2023-2024學(xué)年浙江省臺(tái)州市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題合集2套（含解析）

2023-2024學(xué)年浙江省臺(tái)州市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則虛部為（

）A． B． C． D．【正確答案】D利用復(fù)數(shù)虛部的定義即可得出答案．【詳解】是虛數(shù)單位），的虛部是．故選：D．本題考查復(fù)數(shù)的虛部的定義，屬于基礎(chǔ)題.2．已知，，，則下列各組向量中，不能作為平面內(nèi)一組基底的是（

）A．， B．， C．， D．，【正確答案】B【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合基底向量的定義逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于A：，則，可得，不共線，則，可以作為一組基底，故A正確；對(duì)于B：，則，可得，共線，則，不可以作為一組基底，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，則，可得，不共線，則，可以作為一組基底，故C正確；對(duì)于D：，則，可得，不共線，則，可以作為一組基底，故D正確；故選：B.3．在中，若，則角C等于（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】根據(jù)余弦定理可得的值，即得答案．【詳解】在中，，可得，由于，故，故選：A．4．已知不重合的直線l，m和不重合的平面，，下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，，，則【正確答案】C【分析】根據(jù)空間中的線、面關(guān)系分析判斷.【詳解】對(duì)于A：若，，則平面，的位置關(guān)系有：平行、相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，，則的位置關(guān)系有：或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知：，故C正確；對(duì)于D：根據(jù)面面平行的判定定理可得：若相交，則，否則不成立，故D錯(cuò)誤.故選：C.5．設(shè)向量與的夾角為，定義.已知向量為單位向量，，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律求出向量與的夾角，代入新定義求解即可.【詳解】由題意得，解得，又，所以，所以.故選：C6．在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)課中，小華進(jìn)行了如下探究：如圖1，水平放置的正方體容器中注入了一定量的水；現(xiàn)將該正方體容器其中一個(gè)頂點(diǎn)固定在地面上，使得DA，DB，DC三條棱與水平面所成角均相等，此時(shí)水平面為HJK，如圖2所示．若在圖2中，則在圖1中（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】設(shè)出正方體的邊長(zhǎng)，利用水的體積相等建立方程求解【詳解】當(dāng)DA，DB，DC三條棱與水平面所成角均相等時(shí)，三棱錐為正三棱錐，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為3，則，所以，則題圖1中，則，所以.故選：B7．已知中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．若，則是銳角三角形B．若，則是直角三角形C．若，則是等腰三角形D．若，則是等邊三角形【正確答案】D【分析】根據(jù)正、余弦定理結(jié)合三角函數(shù)、三角恒等變換逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于A：若，則，因?yàn)?，可得為銳角，但不確定是否為銳角，所以不能確定的形狀，給A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，則，可得，且或，可得或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，由正弦定理可得：，因?yàn)?，則，可得，整理得，所以或，即或，可知是等腰三角形或直角三角形，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：因?yàn)椋瑒t，可得，若，則，可得，即，則是等邊三角形，故D正確；故選：D.8．如圖，平面平面，，且為正三角形，點(diǎn)D是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，ABCD是菱形，點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，AC與OD交于點(diǎn)Q，，且，則PQ與l所成角的正切值的最小值為（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】根據(jù)題意分析可得PQ與l所成角即為，設(shè)，分析可得，換元結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】分別過(guò)作的垂線，垂足為，連接，由題意可得：PQ與l所成角即為，因?yàn)?