期中模擬測試卷02（考試范圍選擇性必修第一冊）（解析版）

期中模擬測試卷02（考試范圍：選擇性必修第一冊）滿分：150分考試時間：120分鐘。一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．已知是所在平面外一點，是中點，且，則【】A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】因為M是PC中點，，又，，∴.故選：A.2．已知向量，，則【】A． B．40 C．6 D．36【答案】C【解析】由題設，則.故選：C3．設點，，直線過點且與線段相交，則的斜率的取值范圍是（

）A．或 B．或 C． D．【答案】B【解析】如圖所示：因為，所以當直線過點且與線段相交時，的斜率的取值范圍是或，故選：B4．過點引直線，使、兩點到直線的距離相等，則這條直線的方程是【】．A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】設所求直線為，分兩種情況討論：①，則直線的斜率，此時直線的方程為，即，易知點不在直線上，合乎題意；②當直線過線段的中點時，直線的斜率為，此時直線的方程為，即.綜上所述，所求直線方程為或.故選：C.5．已知，是橢圓的兩個焦點，點M在C上，則的最大值為【】．A．13 B．12 C．25 D．16【答案】C【解析】由橢圓方程知：；根據(jù)橢圓定義知：，（當且僅當時取等號），的最大值為.故選：C.6．已知等邊三角形的一個頂點為拋物線的焦點F，其余兩個頂點都在拋物線C上，則該等邊三角形的邊長為【】A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)拋物線與等邊三角形的性質(zhì)知，其余兩個頂點分別在在上，，聯(lián)立解得，根據(jù)拋物線的定義得其邊長為．故選：D7．已知點P為圓：上任一點，點Q為圓：上任一點，則的最小值為【】A．1 B． C．2 D．4【答案】A【解析】解：由題知，圓半徑為，圓心坐標為，圓半徑為，圓心坐標為，所以兩圓的位置關(guān)系為內(nèi)含，所以，，所以的最小值為．故選：A8．如圖，在三棱錐中，，，，點在平面內(nèi)，且，設異面直線與所成的角為，則的最大值為【】A． B． C． D．【答案】D【解析】設線段的中點為，連接，，為的中點，則，，則，，同理可得，，，平面，過點在平面內(nèi)作，垂足為點，因為，所以，為等邊三角形，故為的中點，平面，平面，則，，，平面，以點為坐標原點，、、分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，因為是邊長為的等邊三角形，為的中點，則，則、、、，由于點在平面內(nèi)，可設，其中，且，從而，因為，則，所以，，故當時，有最大值，即，故，即有最大值，所以，.故選：D.二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9．下列結(jié)論正確的是【】A．若直線l方向向量，平面，則是平面的一個法向量B．坐標平面內(nèi)過點的直線可以寫成C．直線l過點，且原點到l的距離是2，則l的方程是D．設二次函數(shù)的圖象與坐標軸有三個交點，則過這三個點的圓與坐標軸的另一個交點的坐標為【答案】BD【解析】對于A，當時，，不能作為平面的法向量，故A錯誤；對于B，設過點的直線方程一般式為，可得，即，代入直線方程得，提取公因式得，故B正確；對于C，當直線斜率不存在時，即，檢驗原點到的距離是2，所以符合；當直線斜率存在時，設為k，則方程為：，即，利用原點到直線的距離，解得，所以，故直線的方程是或，故C錯誤；對于D，由題知，二次函數(shù)的圖象與坐標軸的三個交點為，，，設過這三個點的圓的方程為，令的兩根為2020，-2021，由韋達定理知，令的其中一個根為，所以另一個根為1，即圓過點(0，1)，故D正確.故選：BD.10．已知直線、的方向向量分別是，若且，則的值可以是【】A．－3 B．－1 C．1 D．3【答案】BC【解析】由得：，即，①由得：，②①②聯(lián)立解得：，或故x+y的值可以是1或-1，故選：BC11．記橢圓與橢圓內(nèi)部重疊區(qū)域的邊界為曲線C，P是曲線C上任意一點，則（

