課時(shí)跟蹤檢測(cè)（十） 小船渡河和關(guān)聯(lián)速度問題

6/6課時(shí)跟蹤檢測(cè)（十）小船渡河和關(guān)聯(lián)速度問題1．如圖，甲、乙兩只小船同時(shí)從A點(diǎn)沿著與河岸不同夾角的方向渡河，甲船船頭與河岸上游的夾角為60°，乙船船頭與河岸下游的夾角為30°，水流速度恒定。要使兩船同時(shí)到達(dá)對(duì)岸，則甲船在靜水中的速度大小與乙船在靜水中的速度大小之比為()A．1∶2 B．2∶1C．1∶eq\r(3) D.eq\r(3)∶1解析：選C兩船同時(shí)到達(dá)對(duì)岸，則兩船靜水速度沿垂直兩岸方向的分速度相等，即v甲sin60°＝v乙sin30°，得v甲∶v乙＝1∶eq\r(3)，故選C。2．(2023·福建石獅段考)如圖所示，重物沿豎直桿下滑，并通過繩帶動(dòng)小車沿斜面升高。當(dāng)滑輪右側(cè)的繩與豎直方向成θ角，且重物下滑的速率為v時(shí)，小車的速率為()A．vsinθ B.eq\f(v,cosθ)C．vcosθ D.eq\f(v,sinθ)解析：選C將重物的速度按圖示兩個(gè)方向分解，如圖所示，得繩子速率為v繩＝vcosθ；而繩子速率等于小車的速率，則小車的速率為v車＝v繩＝vcosθ，故選C。3.如圖所示，一輕桿兩端分別固定兩個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A和B，將其放到一個(gè)光滑的球形容器中并在豎直面上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)輕桿到達(dá)A球與球形容器球心等高時(shí)，A球速度大小為v1，已知此時(shí)輕桿與水平方向成θ＝30°角，B球的速度大小為v2，則()A．v2＝v1 B．v2＝2v1C．v2＝eq\f(v1,2) D．v2＝eq\r(3)v1解析：選A根據(jù)題意，將A球的速度沿著桿與垂直于桿兩方向分解，同時(shí)將B球的速度也沿著桿與垂直于桿兩方向分解，A球：v0＝v1sinθ，B球：v0′＝v2sinθ，由于是同一輕桿，則有v1sinθ＝v2sinθ，所以v2＝v1，故A正確，B、C、D錯(cuò)誤。4.如圖所示，一條小船從碼頭A過河，小船在靜水中的速度為v，船頭指向始終與河岸垂直(沿AA′方向)。當(dāng)水流速度為v1時(shí)，小船運(yùn)動(dòng)到河對(duì)岸的碼頭B靠岸，AB與河岸的夾角為α＝60°。當(dāng)水流速度為v2時(shí)，小船運(yùn)動(dòng)到河對(duì)岸的碼頭C靠岸，AC與河岸的夾角為β＝30°。下列說法正確的是()A．小船沿AB、AC過河的時(shí)間相等B．小船沿AC過河的時(shí)間更長(zhǎng)C．v1∶v2＝1∶2D．當(dāng)水流速度為v1時(shí)，要使小船到達(dá)碼頭A′，船頭應(yīng)指向河的上游且與河岸夾角為60°解析：選A因船頭始終垂直于河岸，可知船過河的時(shí)間為t＝eq\f(d,v)，即小船沿AB、AC過河的時(shí)間相等，A正確，B錯(cuò)誤；由題意可知tan60°＝eq\f(v,v1)，tan30°＝eq\f(v,v2)，解得v1∶v2＝1∶3，C錯(cuò)誤；當(dāng)水流速度為v1時(shí)，要使小船到達(dá)碼頭A′，則合速度應(yīng)該垂直河對(duì)岸，船頭應(yīng)指向河的上游且與河岸夾角的余弦值為cosθ＝eq\f(v1,v)＝eq\f(\r(3),3)，則θ≠60°，D錯(cuò)誤。5.(2023·濟(jì)南高一質(zhì)檢)(多選)自由泳是競(jìng)技游泳比賽項(xiàng)目之一。某運(yùn)動(dòng)員在一次渡河訓(xùn)練中，向某方向以自由泳泳姿勻速運(yùn)動(dòng)，因水流原因，實(shí)際運(yùn)動(dòng)路徑與河岸夾角為30°，如圖所示。已知河水水流速度v水＝0.6m/s，以下說法正確的是()A．該同學(xué)相對(duì)靜水的速度可能為0.3m/sB．該同學(xué)相對(duì)靜水的速度可能為0.6m/sC．若該同學(xué)相對(duì)于靜水的速度為0.5m/s，該同學(xué)的實(shí)際渡河路徑可能垂直河岸D．若該同學(xué)加大雙腿打水頻率以提高游泳速度，會(huì)縮短渡河時(shí)間解析：選ABD根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成和分解可知，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員沿垂直于虛線向上游方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，具有最小速度，則有v＝v水sin30°，解得v＝0.3m/s，只要運(yùn)動(dòng)員速度大于等于0.3m/s，調(diào)整適當(dāng)?shù)慕嵌?