，平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，則，設(shè)，在Rt中，可得，且，又因?yàn)闉檎切?，點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，則，可得，則，令，則，可得，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即PQ與l所成角的正切值的最小值為.故選：D.關(guān)鍵點(diǎn)睛：尋找合適變量表示相關(guān)長(zhǎng)度，本題選擇，進(jìn)而可結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.二、多選題9．已知i為虛數(shù)單位，以下四個(gè)說(shuō)法中正確的是（

）A．B．C．若，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限D(zhuǎn)．已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合是以O(shè)為圓心，以2為半徑的圓【正確答案】AD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念，運(yùn)算，幾何意義，判斷選項(xiàng).【詳解】A.，故A正確；B.虛數(shù)不能比較大小，故B錯(cuò)誤；C.，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第三象限，故C錯(cuò)誤；D.根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，可知D正確.故選：AD10．關(guān)于平面向量，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，，則B．若，，則在方向上的投影向量是C．若，，且與的夾角為鈍角，則D．若且，則四邊形ABCD為菱形【正確答案】BD【分析】根據(jù)向量共線的概念判斷A；根據(jù)投影向量的概念判斷B；根據(jù)向量夾角的概念判斷C；由向量的線性運(yùn)算得，可得是平行四邊形，則，由條件結(jié)合平面向量基本定理可判斷D．【詳解】若，雖然有，，但不一定有，A錯(cuò)；，，則在方向上的投影向量是，B正確；當(dāng)時(shí)，，兩向量方向相反，夾角為不是鈍角，C錯(cuò)；若，即，則，所以是平行四邊形，則，又，即，則，所以，所以是菱形，D正確．故選：BD．11．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則（

）A．過(guò)點(diǎn)，E，F(xiàn)的平面截正方體所得的截面周長(zhǎng)為B．異面直線與所成角的余弦值為C．點(diǎn)P為正方形內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)//平面時(shí)，DP的最小值為D．當(dāng)三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上時(shí)，球O的表面積為【正確答案】BCD【分析】對(duì)于A：根據(jù)平行關(guān)系求截面，進(jìn)而可得周長(zhǎng)；對(duì)于B：根據(jù)異面直線夾角分析運(yùn)算；對(duì)于C：根據(jù)面面平行分析判斷；對(duì)于D：轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球分析運(yùn)算.【詳解】對(duì)于A：連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則//，又因?yàn)?/，，則為平行四邊形，可得//，則//，過(guò)作//，設(shè)，則//，可得，連接，設(shè)，連接，可得過(guò)點(diǎn)，E，F(xiàn)的平面截正方體所得的截面為五邊形，因?yàn)?，則，可得，所以截面周長(zhǎng)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?/，則異面直線與所成角為，可得，所以，故B正確；對(duì)于C：取的中點(diǎn)，連接，由題意可得：//，，則為平行四邊形，所以//，又因?yàn)?/，，且//，，可得//，，則為平行四邊形，所以//，可得//，平面，平面，則//平面，又因?yàn)?/，且//，可得//，平面，平面，則//平面，，平面，所以平面//平面，則點(diǎn)P在線段上，可得，所以當(dāng)點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)時(shí)，取到最小值，故C正確；對(duì)于D：三棱錐的外接球即為以為鄰邊的長(zhǎng)方體的外接球，因?yàn)?，可得外接球的半徑，所以外接球的表面積，故D正確；故選：BCD.12．如圖，在中，，，點(diǎn)D與點(diǎn)B分別在直線AC兩側(cè)，且，，當(dāng)BD長(zhǎng)度為何值時(shí)，恰有一解（

