高斯小學奧數(shù)四年級上冊含答案第21講-等積變形

第二^一講等積變形乎訐四諂形翠堀幻戒號帚B.乎訐四諂形翠堀幻戒號帚B.C\?個三角形，革均勻生悵，1草場的蘋可使⑷頭牛吃I氏，R草場的草可供祀％牛吃一天「【草場前龜可供⑷（）其牛唏一天,I）堂埸堰？三角形和平行四邊形的關(guān)系非常緊密. 回想它們的面積公式，如果我們把一個平行四邊形沿對角線分成兩塊，那么每個三角形的面積正好是平行四邊形的一半，如圖：除了上面這種情形外，下圖中的陰影三角形由于和平行四邊形底、 高都相同，所以面積也是平行四邊形的一半.（注意：長方形也是平行四邊形）底底例題1如圖，已知平行四邊形ABCD的面積是100平方厘米，E是其中的任意一點，那么圖中陰影部分面積是多少平方厘米？「分析」例題1如圖，已知平行四邊形ABCD的面積是100平方厘米，E是其中的任意一點，那么圖中陰影部分面積是多少平方厘米？「分析」輔助線把整個圖形分成了左右兩個平行四邊形，兩個陰影三角形與它們分別有什么關(guān)系呢？AB C練習1如圖，E是平行四邊形ABCD中的任意一點，已知厶AED與厶EBC的面積和是40平方厘米，那么圖中陰影部分的面積是多少？A DB C下圖中，兩條平行線間有四個三角形：三角形 OAB、三角形PAB、三角形MAB和三角形NAB，它們的底相同，都是AB;高相等，都是兩條平行線間的距離，所以這四個三角形的面積是相等的?進一步，我們可以在直線 ON上任取若干個點，這些點分別與 A、B兩點形成若干個同底等高的三角形，這些三角形的面積是相等的.A B底我們把這種“底相同，高相等”的情況簡稱為“同底等高” ?“同底等高”是我們最早碰到的三角形等積變形的情形，而“等高”最常見的情況就是平行線間的距離相等.如果兩個三角形同底等高，那么它們的面積相等.利用平行線間的距離相等，構(gòu)造同底等高的三角形，是很常見的三角形等積變形.

例題2如圖，平行四邊形ABCD的底邊AD長20厘米,高CH為9厘米；E是底邊BC上任意的一點，那么兩個陰影三角形的面積之和是多少平方厘米？「分析」能否通過等積變形，把兩個三角形變成一個三角形呢？練習2如圖，平行四邊形ABCD的面積是100平方厘米，那么陰影部分的面積是多少平方厘米？AFHBE C例題3AFHBE C如圖所示，ABFE和CDEF都是長方形，AB的長是4厘米,BC的長是3厘米.那么圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？「分析」能否通過等積變形，把上層與下層的三角形分別變成一個三角形呢？練習3A D在利用同底等高三角形計算面積的題目中,而尋找同底.等高.、面積相等的三角形.最重要的一步就是去尋找其中的平行線， 進如圖，ABCD和CDEF都是平行四邊形，四邊形ABFE面積為60平方厘米.請問：陰影部分面積是多少平方厘米？

A D在利用同底等高三角形計算面積的題目中,而尋找同底.等高.、面積相等的三角形.最重要的一步就是去尋找其中的平行線， 進例題4如圖，梯形ABCD中，E是對角線AC上的一點,已知DE和AB平行，那么與△ADC面積相等的三角形一共有哪幾個？「分析」要找同底等高面積相等的三角形，首先必須找到平行線哦！練習4如圖，梯形ABCD中，共有幾個三角形？其中面積相等的三角形共有哪幾對？ADO畫輔助線是解決幾何問題最常用、最重要的方法之一，一條好的輔助線，往往能把無從下手的復(fù)雜題目變得非常簡單.一般我們習慣把輔助線畫成虛線.ADO在上一講中，我們已經(jīng)接觸過了一些需要畫輔助線解決的題目，在利用同底等高三角形計算面積的題目中，我們往往需要自己畫出平行線.去構(gòu)造、尋找同底等高的三角形進而進行面積轉(zhuǎn)化.例題58厘米.求陰影部分的面積.如圖，大正方形的邊長是 10厘米，小正方形的邊長是8厘米.求陰影部分的面積.「分析」圖中的三角形底、高都是未知并且不可求的，能否通過等積變形，尋找與它們同底等高、面積相等的三角形呢？記得先找平行線哦!