）A．橢圓C1與橢圓C2的離心率相等B．曲線C關(guān)于y＝±x對稱C．P到點(－1，0)，(1，0)，(0，－1)，(0，1)的距離之和為定值D．P到原點的距離的最大值為【答案】ABD【解析】由已知橢圓的長軸長和短軸長都分別相等，因此焦點也相等，從而離心率相同，A正確；用替換方程中的得的方程，同樣用替換中的得方程，因此橢圓與橢圓關(guān)于直線對稱，同理可得它們也關(guān)于直線對稱，因此它們的公共部分邊界線關(guān)于直線對稱，B正確；是橢圓的兩個焦點，是橢圓的兩個焦點，在橢圓上時，是定值，但不是定值，所以不是定值，C錯；設橢圓上在第一象限內(nèi)的點，則，隨的增大而增大，由對稱性，曲線上，當點在直線上時，最大，，，因此，D正確．故選：ABD．12．已知為雙曲線右支上的一個動點（不經(jīng)過頂點），，分別是雙曲線的左，右焦點，的內(nèi)切圓圓心為，過做，垂足為，下列結(jié)論正確的是【】A．在定直線上 B．為定值C．為定值 D．為定值【答案】AC【解析】設的內(nèi)切圓在上的切點分別為，設切點的坐標為，因為，所以，因為內(nèi)切圓圓心為，所以軸，所以內(nèi)切圓圓心在直線上，故A正確；因為（為內(nèi)切圓的半徑），，所以不為定值，故B錯誤；，垂足為，設，為的角平分線，為等腰三角形，,因為，在中，為中位線，所以，所以為定值，故C正確；因為為圓在軸右側(cè)上的動點，在雙曲線右支上的一個動點，結(jié)合圖象易知不是定值.故選：AC.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．直線過點，且在兩坐標軸上截距相等，則直線的一般式方程為___________.【答案】，【解析】顯然直線的斜率存在且不為，設：令，則；令，則依題意，解之得或當時，：當時，：故答案為：，14．已知圓與相交于兩點，則公共弦的長是___________.【答案】【解析】解：由題意所在的直線方程為：，即，因為圓的圓心，半徑為，所以，圓心到直線的距離為1，所以.故答案為：15．已知點，B是x軸的正半軸上一點，C是直線上一點，則周長的最小值為___________.【答案】【解析】如圖，分別作出點A關(guān)于直線與x軸對稱的點，，則，解得.所以.當，C，B，四點共線時，的周長最小，且最小值為.故答案為：.16．已知拋物線的方程為，焦點為F，點A的坐標為，若點P在此拋物線上移動，記P到其準線的距離為d，則的最小值為______，此時P的坐標為______．【答案】

【解析】過點作拋物線準線的垂線，垂足為，連接，作圖如下：根據(jù)拋物線的定義，，數(shù)形結(jié)合可知，當且僅當三點共線，且在之間時取得最小值；即的最小值為，又，故；此時直線的方程為：，聯(lián)立拋物線方程，可得：，解得（舍）或，此時，即此時點的坐標為.故答案為：；.四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（10分）已知平行六面體，底面是正方形，，，，，，設，，．(1)用、、表示，；(2)求的長度．【答案】(1)，(2)【解析】（1）解：；即，（2）解：因為，，，，，，所以所以，即18．（12分）在平面直角坐標系內(nèi)，已知點P及線段l，Q是線段l上的任意一點，線段長度的最小值稱為“點P到線段l的距離”，記為.(1)設點，線段，求；(2)設??，線段，線段，若點是上的動點，請將表示成x的函數(shù).【答案】(1)(2)【解析】(1)解：可設，則，當時，，所以；(2)解：線段所在直線的方程為，線段所在直線的方程為，過點且垂直于線段的直線方程為，即，聯(lián)立，解得，因為點是上的動點，所以，當時，點到線段的最短距離即為點到線段所在直線的距離，此時，當時，點到線段的最短距離即為點到線段上的點的最短距離，此時，綜上所述，.19．（12分）已知橢圓的短軸長為，左頂點A到右焦點的距離為．(1)求橢圓的方程(2)設直線與橢圓交于不同兩點，（不同于A），且直線和的斜率之積與橢圓的離心率互為相反數(shù)，求證：經(jīng)過定點．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】(1)解：依題意、，又，解得，，所以橢圓方程為，離心率；(2)解：由（1）可知，當直線斜率存在時，設直線為，聯(lián)立方程得，消去整理得，設，，所以，；因為直線和的斜率之積與橢圓的離心率互為相反數(shù)，所以；即所以，即，所以，即，所以或，當時，直線：，恒過定點，因為直線不過A點，所以舍去；當時，直線：，恒過定點；當直線斜率不存在時，設直線，，，則，且，解得或（舍去）；綜上可得直線恒過定點.20．（12分）如圖1，四棱錐中，底面，底面是直角梯形，，，，，，，為側(cè)棱上靠近點的四等分點．(1)證明：平面；(2)求二面角的平面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）證明：取上取一點，使，連接、，由題知，所以，．又因為，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以．因為平面，平面，所以直線平面．（2）解：因為平面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，所以、、、、，設平面的法向量為，，，則，取，則，易知平面的一個法向量為，所以，，由圖可知，二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為.21．（12分）已知圓：，直線分別交軸，軸于A，B兩點，O為坐標原點，，且圓心C到直線的距離為1.(1)求證：；(2)設，直線過線段的中點M且分別交軸與軸的正半軸于點P、Q，O為坐標原點，求△面積最小時直線的方程；(3)求△面積的最小值.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【解析】(1)證明：圓為：，圓心C（1，1），半徑為1，設直線為：即，圓心C到直線的距離為1，∴，平方整理得：，即；(2)設直線的方程為：，又直線過點M（2，1），所以，即，則△的面積，當且僅當即，時等號成立.所以，直線的方程為：，即；(3)，，設，或，∵

∴，∴，∴只能取，∴，∴，∴△面積的最小值為.22．（12分）已知動圓過點，并且與圓外切，設動圓的圓心的軌跡為．(1)求曲線的方程；(2)過動點作直線與曲線交于，兩點，當為的中點時，求的值；(3)過點的直線與曲線交于，兩點，設直線，點，直線交于點，證明直線經(jīng)過定點，并求出該定點的坐標.【答案】(1)(2)(3)證明見解析，點【解析】(1)解：設動圓的圓心，半徑為，