）A．6 B． C． D．【正確答案】ABD【分析】在中，利用余弦定理可得，進(jìn)而可得，在中，利用正、余弦定理可得，，在中，利用余弦定理分析運(yùn)算即可.【詳解】在中，設(shè)，由余弦定理可得：，則，即，解得或（舍去），則，可得.在中，設(shè)，由余弦定理可得：，即，由正弦定理可得，則，在中，由余弦定理可得：，則，因?yàn)?，則，若恰有一解，則或，可得或，，，故A、B、D正確，C錯(cuò)誤.故選：ABD.方法點(diǎn)睛：在處理解三角形的范圍（或最值）問(wèn)題時(shí)，常利用正、余弦定理進(jìn)行邊化角，再結(jié)合三角函數(shù)分析求解.三、填空題13．如圖，是斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的水平放置的的直觀圖，是的中點(diǎn)，且軸，軸，，，則的面積是________．【正確答案】4【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法確定原圖形，求解即可.【詳解】由圖象知：，，，為的中點(diǎn)，的面積.故4.14．已知圓臺(tái)的上底面半徑為2，下底面半徑為6，若該圓臺(tái)的體積為，則其母線長(zhǎng)為_(kāi)_______．【正確答案】【分析】由圓臺(tái)的體積求得圓臺(tái)的高h(yuǎn)，作出圓臺(tái)的軸截面，由勾股定理可求得結(jié)果.【詳解】圓臺(tái)的上底面半徑為2，下底面半徑為6，設(shè)圓臺(tái)的高為h，則該圓臺(tái)的體積為，則，作出圓臺(tái)的軸截面如圖所示，上底面圓心為M，下底面圓心為N，MD＝2，NC＝6，過(guò)D作DE⊥NC，則EC＝6－2＝4，又DE＝h＝6，所以圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為．故答案為.15．矩形ABCD中，，，AD的中點(diǎn)為M，折疊矩形使得點(diǎn)A落在邊CD上，則點(diǎn)M到折痕的距離的取值范圍是________．【正確答案】【分析】設(shè)折疊矩形使得A落在邊上，當(dāng)在D處時(shí)，此時(shí)折痕過(guò)M，即點(diǎn)M到折痕的距離為0．當(dāng)?shù)紺處時(shí)，取得最大值，求出，即可求出答案.【詳解】設(shè)折疊矩形使得A落在邊上，當(dāng)在D處時(shí)，此時(shí)折痕過(guò)M，即點(diǎn)M到折痕的距離為0．當(dāng)從D向C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中（如圖1），中點(diǎn)為O，則，過(guò)M作于點(diǎn)N，則，此時(shí)在增大，也增大，故當(dāng)?shù)紺處時(shí)，取得最大值（如圖2），此時(shí)，所以，故點(diǎn)M到折痕的距離的取值范圍是．故．16．平面向量，且，則的取值范圍是________．【正確答案】【分析】由題意可得，，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在半徑為2的圓上，且是等邊三角形，且所求表達(dá)式轉(zhuǎn)化為，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和，即，再利用不等式的性質(zhì)以及三角形的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄繚M足，且，所以，，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在半徑為2的圓上，且是等邊三角形，且，即圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和，即，若點(diǎn)不與重合，不妨設(shè)點(diǎn)在上，則，，，故點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，又因?yàn)闉榘霃綖?的圓的內(nèi)接等邊三角形，所以，所以，由余弦定理可得：且，即，所以，可得，當(dāng)且僅當(dāng)即點(diǎn)與點(diǎn)（的中點(diǎn)）重合時(shí)，等號(hào)成立，又因?yàn)?，所以?dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是、、的中點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，所以的取值范圍為，故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用已知條件將，，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在單位圓上，且是半徑為2的圓的內(nèi)接正三角形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到三點(diǎn)的距離之和.四、解答題17．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，，且為純虛數(shù)．(1)求a的值；(2)若的共軛復(fù)數(shù)是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)p，q的值．【正確答案】(1)3(2)，【分析】（1）首先根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義表示，再表示，根據(jù)復(fù)數(shù)的特征，求參數(shù)的值；（2）首先將復(fù)數(shù)代入方程，根據(jù)實(shí)部和虛部為0，求實(shí)數(shù)的值.【詳解】（1）由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，，，為純虛數(shù)，，（2），由條件可知，，即，解得：，18．