《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課件 1.1 隨機(jī)事件

概率論

與數(shù)理統(tǒng)計(jì)理學(xué)院數(shù)學(xué)系“悟道詩(shī)---嚴(yán)加安”隨機(jī)非隨意，概率破玄機(jī)；無(wú)序隱有序，統(tǒng)計(jì)解迷離．第一章隨機(jī)事件及其概率第一節(jié)隨機(jī)事件二、隨機(jī)事件四、小結(jié)一、隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間三、隨機(jī)事件的關(guān)系及其運(yùn)算

在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱(chēng)為確定性現(xiàn)象.如：“水從高處流向低處”確定性現(xiàn)象的特征：條件完全決定結(jié)果“同性電荷必然互斥”“太陽(yáng)不會(huì)從西邊升起”（1）確定性現(xiàn)象一、隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間結(jié)果可能為:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”,“6”.

實(shí)例2

“拋擲一枚骰子，觀(guān)察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”.

實(shí)例1

“用同一門(mén)炮向同一目標(biāo)發(fā)射同一種炮彈多發(fā)，觀(guān)察彈著落點(diǎn)的情況”.結(jié)果:“彈著點(diǎn)會(huì)不盡相同”.（2）隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)：

概率論是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科.

在概率論中，把在一定條件下可以重復(fù)試驗(yàn)或觀(guān)察，且能預(yù)知所有可能結(jié)果，但每次試驗(yàn)的結(jié)果不能預(yù)知，而大量重復(fù)試驗(yàn)的結(jié)果卻能呈現(xiàn)出某種規(guī)律性的現(xiàn)象稱(chēng)為隨機(jī)現(xiàn)象．條件不能完全決定結(jié)果

與隨機(jī)現(xiàn)象相應(yīng)的試驗(yàn)稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)為試驗(yàn)．對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象所做的試驗(yàn)如果滿(mǎn)足：（1）可重復(fù)性，即在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行；定義1：（2）可知性，即每次試驗(yàn)的所有可能結(jié)果不止一個(gè)且都明確可知；（3）隨機(jī)性，即每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)前無(wú)法預(yù)知會(huì)出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果．我們稱(chēng)這樣的試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)，有時(shí)簡(jiǎn)稱(chēng)試驗(yàn)，通常用大寫(xiě)英文字母等表示．E1：拋擲一枚硬幣,觀(guān)察正面、反面出現(xiàn)的情況；下面給出幾個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的具體例子：

E2：拋擲一枚硬幣兩次,觀(guān)察正面出現(xiàn)的次數(shù)；

E3

：在東西南北四面同樣受敵時(shí)，同時(shí)選擇兩個(gè)方向突圍；

E4

：拋一顆骰子，觀(guān)察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；例1：

E5

：記錄某放射性物質(zhì)在一分鐘內(nèi)放射的粒子數(shù)；

E6：在一批燈泡中任意抽取一個(gè)，測(cè)試它的壽命x；

E7：考察一個(gè)汽車(chē)通過(guò)十字路口時(shí)遇紅燈的停留時(shí)間t；

E8：考察用同一把尺子測(cè)量不同物體長(zhǎng)度時(shí)取整的舍入誤差r.隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合稱(chēng)為樣本空間，記作Ω

或S．定義2：因此，例1中隨機(jī)試驗(yàn)E1的樣本空間為樣本空間的每一個(gè)元素，即隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)結(jié)果稱(chēng)為樣本點(diǎn)，通常用或等表示．若記H=正面、T=反面，則E1的樣本空間也可以表示為隨機(jī)試驗(yàn)E2的樣本空間為隨機(jī)試驗(yàn)E3的樣本空間為隨機(jī)試驗(yàn)E4的樣本空間為同學(xué)們可試著寫(xiě)一寫(xiě)隨機(jī)試驗(yàn)E5~E8的樣本空間．隨機(jī)試驗(yàn)E5的樣本空間為隨機(jī)試驗(yàn)E6的樣本空間為隨機(jī)試驗(yàn)E7的樣本空間為隨機(jī)試驗(yàn)E8的樣本空間為二、隨機(jī)事件隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間Ω

中用來(lái)表示某些結(jié)果的樣本點(diǎn)的集合稱(chēng)為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱(chēng)事件．定義3：隨機(jī)事件是樣本空間Ω

的子集，用大寫(xiě)英文字母等表示．對(duì)于隨機(jī)現(xiàn)象，我們關(guān)心的往往不只是其所有的可能結(jié)果，而更加關(guān)心某些部分結(jié)果．如：擲骰子出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)、燈泡壽命超過(guò)5000小時(shí)．

