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概率論
與數(shù)理統(tǒng)計(jì)理學(xué)院數(shù)學(xué)系“悟道詩(shī)---嚴(yán)加安”隨機(jī)非隨意,概率破玄機(jī);無序隱有序,統(tǒng)計(jì)解迷離.第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征第一節(jié)數(shù)學(xué)期望二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)四、小結(jié)一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律是定義1:若則稱為離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望,簡(jiǎn)稱期望或均值,記為.隨機(jī)變量,求.例1:解:因?yàn)?,故其概率函?shù)為于是按照數(shù)學(xué)期望的定義有隨機(jī)變量,求.例2:解:因?yàn)?,故其概率函?shù)為于是按照數(shù)學(xué)期望的定義有設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度是定義2:若則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望,簡(jiǎn)稱期望或均值,記為.隨機(jī)變量,求.例3:解:因?yàn)?,故其概率密度為于是按照?shù)學(xué)期望的定義有隨機(jī)變量,求.例4:解:因?yàn)?,故其概率密度為于是按照?shù)學(xué)期望的定義有隨機(jī)變量,求.例5:解:因?yàn)?,故其概率密度為于是按照?shù)學(xué)期望的定義有求其數(shù)學(xué)期望.隨機(jī)變量服從柯西(Cauchy)分布,概率密度為例6:解:因?yàn)楣势鋽?shù)學(xué)期望不存在.二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的函數(shù)依然是隨機(jī)變量,故隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望一般可以通過求得其概率分布再進(jìn)行數(shù)學(xué)期望求解.但是這種方法一般比較繁瑣,況且有時(shí)我們并不想知道隨機(jī)變量函數(shù)的具體分布,這時(shí)我們將利用如下定理直接計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.設(shè)
為一隨機(jī)變量,
且存在,則定理1:(1)若是離散型隨機(jī)變量,其概率函數(shù)為則的數(shù)學(xué)期望為(2)若是連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為,則的數(shù)學(xué)期望為求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.設(shè)隨機(jī)變量的概率分布如下例7:解:方法一:易求得的概率分布為故其數(shù)學(xué)期望-10120.20.10.30.4-1030.30.50.2求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.設(shè)隨機(jī)變量的概率分布如下例7:解:方法二:按照公式的數(shù)學(xué)期望-10120.20.10.30.4因?yàn)?,其概率密度為設(shè)隨機(jī)變量,求及例8:解:故設(shè)隨機(jī)變量,求及例8:解:國(guó)際市場(chǎng)每年對(duì)我國(guó)某種出口商品的需求量是隨機(jī)變量(噸),其服從區(qū)間上的均勻分布,每售出一噸該商品,可為國(guó)家賺取外匯3萬元;若銷售不出去,則每噸商品需要貯存費(fèi)1萬元.問該商品應(yīng)出口多少噸才能使國(guó)家的平均收益最大?例9:解:設(shè)該商品應(yīng)出口噸,顯然.國(guó)家收益(單位:萬元)是需求量的函數(shù),記為,故有例9:解:由題意,的概率密度為則的數(shù)學(xué)期望為例9:解:是的函數(shù),為使最大,易知于是,該商品應(yīng)出口3500噸才能使國(guó)家的平均收益最大.設(shè)
為二隨機(jī)變量,
且存在,則定理2:(1)若是離散型隨機(jī)變量,其概率函數(shù)為則的數(shù)學(xué)期望為(2)若是連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為,則的數(shù)學(xué)期望為設(shè)為常量,則三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)利用性質(zhì)求解數(shù)學(xué)期望往往比直接求法簡(jiǎn)潔.(1)設(shè)為常量,則(4)設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立,則(2)設(shè)為常量,則(3)該性質(zhì)亦可推廣至有限情形.隨機(jī)變量,求.例10:解:引入且相互獨(dú)立,則又,故隨機(jī)變量,求.例11:解:引入(但不一定獨(dú)立),則又,故因
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