如右圖，梯形ABCD中，對角線相交于0點，由于AD與BC平行，那么就有△ABC與厶DBC同底等高、面積相等，△ABD與厶ACD同底等高、面積相等.那么這個圖中還有沒有其他面積相等的三角形呢？我們觀察一下，△ABC與厶BCD都包含有厶OBC，而△ABC與厶BCD面積相等，那么就有△ABO與厶CDO面積相等.我們把梯形中出現(xiàn)的這第三對三角形面積相等稱作“梯形的兩翼相等” ，因為△ABO與△CDO恰好如同兩片翅膀一般，有的時候我們也稱其為“蝴蝶模型”“蝴蝶模型”在幾何中應(yīng)用非常廣泛，尤其是在高年級學習比例之后， 而且，應(yīng)用蝴蝶模型，往往能夠使得一些過去非常頭疼的題目變得異常簡單.例題6如圖所示，長方形ABCD內(nèi)的陰影部分的面積之和為70,AB=8,AD=15，四邊形EFGO的面積是多少？「分析」能否應(yīng)用“蝴蝶模型”，使得三塊分離的三角形合并呢？課堂內(nèi)外蝴蝶定理蝴蝶定理(Butterflytheorem)，是古典歐式平面幾何中最精彩的結(jié)果之一.這個命題最早出現(xiàn)在 1815年，而“蝴蝶定理”這個名稱最早出現(xiàn)在《美國數(shù)學月刊》1944年2月號，1985年，在河南省《數(shù)學教師》創(chuàng)刊號上，杜錫錄同志以《平面幾何中的名題及妙解》為題，載文向國內(nèi)介紹蝴蝶定理，從此蝴蝶定理在神州大地到處傳開.這個定理最基本的敘述為：設(shè) M為圓內(nèi)弦PQ的中點，過M作弦AB和CD，設(shè)AD和BC分別相交PQ于點X和Y，貝UM是XY的中點.從圖中可以看出題目的圖形像一只蝴蝶，該定理名字實際上，在橢圓中，依然存在蝴蝶定理，把上圖“壓由此而得.實際上，在橢圓中，依然存在蝴蝶定理，把上圖“壓扁”即可.