如圖，在四棱錐中，底面四邊形的邊長(zhǎng)均為2，且，棱的中點(diǎn)為.(1)求證：平面；(2)若的面積是，求點(diǎn)到平面的距離.【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明即可；（2）利用三棱錐的體積關(guān)系，求解點(diǎn)到平面的距離即可.【詳解】（1）因?yàn)闉榱庑?，所?又因?yàn)椋矫嫠云矫?因?yàn)槠矫?，所?又由已知，平面所以平面.（2）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離.由（1）知，平面，所以.又因?yàn)椋?，所以，則.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，所以.因?yàn)?，所?在中，，，，所以，又，所以，所以，所以，所以.19．在①，②，③的面積為，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并加以解答．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且______．(1)求角A；(2)若，的內(nèi)切圓半徑為，求的面積．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）選①，根據(jù)已知條件及正弦定理的邊角化，再利用三角形的內(nèi)角和定理及兩角和的正弦公式，結(jié)合三角函數(shù)的特殊值對(duì)應(yīng)特殊角注意角的范圍即可求解；選②，根據(jù)已知條件及三角形的內(nèi)角和定理，再利用兩角和的正切公式及三角函數(shù)的特殊值對(duì)應(yīng)特殊角注意角的范圍即可求解；選③，根據(jù)已知條件及三角形的面積公式，再利用余弦定理的推論及三角函數(shù)的特殊值對(duì)應(yīng)特殊角注意角的范圍即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及三角形的面積公式，結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】（1）若選①，由及正弦定理，得，即，即，所以，因?yàn)?所以，所以，又,所以．若選②，由，得，∴，因?yàn)?所以，當(dāng)時(shí)，不存在，所以，又,所以．若選③，因?yàn)榈拿娣e為，所以，即，所以，又,所以．（2）由（1）知，，∵內(nèi)切圓半徑為，∴，即，由余弦定理，得，即，所以，聯(lián)立，得，解得，所以．20．在中，已知，，P在線段BC上，且，Q是邊AB（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)；(1)若，O是AP中點(diǎn)，求證：C，O，Q三點(diǎn)共線．(2)若存在點(diǎn)Q使得，求的取值范圍及的最大值．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)，最大值為【分析】（1）根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算結(jié)合向量共線的判定定理分析證明；（2）根據(jù)向量垂直的可得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析運(yùn)算.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即；又因?yàn)镺為線段AP的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，又因?yàn)樗?，因此C，O，Q三點(diǎn)共線.（2）可得，又因?yàn)椋O(shè)，則，由可得，即，所以，即，整理得，因?yàn)?，在上單調(diào)遞增，故；又因?yàn)?，可知是關(guān)于t的函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，最大值為．21．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，且，，，，平面平面ABCD，點(diǎn)M在線段PB上，平面MAC．(1)判斷M點(diǎn)在PB的位置并說(shuō)明理由；(2)記直線DM與平面PAC的交點(diǎn)為K，求的值；(3)若異面直線CM與PA所成角的余弦值為，求二面角的平面角的正切值．【正確答案】(1)M為PB上靠近B的三等分點(diǎn)，理由見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）連接BD交AC于O，由平面MAC，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得答案；（2）連接OP，則，由可求得結(jié)果；（3）取AD中點(diǎn)H，過(guò)M作，可知，取AB靠近A的三等分點(diǎn)N，可知，所以或其補(bǔ)角就是異面直線CM與AP所成角，由條件證得平面ABCD，平面ABCD，令，計(jì)算，，，，利用余弦定理，由得，解得，過(guò)G作交CD于Q，由平面MGQ得，所以就是所求二面角的平面角，求解即可.【詳解】（1）連接BD交AC于O，連接OM，因?yàn)槠矫鍹AC，平面PBD，平面平面，則．因?yàn)?，所以，則O為BD靠近B的三等分點(diǎn)，所以M為PB上靠近B的三等分點(diǎn)．（2）如圖，連接OP，則，因?yàn)?，則．