未定型的極限

教案（首頁）授課日期授課班級(jí)課題4.2未定型的極限計(jì)劃學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)教學(xué)目的1.理解柯西中值定理的內(nèi)容及幾何意義，會(huì)證明柯西定理；2.熟悉洛比塔法則；懂得該法則的證明3.懂得洛比塔法則的合用范疇并能解決不合用該法則時(shí)的極限求法.教學(xué)重點(diǎn)解決方法教學(xué)重點(diǎn)：洛比塔法則及其證明。解決方法：講授、演示教學(xué)難點(diǎn)解決方法教學(xué)難點(diǎn)：柯西中值定理及其證明解決方法：講授、演示教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)手段教學(xué)辦法多媒體教學(xué)、板書演示板書設(shè)計(jì)授課提綱一、復(fù)習(xí)二、新授4.2未定型的極限（一）柯西中值定理（二）洛比塔法則（三）非洛法則極限求法及洛氏法則的合用范疇三、練習(xí)四、小結(jié)五、作業(yè)教學(xué)過程設(shè)計(jì)時(shí)間分派教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)【復(fù)習(xí)提問】1.拉格朗日中值定理；2.函數(shù)極值的概念和必要條件是什么？3、函數(shù)增減性鑒別法，不等式的證明辦法？4，最值的求法和環(huán)節(jié)。【新課引入】對(duì)“”、“”型（稱之為未定型）的極限，在第二章中已經(jīng)碰到過并且也講了不少辦法，即使如此，對(duì)有些極限還是很難講的，例如，，等，在這一節(jié)中將介紹求極限的一種辦法，叫做洛必達(dá)法則，她將解決用第二章的辦法所不能解決的某些極限。【新課講授】為了介紹洛必達(dá)法則，則先講一下柯西定理，.柯西定理（廣義微分中值定理）在本章的第一節(jié)中，介紹了拉格朗日定理或叫微分中值定理，這里我們要把這個(gè)定理推廣一下。從幾何角度看（如圖4.12），弧AB能夠用不同形式表達(dá)，如可用參數(shù)方程表達(dá)：微分中值定理的結(jié)論將變成什么形式？事實(shí)上等式的左邊也能夠用弧AB的端點(diǎn)，A，B的坐標(biāo)來表達(dá)其中與分別表達(dá)點(diǎn)B與點(diǎn)A的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)。設(shè)時(shí)，對(duì)應(yīng)于點(diǎn)A，時(shí)，對(duì)應(yīng)于點(diǎn)B，則。如果當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)于點(diǎn)C，而，時(shí)，這樣，式可表達(dá)為這就是微分中值定理的推廣。柯西定理（廣義微分中值定理）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上持續(xù)，在（a,b）內(nèi)可微，且不等于0，則在（a,b）內(nèi)最少存在一點(diǎn)，使。證明從略。Π洛必達(dá)法則定理設(shè)函數(shù)、在的一種鄰域內(nèi)可微，且滿足：==0（2）不等于0；（3）=（或）則=證明設(shè)是的一種鄰域內(nèi)任意一點(diǎn)，那么，在[，]或[，]上滿足廣義微分中值定理的條件，因此有，其中在與之間。因函數(shù)、在處可微，因此在處也是持續(xù)的，又==0。故有式簡化為，兩邊取極限，注意屆時(shí)，，=由條件（3）知=A（或），因此有==A（或）附帶闡明幾點(diǎn)（不加證明）：函數(shù)、在處能夠不規(guī)定可微，甚至能夠是間斷點(diǎn)，結(jié)論仍成立。對(duì)于==0情形，在滿足對(duì)應(yīng)條件，結(jié)論仍成立。對(duì)于，，在滿足對(duì)應(yīng)的條件下，結(jié)論仍成立。簡而言之，只要是型與型，不管自變量趨向或，在滿足對(duì)應(yīng)條件下，結(jié)論均成立。此法稱為洛必達(dá)法則。例1求解，在x=0的一種鄰域內(nèi)可微，且，，而=滿足洛必達(dá)法則的條件，因此，有。在應(yīng)用洛必達(dá)法則時(shí)，重要檢查與否為型或型。寫的格式能夠簡化，見下面某些例子。例2求解是型。。這仍是型，可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則，=。例3求。解型。=…….==例5求（n為整數(shù)）。解型。求。解型。=求。解型。=通過兩次運(yùn)用洛必達(dá)法則后，有回到了原來形式，這闡明洛必達(dá)法則失效，其實(shí)這題目易求。上面我們舉了七個(gè)例子。有幾點(diǎn)值得明確一下：例7使我們認(rèn)識(shí)到洛必達(dá)法則并非萬能，對(duì)某些情形還需要用第二章介紹過的辦法；從例3，例4，例5三個(gè)例子中，我們看到當(dāng)時(shí)，不管n多大，增大比快，而x增大又比快。有時(shí)洛必達(dá)法則則與等價(jià)無窮小代換綜合使用，效果會(huì)好些。求如果始終使用洛必達(dá)法則，計(jì)算將是冗長的。讀者不妨試一試。Ⅲ。其它類型的未定型的極限（1）“”型。設(shè)，，則稱為“”型。他可變形為型或型。例9求解型。（型）=、讀者能夠試一下，如果把放到分母中去，狀況會(huì)怎么樣（普通不把對(duì)數(shù)放到分母中去）？例10求解型。兩個(gè)對(duì)數(shù)的乘積，用洛必達(dá)辦法做會(huì)碰到某些麻煩，先用等價(jià)無窮小量代換。當(dāng)時(shí)，~。(2).若（兩個(gè)均為同號(hào)無窮大），則稱為型。這種極限可化為型或型。例11求。解型。把它化為型。=（型）==為了更加好地使用洛必達(dá)法則，有必須再提示幾點(diǎn)：不是型或型的，不能使用洛必達(dá)法則，化為或型后，才有可能使用洛必達(dá)法則；洛必達(dá)法則與等價(jià)無窮小量代換或其它辦法綜合地使用，效果將會(huì)更加好?！菊n堂小結(jié)】1.柯西中值定理；2.羅必塔法則及其應(yīng)用；3.應(yīng)用羅必塔法則需要注意的問題.【作業(yè)布置】課內(nèi)練習(xí)：課本P822—9課外作業(yè)：預(yù)習(xí)：第三節(jié)求16-20題的極限。16.17.18.19.20【教學(xué)反思】5分鐘5分鐘10分鐘2分鐘3分鐘10分鐘10分鐘5分鐘15分鐘5分鐘23分鐘2分鐘提問介紹柯西的事跡：天才的數(shù)學(xué)家給