這個定理的證法多的不勝枚舉，至今仍然被數(shù)學熱愛者研究，在高考等考試中時有出現(xiàn)各種變形，有人曾戲稱“翩翩蝴蝶舞橢圓，飛落高考數(shù)學花”.混沌論中的“蝴蝶定理”：數(shù)學的一門分支是混沌論?混沌理論其實是人們對一系列殘酷運動的名詞描述：初始條件十分微小的變化經(jīng)過不斷放大，對其未來狀態(tài)會造成極其巨大的差別.混沌理論最為人知的表述就是“蝴蝶效應(yīng)”：一只南美洲亞馬遜河流域熱帶雨林中的蝴蝶，偶爾扇動幾下翅膀，可以在兩周后引起美國德克薩斯州的一場龍卷風.西方流傳的一首民謠形象的代表了“蝴蝶效應(yīng)”：丟失一個釘子，壞了一只蹄鐵；壞了一只蹄鐵，折了一匹戰(zhàn)馬；折了一匹戰(zhàn)馬，傷了一位騎士；傷了一位騎士，輸了一場戰(zhàn)斗；輸了一場戰(zhàn)斗，亡了一個帝國.作業(yè)如圖所示，梯形ABCE是由正方形ABCD和等腰直角三角形CDE構(gòu)成的，已知等腰直角三角形的斜邊是10厘米，那么△BCE的面積是多少平方厘米？2.如圖，長方形ABCD2.如圖，長方形ABCD的面積為6,平行四邊形BECF的面積為多少？如圖所示，一個長方形被分成4個不同的三角形，紅色三角形的面積是9平方厘米，黃色三角形的面積是21平方厘米，綠色三角形的面積是面積是多少平方厘米？10平方厘米，那么藍色三角形的如圖所示，一個長方形被分成4個不同的三角形，紅色三角形的面積是9平方厘米，黃色三角形的面積是21平方厘米，綠色三角形的面積是面積是多少平方厘米？10平方厘米，那么藍色三角形的和為多少?5.如圖，直角梯形ABCD中，CD30，BD40，CBD和CD垂直?那么三角形ABC的面積是多少？C第二^一講等積變形第二^一講等積變形例題1答案：50平方厘米詳解：根據(jù)圖中的輔助線，左邊陰影面積為左邊平行四邊形的一半，右邊陰影面積為右邊平行四邊形的一半，所以陰影總面積等于大平行四邊形的一半，為 50平方厘米.例題2答案：90平方厘米詳解：平行四邊形面積是180平方厘米?狗牙模型，通過同底等高可以將 F拉到A點，把兩個三角形合并成一個大三角形，即平行四邊形的一半，面積為 90平方厘米.例題3答案：6平方厘米詳解：雙層犬牙模型，可以把ABFE中的陰影面積轉(zhuǎn)化成一個大的三角形，是 ABFE面積的一半；CDEF中的陰影面積轉(zhuǎn)化成一個大的三角形，是 CDEF面積的一半.所以陰影部分的面積是長方形ABCD面積的一半，即6平方厘米.例題4答案：△KBD和△ABE詳解：觀察圖中哪些線段平行，AD平行于BC，AB平行于DE?根據(jù)AD平行于BC，可以知道△KDC的面積等于△ABD;根據(jù)AB平行于DE，可以知道厶ABD的面積等于△ABE.所以與△ADC面積相等的三角形有△ABD和△KBE.例題5答案：50平方厘米；32平方厘米詳解:如圖，連小正方形對角線，兩個正方形對角線平行，所以陰影三角形與大正方形左半個等腰直角三角形同底(共同的底為大正方形對角線)等高、面積相等，等于大正方形面積的一半，為50平方厘米.如圖，連大正方形對角線，兩個正方形對角線平行，所以陰影三角形與小正方形右半個等腰直角三角形同底(共同的底為小正方形對角線)等高、面積相等，等于小正方形面積的一半，為 32平方厘米.第二十一講等積變形例題1答案：50平方厘米詳解：根據(jù)圖中的輔助線，左邊陰影面積為左邊平行四邊形的一半，右邊陰影面積為右邊平行四邊形的一半，所以陰影總面積等于大平行四邊形的一半，為50平方厘米.例題2答案：90平方厘米詳解：平行四邊形面積是180平方厘米.狗牙模型，通過同底等高可以將F拉到A點，把兩個三角形合并成一個大三角形，即平行四邊形的一半，面積為 90平方厘米.例題3答案：6平方厘米詳解：雙層犬牙模型，可以把ABFE中的陰影面積轉(zhuǎn)化成一個大的三角形，是ABFE面積的一半；CDEF中的陰影面積轉(zhuǎn)化成一個大的三角形，是CDEF面積的一半.所以陰影部分的面積是長方形ABCD面積的一半，即6平方厘米.例題4答案：△KBD和AABE詳解：觀察圖中哪些線段平行，AD平行于BC，AB平行于DE?根據(jù)AD平行于BC，可以知道△KDC的面積等于△ABD;根據(jù)AB平行于DE，可以知道厶ABD的面積等于△ABE.所以與△ADC面積相等的三角形有△ABD和AABE.例題5答案：50平方厘米；32平方厘米詳解：（1） 如圖，連小正方形對角線，兩個正方形對角線平行，所以陰影三角形與大正方形左半個等腰直角三角形同底（共同的底為大正方形對角線）等高、面積相等，等于大正方形面積的一半，為50平方厘米．（2） 如圖，連大正方形對角線，兩個正方形對角線平行，所以陰影三角形與小正方形右半個等腰直角三角形同底（共同的底為小正方形對角線）等高、面積相等，等于小正方形面積的一半，為32平方厘米．第二十一講等積變形1.例題1答案：50平方厘米詳解：根據(jù)圖中的輔助線，左邊陰影面積為左邊平行四邊形的一半，右邊陰影面積為右邊平行四邊形的一半，所以陰影總面積等于大平行四邊形的一半，為 50平方厘米．例題2答案：90平方厘米詳解：平行四邊形面積是180平方厘米．狗牙模型，通過同底等高可以將F拉到A點，把兩個三角形合并成一個大三角形，即平行四邊形的一半，面積為90平方厘米．例題3答案：6平方厘米詳解：雙層犬牙模型，可以把ABFE中的陰影面積轉(zhuǎn)化成一個大的三角形，是ABFE面積的一半；CDEF中的陰影面積轉(zhuǎn)化成一個大的三角形，是CDEF面積的一半．所以陰影部分的面積是長方形ABCD面積的一半，即6平方厘米．例題4答案：△KBD和AABE詳解：觀察圖中哪些線段平行，AD平行于BC，AB平行于DE．根據(jù)AD平行于BC，可以知道△\DC的面積等于△ABD;根據(jù)AB平行于DE，可以知道厶ABD的面積等于△ABE