（3）取AD中點(diǎn)H，連接PH，HB，過(guò)M作，可知．取AB靠近B的三等分點(diǎn)N，連接MN，NC，可知，所以或其補(bǔ)角就是異面直線CM與AP所成角，如圖．因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面ABCD，，平面，所以平面ABCD，因此平面ABCD．令，，計(jì)算得：，，，，，所以，，即，解得．過(guò)G作交CD于Q，連接MQ．平面ABCD，平面ABCD,,，平面MGQ，平面MGQ，平面MGQ，，所以就是所求二面角的平面角，所以，．2023-2024學(xué)年浙江省臺(tái)州市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題一、單選題1．有下列四個(gè)命題：①過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面；②矩形是平面圖形；③三條直線兩兩相交，則確定一個(gè)平面；④一條直線和該直線外一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面．其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)是（

）．A．①② B．①③ C．②④ D．②③【正確答案】B【分析】由立體幾何知識(shí)對(duì)結(jié)論逐一判斷【詳解】對(duì)于①，不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，①錯(cuò)誤，對(duì)于②，矩形是平面圖形，②正確，對(duì)于③，若三條直線交于同一點(diǎn)，則無(wú)法確定一個(gè)平面，故③錯(cuò)誤對(duì)于④，一條直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，④正確．故選：B2．設(shè)、是兩條直線，、是兩個(gè)平面，則能推出的一個(gè)條件是（

）A．， B．，C．， D．，【正確答案】D根據(jù)每個(gè)選項(xiàng)中的條件推導(dǎo)出直線與平面的位置關(guān)系，由此可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，，則或；對(duì)于B選項(xiàng)，若，，則或；對(duì)于C選項(xiàng)，若，，則或；對(duì)于D選項(xiàng)，若，，由面面平行的性質(zhì)可知.故選：D.本題考查線面平行的判斷，屬于基礎(chǔ)題.3．下列說(shuō)法正確的是（

）A．表示虛數(shù)單位，所以它不是一個(gè)虛數(shù)B．的平方根是C．是純虛數(shù)D．若，則復(fù)數(shù)沒(méi)有虛部【正確答案】B【分析】用復(fù)數(shù)的相關(guān)概念判斷即可【詳解】A：表示虛數(shù)單位，也是一個(gè)虛數(shù)，故A錯(cuò)誤；B：由，可知的平方根是，故B正確；C：當(dāng)是實(shí)數(shù)，故C錯(cuò)誤；D：若，則復(fù)數(shù)虛部為0，故D錯(cuò)誤；故選：B4．已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】根據(jù)正弦定理和三角變換及三角函數(shù)的性質(zhì)可求的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋?，故三角形外接圓直徑為，故，因?yàn)槿切螢殇J角三角形，故，故，故，故，故，故選：D5．如圖是長(zhǎng)方體被一平面所截得到的幾何體，四邊形為截面，長(zhǎng)方形為底面，則四邊形的形狀為（

）A．梯形 B．平行四邊形C．可能是梯形也可能是平行四邊形 D．矩形【正確答案】B利用面面平行的性質(zhì)判斷與的平行、與平行.【詳解】因?yàn)槠矫?/平面,且平面平面,平面平面,根據(jù)面面平行的性質(zhì)可知//,同理可證明//.所以四邊形為平行四邊形.故選：B.本題考查長(zhǎng)方體截面形狀判斷，考查面面平行的性質(zhì)應(yīng)用，較簡(jiǎn)單.6．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.若，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】利用正弦定理邊化角求出，再結(jié)合同角公式計(jì)算作答.【詳解】在中，由正弦定理及得：，解得，在中，，，于是為銳角，所以.故選：C7．在△ABC中，BC=，且，AD是△ABC的外接圓的直徑，則的值（

）A．1 B．2 C．3 D．4【正確答案】B【分析】作輔助線如圖所示，求出，再求出，最后利用數(shù)量積公式求解.【詳解】作輔助線如圖所示，.因?yàn)椋?,所以.由垂徑定理得,所以.在Rt△ADE中，由中位線定理得...故選：B8．在中，角，，所對(duì)的邊是，，，且，若，則實(shí)數(shù)的值是A． B． C． D．【正確答案】A【分析】利用已知條件得出是三角形的重心，通過(guò)余弦定理可得三角形三邊關(guān)系，然后再由余弦定理可轉(zhuǎn)化得，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡(jiǎn)要求的式子，可得結(jié)果.【詳解】由得是的重心，因?yàn)?，所?如圖：則，所以有，，可得：，即，由正弦定理，得，由余弦定理，得，則，則，即，所以；故選：A.二、多選題9．