如：在試驗(yàn)E4中,骰子“出現(xiàn)1點(diǎn)”,“出現(xiàn)2點(diǎn)”,“出現(xiàn)6點(diǎn)”,“點(diǎn)數(shù)不大于4”,“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”等都為隨機(jī)事件．

是所有樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合,它在每次試驗(yàn)中都必然發(fā)生,稱(chēng)為必然事件,空集

不含任何樣本點(diǎn),在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生,稱(chēng)為不可能事件．

由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集{e}稱(chēng)為基本事件．不可能事件與必然事件是特殊的隨機(jī)事件．注：

設(shè)試驗(yàn)為從裝有三個(gè)白球(記為1,2,3號(hào))與兩個(gè)黑球(記為4,5號(hào))的袋中任取兩個(gè)球．(a)如果只觀(guān)察顏色，則樣本空間為(b)如果只觀(guān)察號(hào)碼，則樣本空間為其中ωi

j是樣本點(diǎn),表示取出的是第i號(hào)球和第j號(hào)球．在E4中，基本事件有6個(gè)：如：在E5中，基本事件有無(wú)窮個(gè)：例2：（3個(gè)樣本點(diǎn)）（10個(gè)樣本點(diǎn)）三、隨機(jī)事件的關(guān)系及其運(yùn)算

1.包含關(guān)系若事件A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生,則稱(chēng)事件B

包含事件A,

記作

B包含A

BA若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A,則稱(chēng)事件A與事件B相等,記作A=B.任何一個(gè)隨機(jī)事件都是樣本空間

的一個(gè)子集，故隨機(jī)事件之間的關(guān)系與運(yùn)算可以看作集合之間的關(guān)系與運(yùn)算．

2.相等關(guān)系

3.事件的和（或并）若事件A

與事件B至少一個(gè)發(fā)生，則稱(chēng)事件A與事件B

的和(或并)

,記作推廣

稱(chēng)為可列個(gè)事件和，簡(jiǎn)記為和，簡(jiǎn)記為稱(chēng)為n個(gè)事件的,

ABA與B的并

4.事件的交（或積）若事件A與事件B

都發(fā)生，則稱(chēng)事件A與事件B

的交(或積)

,記作簡(jiǎn)記推廣

稱(chēng)為可列個(gè)事件和，簡(jiǎn)記為或的和，簡(jiǎn)記為或稱(chēng)為

n

個(gè)事件的

BAA與B的交

5.事件的差若事件A

發(fā)生且事件

B

不發(fā)生，則稱(chēng)事件A與事件B

的差

,記作

即如：在擲骰子的實(shí)驗(yàn)中，事件A為“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事件

B

為“點(diǎn)數(shù)不大于4”，則A與B的差6.互不相容（或互斥）事件若事件A

與事件

B兩個(gè)不相容事件A

與B的和記作A

+

B；n個(gè)

注：不能同時(shí)發(fā)生，則稱(chēng)事件A與事件B互不相容（或互斥），記作互不相容事件的和記作（簡(jiǎn)作）；可列個(gè)互不相容事件的和記作（簡(jiǎn)記作）.A與B互斥

7.對(duì)立事件在每次隨機(jī)試驗(yàn)中，若事件A

與事件注：任意隨機(jī)事件A均存在對(duì)立事件且唯一.件B

有且僅有一個(gè)發(fā)生，即且，則稱(chēng)事件A與事件B互為對(duì)立事件（或逆事件），記作A與B對(duì)立由對(duì)立事件定義可知：事件的運(yùn)算律：（1）交換律：（2）結(jié)合律：（3）分配律：（4）德摩根（DeMorgan）律(或?qū)ε悸?：注：以上運(yùn)算律可推廣到有限多個(gè)或可列多個(gè)情形.例3：甲、乙、丙三人各投籃一次，記A“甲投中”，B“乙投中”，C“丙投中”，用上述三個(gè)事件分別表示下述各事件：（1）甲未投中：（2）甲投中而乙未投中：（3）三人中只有丙未投中：（4）三人中至少有一人投中：（5）三人中至少有一人未投中：（6）三人中恰有一人投中：（7）三人中恰有兩人投中：（8）三均未投中：（9）三人中至少兩人投中：（10）三人中至多一人投中：（11）三人中至多兩人投中：注：用簡(jiǎn)單事件表示復(fù)雜事件，表示方法往往不唯一，如：例3的（5）和（11），對(duì)于同一事件，表示方法簡(jiǎn)繁立見(jiàn).所以，在解決具體問(wèn)題時(shí)，根據(jù)需要選擇一種恰當(dāng)?shù)姆椒〞?huì)使問(wèn)題描述變得簡(jiǎn)潔有效.小結(jié)1.主要概念：樣本點(diǎn)，樣本空間，隨機(jī)事件.2.用樣本空間的子集表示