期中模擬測試卷02（考試范圍選擇性必修第一冊）（解析版）

期中模擬測試卷02（考試范圍：選擇性必修第一冊）滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘。一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知是所在平面外一點(diǎn)，是中點(diǎn)，且，則【】A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】因?yàn)镸是PC中點(diǎn)，，又，，∴.故選：A.2．已知向量，，則【】A． B．40 C．6 D．36【答案】C【解析】由題設(shè)，則.故選：C3．設(shè)點(diǎn)，，直線過點(diǎn)且與線段相交，則的斜率的取值范圍是（

）A．或 B．或 C． D．【答案】B【解析】如圖所示：因?yàn)?，所以?dāng)直線過點(diǎn)且與線段相交時(shí)，的斜率的取值范圍是或，故選：B4．過點(diǎn)引直線，使、兩點(diǎn)到直線的距離相等，則這條直線的方程是【】．A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】設(shè)所求直線為，分兩種情況討論：①，則直線的斜率，此時(shí)直線的方程為，即，易知點(diǎn)不在直線上，合乎題意；②當(dāng)直線過線段的中點(diǎn)時(shí)，直線的斜率為，此時(shí)直線的方程為，即.綜上所述，所求直線方程為或.故選：C.5．已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則的最大值為【】．A．13 B．12 C．25 D．16【答案】C【解析】由橢圓方程知：；根據(jù)橢圓定義知：，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），的最大值為.故選：C.6．已知等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)F，其余兩個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線C上，則該等邊三角形的邊長為【】A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)拋物線與等邊三角形的性質(zhì)知，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在在上，，聯(lián)立解得，根據(jù)拋物線的定義得其邊長為．故選：D7．已知點(diǎn)P為圓：上任一點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓：上任一點(diǎn)，則的最小值為【】A．1 B． C．2 D．4【答案】A【解析】解：由題知，圓半徑為，圓心坐標(biāo)為，圓半徑為，圓心坐標(biāo)為，所以兩圓的位置關(guān)系為內(nèi)含，所以，，所以的最小值為．故選：A8．如圖，在三棱錐中，，，，點(diǎn)在平面內(nèi)，且，設(shè)異面直線與所成的角為，則的最大值為【】A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接，，為的中點(diǎn)，則，，則，，同理可得，，，平面，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，因?yàn)椋?，為等邊三角形，故為的中點(diǎn)，平面，平面，則，，，平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)槭沁呴L為的等邊三角形，為的中點(diǎn)，則，則、、、，由于點(diǎn)在平面內(nèi)，可設(shè)，其中，且，從而，因?yàn)?，則，所以，，故當(dāng)時(shí)，有最大值，即，故，即有最大值，所以，.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9．下列結(jié)論正確的是【】A．若直線l方向向量，平面，則是平面的一個(gè)法向量B．坐標(biāo)平面內(nèi)過點(diǎn)的直線可以寫成C．直線l過點(diǎn)，且原點(diǎn)到l的距離是2，則l的方程是D．設(shè)二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，則過這三個(gè)點(diǎn)的圓與坐標(biāo)軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為【答案】BD【解析】對于A，當(dāng)時(shí)，，不能作為平面的法向量，故A錯(cuò)誤；對于B，設(shè)過點(diǎn)的直線方程一般式為，可得，即，代入直線方程得，提取公因式得，故B正確；對于C，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，即，檢驗(yàn)原點(diǎn)到的距離是2，所以符合；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則方程為：，即，利用原點(diǎn)到直線的距離，解得，所以，故直線的方程是或，故C錯(cuò)誤；對于D，由題知，二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為，，，設(shè)過這三個(gè)點(diǎn)的圓的方程為，令的兩根為2020，-2021，由韋達(dá)定理知，令的其中一個(gè)根為，所以另一個(gè)根為1，即圓過點(diǎn)(0，1)，故D正確.故選：BD.10．已知直線、的方向向量分別是，若且，則的值可以是【】A．－3 B．－1 C．1 D．3【答案】BC【解析】由得：，即，①由得：，②①②聯(lián)立解得：，或故x+y的值可以是1或-1，故選：BC11．記橢圓與橢圓內(nèi)部重疊區(qū)域的邊界為曲線C，P是曲線C上任意一點(diǎn)，則（