軟木鍋墊一般用于餐廳、咖啡廳、酒店等公共飲食場(chǎng)所，可作廣告飾品以提高形象．杯墊透氣、無(wú)毒、無(wú)異味、防水防潮、耐油耐酸、彈性環(huán)保，具有耐沖擊、不變形、耐用等特點(diǎn)．正、反面可加置印刷公司LOGO、圖片、產(chǎn)品、廣告、聯(lián)系方式等，更接近人們的生活，較強(qiáng)的摩擦力可以防止玻璃、瓷杯滑落，亦可保護(hù)桌面不被燙壞．如圖，這是一個(gè)邊長(zhǎng)為10厘米的正六邊形的軟木鍋墊，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．向量與向量是相等向量 B．C． D．【正確答案】ACD【分析】根據(jù)相等向量的定義判斷A，根據(jù)數(shù)量積的定義判斷B，C，根據(jù)向量的線性運(yùn)算定義求，再解三角形求其大小，判斷D.【詳解】對(duì)于A，由圖可得向量與向量方向相同，大小相等，所以向量與向量相等向量，A正確．對(duì)于B，由圖易得向量與向量的夾角為，則，B錯(cuò)誤．如圖，因?yàn)?，，，則，C正確．因?yàn)闉檎切?，所以根?jù)平行四邊形法則得，與共線且同方向，又均為含角的直角三角形，所以，，所以，，D正確．故選：ACD.10．關(guān)于復(fù)數(shù)z的運(yùn)算結(jié)論正確的有（

）A． B． C． D．【正確答案】ACD【分析】可設(shè)，然后代入計(jì)算判斷A，B，同理可設(shè)，代入計(jì)算判斷C，D．【詳解】設(shè)，則，，A正確；，當(dāng)時(shí)，是虛數(shù)，而一定是實(shí)數(shù)，不可能相等，B錯(cuò)；設(shè)，.所以，C正確；，D正確．故選：ACD．11．如圖，在四邊形ABCD中，，，，，，F(xiàn)為線段BC的中點(diǎn)，E為線段AD上一動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．的最小值為C．若E為線段AD的中點(diǎn)，則 D．n的最大值為【正確答案】AC【分析】如圖作出輔助線，根據(jù)所給條件結(jié)合直角三角形求出AB判斷A；利用向量表示及數(shù)量積運(yùn)算計(jì)算判斷B；利用向量的線性運(yùn)算求出判斷C；建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求n的最大值判斷D.【詳解】過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)作，交于，如圖，則四邊形為矩形，設(shè)，依題意，，則，，有．，解得，于是，A正確；由F為線段BC的中點(diǎn)可知，則，，過(guò)F作，垂足為M，的長(zhǎng)即最小值，且，因此，B錯(cuò)誤；顯然，而E為DA中點(diǎn)，，因此，即，則，C正確；以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為x軸，y軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，由，得，于是，即，而，所以，D錯(cuò)誤．故選：AC12．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E、F分別是棱、的中點(diǎn)，點(diǎn)P在四邊形內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動(dòng)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若P是線段的中點(diǎn)，則平面平面B．若P在線段上，則異面直線與所成角的范圍是C．若平面，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為D．若平面，則長(zhǎng)度的取值范圍是【正確答案】AD【分析】對(duì)于A，先證明，，得到平面，然后利用面面垂直的判定定理即可判斷；對(duì)于B，由可將與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，結(jié)合△為正三角形可得與所成角的取值范圍；對(duì)于C，先利用線面位置關(guān)系得到點(diǎn)的軌跡，然后求解即可；對(duì)于D，先由線線平行證明線面平行，進(jìn)而得面面平行，可確定點(diǎn)的軌跡為線段，然后結(jié)合勾股定理求解長(zhǎng)度的最值即可求解．【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?、分別是線段、的中點(diǎn)，所以，則，則，所以，如圖，連接又由平面，平面，所以，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面，即選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：在正方體中，，所以與所成的角為與所成的角，連接、，，則為正三角形，所以與所成角的取值范圍為，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：設(shè)平面與直線交于點(diǎn)，連接、，則為的中點(diǎn)，分別取、的中點(diǎn)，，連接、、，由，所以平面，同理可得平面，又因?yàn)?，所以平面平面，又由平面，所以直線平面，故點(diǎn)的軌跡是線段，易得，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D：取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面，連接、，則，又因?yàn)?