)立，記，根據(jù)卡方分布的定義，我們知服從自由度為的卡方