）A．橢圓C1與橢圓C2的離心率相等B．曲線C關(guān)于y＝±x對稱C．P到點(diǎn)(－1，0)，(1，0)，(0，－1)，(0，1)的距離之和為定值D．P到原點(diǎn)的距離的最大值為【答案】ABD【解析】由已知橢圓的長軸長和短軸長都分別相等，因此焦點(diǎn)也相等，從而離心率相同，A正確；用替換方程中的得的方程，同樣用替換中的得方程，因此橢圓與橢圓關(guān)于直線對稱，同理可得它們也關(guān)于直線對稱，因此它們的公共部分邊界線關(guān)于直線對稱，B正確；是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，在橢圓上時(shí)，是定值，但不是定值，所以不是定值，C錯(cuò)；設(shè)橢圓上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，則，隨的增大而增大，由對稱性，曲線上，當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，最大，，，因此，D正確．故選：ABD．12．已知為雙曲線右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不經(jīng)過頂點(diǎn)），，分別是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，的內(nèi)切圓圓心為，過做，垂足為，下列結(jié)論正確的是【】A．在定直線上 B．為定值C．為定值 D．為定值【答案】AC【解析】設(shè)的內(nèi)切圓在上的切點(diǎn)分別為，設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，因?yàn)閮?nèi)切圓圓心為，所以軸，所以內(nèi)切圓圓心在直線上，故A正確；因?yàn)椋閮?nèi)切圓的半徑），，所以不為定值，故B錯(cuò)誤；，垂足為，設(shè)，為的角平分線，為等腰三角形，,因?yàn)?，在中，為中位線，所以，所以為定值，故C正確；因?yàn)闉閳A在軸右側(cè)上的動(dòng)點(diǎn)，在雙曲線右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，結(jié)合圖象易知不是定值.故選：AC.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．直線過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等，則直線的一般式方程為___________.【答案】，【解析】顯然直線的斜率存在且不為，設(shè)：令，則；令，則依題意，解之得或當(dāng)時(shí)，：當(dāng)時(shí)，：故答案為：，14．已知圓與相交于兩點(diǎn)，則公共弦的長是___________.【答案】【解析】解：由題意所在的直線方程為：，即，因?yàn)閳A的圓心，半徑為，所以，圓心到直線的距離為1，所以.故答案為：15．已知點(diǎn)，B是x軸的正半軸上一點(diǎn)，C是直線上一點(diǎn)，則周長的最小值為___________.【答案】【解析】如圖，分別作出點(diǎn)A關(guān)于直線與x軸對稱的點(diǎn)，，則，解得.所以.當(dāng)，C，B，四點(diǎn)共線時(shí)，的周長最小，且最小值為.故答案為：.16．已知拋物線的方程為，焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，若點(diǎn)P在此拋物線上移動(dòng)，記P到其準(zhǔn)線的距離為d，則的最小值為______，此時(shí)P的坐標(biāo)為______．【答案】

【解析】過點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，連接，作圖如下：根據(jù)拋物線的定義，，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，且在之間時(shí)取得最小值；即的最小值為，又，故；此時(shí)直線的方程為：，聯(lián)立拋物線方程，可得：，解得（舍）或，此時(shí)，即此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：；.四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（10分）已知平行六面體，底面是正方形，，，，，，設(shè)，，．(1)用、、表示，；(2)求的長度．【答案】(1)，(2)【解析】（1）解：；即，（2）解：因?yàn)?，，，，，，所以所以，?8．（12分）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)P及線段l，Q是線段l上的任意一點(diǎn)，線段長度的最小值稱為“點(diǎn)P到線段l的距離”，記為.(1)設(shè)點(diǎn)，線段，求；(2)設(shè)??，線段，線段，若點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，請將表示成x的函數(shù).【答案】(1)(2)【解析】(1)解：可設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以；(2)解：線段所在直線的方程為，線段所在直線的方程為，過點(diǎn)且垂直于線段的直線方程為，即，聯(lián)立，解得，因?yàn)辄c(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，所以，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到線段的最短距離即為點(diǎn)到線段所在直線的距離，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到線段的最短距離即為點(diǎn)到線段上的點(diǎn)的最短距離，此時(shí)，綜上所述，.19．（12分）已知橢圓的短軸長為，左頂點(diǎn)A到右焦點(diǎn)的距離為．(1)求橢圓的方程(2)設(shè)直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，（不同于A），且直線和的斜率之積與橢圓的離心率互為相反數(shù)，求證：經(jīng)過定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】(1)解：依題意、，又，解得，，所以橢圓方程為，離心率；(2)解：由（1）可知，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，聯(lián)立方程得，消去整理得，設(shè)，，所以，；因?yàn)橹本€和的斜率之積與橢圓的離心率互為相反數(shù)，所以；即所以，即，所以，即，所以或，當(dāng)時(shí)，直線：，恒過定點(diǎn)，因?yàn)橹本€不過A點(diǎn)，所以舍去；當(dāng)時(shí)，直線：，恒過定點(diǎn)；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線，，，則，且，解得或（舍去）；綜上可得直線恒過定點(diǎn).20．（12分）如圖1，四棱錐中，底面，底面是直角梯形，，，，，，，為側(cè)棱上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求二面角的平面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）證明：取上取一點(diǎn)，使，連接、，由題知，所以，．又因?yàn)?，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以．因?yàn)槠矫妫矫?，所以直線平面．（2）解：因?yàn)槠矫?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以、、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，易知平面的一個(gè)法向量為，所以，，由圖可知，二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為.21．（12分）已知圓：，直線分別交軸，軸于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，且圓心C到直線的距離為1.(1)求證：；(2)設(shè)，直線過線段的中點(diǎn)M且分別交軸與軸的正半軸于點(diǎn)P、Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△面積最小時(shí)直線的方程；(3)求△面積的最小值.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【解析】(1)證明：圓為：，圓心C（1，1），半徑為1，設(shè)直線為：即，圓心C到直線的距離為1，∴，平方整理得：，即；(2)設(shè)直線的方程為：，又直線過點(diǎn)M（2，1），所以，即，則△的面積，當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)等號(hào)成立.所以，直線的方程為：，即；(3)，，設(shè)，或，∵

∴，∴，∴只能取，∴，∴，∴△面積的最小值為.22．（12分）已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)，并且與圓外切，設(shè)動(dòng)圓的圓心的軌跡為．(1)求曲線的方程；(2)過動(dòng)點(diǎn)作直線與曲線交于，兩點(diǎn)，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求的值；(3)過點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，設(shè)直線，點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，證明直線經(jīng)過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)(3)證明見解析，點(diǎn)【解析】(1)解：設(shè)動(dòng)圓的圓心，半徑為，