，所以，所以平面，連接、，由，且，得，故、、、四點(diǎn)共面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面，所以點(diǎn)的軌跡為線段，由知，連接，，在中，，所以，所以，則，故線段長(zhǎng)度的最小值為，線段長(zhǎng)度的最大值為，所以長(zhǎng)度的取值范圍是，即選項(xiàng)D正確．故選：AD．三、填空題13．已知滿足，則___________.【正確答案】1或【分析】直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，所以或，所以?，故1或14．如圖，長(zhǎng)方體，，，，是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到棱靠近的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，恰有，求此時(shí)與平面所成的角__________．【正確答案】【分析】結(jié)合長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可知與平面所成的角為，由及勾股定理可得，進(jìn)而可求出得出結(jié)果.【詳解】長(zhǎng)方體中，因?yàn)?，，所以，，，因?yàn)榈酌妫矫?，所以，所以與平面所成的角為，，由條件可得，解得，因此，因?yàn)椋裕c平面所成的角為，故15．若為虛數(shù)單位，則計(jì)算___________．【正確答案】【分析】設(shè)，兩邊乘以相減，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式和復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算法則，計(jì)算可得所求和．【詳解】設(shè)，，上面兩式相減可得，，則．故．16．如圖所示，△ABC中，AC＝3，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點(diǎn)P，且PN＝2PM，則△ABC面積的最大值為_(kāi)_．【正確答案】5【分析】根據(jù)題意設(shè)作為該平面的一組基底，根據(jù)向量運(yùn)算的三角形法則及共線向量定理分別表示出，即可求得AP：PM，BP：PN的值，再設(shè)PM＝2t，求得PN，PA，PB，設(shè)△APN的面積為x，運(yùn)用余弦定理和面積公式，結(jié)合二次函數(shù)的最值可得x的最大值，進(jìn)而得到所求△ABC的面積的最大值．【詳解】設(shè)則,,∵A、P、M和B、P、N分別共線，∴存在實(shí)數(shù)λ、μ，使故.而∴，解得，故即AP：PM＝4：1，BP：PN＝3：2，設(shè)PM＝t，則PN＝2t，PA＝4t，PB＝3t，t＞0，設(shè)△APN的面積為x，∠APN＝α，在△APN中，AN＝2，AP＝4t，PN＝2t，可得cosα＝＝，sinα＝，則當(dāng)，即t＝時(shí)，x取得最大值，而△ABP的面積為x，△BPM的面積為，則△ABC的面積為，則△ABC的面積的最大值為×＝5．故5．四、解答題17．已知復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位.(1)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若虛數(shù)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，求實(shí)數(shù)值.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）求出，由其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)列不等式求解；（2）也是方程的根，根據(jù)韋達(dá)定理先求得，再求得．【詳解】（1）由已知得到，因?yàn)樵趶?fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在第一象限，所以，解得，所以（2）因?yàn)樘摂?shù)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，所以是方程的另一個(gè)根，所以，所以，所以，所以，所以.18．中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，，.(1)求角；(2)求的取值范圍.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）結(jié)合題意和正弦定理可得，然后借助三角形內(nèi)角和定理與兩角和的正弦公式得出，進(jìn)而求解；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，利用正弦定理得到，然后利用輔助角公式和三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）由題意，由正弦定理可得，由，可得.代入整理得.因?yàn)?，所以，故，由因?yàn)?，所?（2）由（1）知，，因?yàn)?，由正弦定理可得，，則，所以，因?yàn)椋?，則，所以，則，所以的取值范圍.19．如圖①所示，已知正三角形與正方形，將沿翻折至所在的位置，連接，，得到如圖②所示的四棱錐.已