，均可以沿虛線方向到達(dá)對(duì)岸，故A、B正確；運(yùn)動(dòng)員要垂直到達(dá)正對(duì)岸，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成和分解可知，運(yùn)動(dòng)員在沿河岸方向的合速度為零，設(shè)此時(shí)運(yùn)動(dòng)員游泳的方向與岸邊夾角為θ，則有vcosθ＝v水，解得v＝eq\f(0.6,cosθ)m/s≥0.6m/s，由此可知要垂直到達(dá)正對(duì)岸，運(yùn)動(dòng)員的最小速度應(yīng)大于0.6m/s，故C錯(cuò)誤；若該同學(xué)加大雙腿打水頻率以提高游泳速度，在垂直河岸方向的速度增大，河寬一定，所以會(huì)縮短渡河時(shí)間，故D正確。6.如圖所示，有兩條位于同一豎直平面內(nèi)的水平軌道，軌道上有兩個(gè)物體A和B，它們通過一根繞過定滑輪O的不可伸長(zhǎng)的輕繩相連接，物體A以速度vA＝20m/s勻速向右運(yùn)動(dòng)，在繩子與軌道成α＝30°角時(shí)，物體B的速度大小vB為()A．10eq\r(3)m/s B.eq\f(40\r(3),3)m/sC．40m/s D．10m/s解析：選B將B的速度沿繩方向和垂直繩方向分解，如圖所示，則有vA＝v2＝vBcos30°，解得vB＝eq\f(vA,cos30°)＝eq\f(40\r(3),3)m/s，故B正確。7．曲柄連桿機(jī)構(gòu)是發(fā)動(dòng)機(jī)的主要運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)，其功用是將活塞的往復(fù)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)榍S的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，從而驅(qū)動(dòng)汽車車輪轉(zhuǎn)動(dòng)。其結(jié)構(gòu)示意圖如圖所示，活塞可沿水平方向往復(fù)運(yùn)動(dòng)，曲軸可繞固定的O點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，連桿兩端分別連接曲軸上的A點(diǎn)和活塞上的B點(diǎn)，若曲軸繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則()A．活塞做水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)B．當(dāng)OA與AB垂直時(shí)，A點(diǎn)與B點(diǎn)的速度大小相等C．當(dāng)OA與AB共線時(shí)，A點(diǎn)與B點(diǎn)的速度大小相等D．當(dāng)OA與OB垂直時(shí)，A點(diǎn)與B點(diǎn)的速度大小相等解析：選D設(shè)A點(diǎn)的線速度大小為vA，當(dāng)OA與AB垂直時(shí)，設(shè)AB與水平方向的夾角為θ，則vBcosθ＝vA＜vB，故B錯(cuò)誤；當(dāng)OA與AB共線時(shí)，vA在沿桿方向的分量為零，此時(shí)B點(diǎn)速度為零，故C錯(cuò)誤；當(dāng)OA與OB垂直時(shí)，設(shè)AB與水平方向的夾角為α，則vAcosα＝vBcosα，即vA＝vB，故D正確；根據(jù)前面分析可知活塞在水平方向做變速直線運(yùn)動(dòng)，故A錯(cuò)誤。8.如圖所示，黑色小球套在一個(gè)光滑圓環(huán)上，在繩子拉力作用下，沿著環(huán)運(yùn)動(dòng)，已知繩子另一端通過定滑輪，且以恒定的速度v水平向右拉動(dòng)，則當(dāng)θ為多少度時(shí)，小球的速度最小()A．接近180°時(shí) B．90°C．60° D．小球速度始終不會(huì)改變解析：選B小球的速度設(shè)為v1，把v1沿繩方向和垂直繩方向分解，如圖所示，在沿繩方向上有v1cos(90°－θ)＝v，所以v1＝eq\f(v,cos90°－θ)，所以當(dāng)滿足θ＝90°，小球的速度v1有最小值，故B正確。9.(2023·珠海高一檢測(cè))珠三角是我國(guó)最繁忙的城市圈之一，每天眾多船只往來珠江兩岸，如圖，設(shè)水流速度v1及貨船在靜水中的速度v2(v2>v1)均保持不變。關(guān)于貨船的渡江過程，下列說法正確的是()A．船頭指向始終與江岸垂直時(shí)，船運(yùn)動(dòng)軌跡也垂直江岸B．若水流速度變大，則小船渡江路程和時(shí)間一定都變長(zhǎng)C．船頭指向始終與江岸垂直時(shí)，渡江時(shí)間最短D．若要求貨船垂直江岸到達(dá)正對(duì)岸，則船頭應(yīng)適當(dāng)偏向下游一側(cè)解析：選C若開始渡江時(shí)，船頭指向始終與江岸垂直，由于有沿江岸水流的運(yùn)動(dòng)，則船同時(shí)參與兩個(gè)互相垂直的分運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)都是勻速直線運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)的合成定則可知，船合運(yùn)動(dòng)軌跡是直線且斜向江對(duì)岸的下游，不垂直江岸，如圖所示，A錯(cuò)誤；由運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性可知，若水流速度變大，貨船速度不變，則貨船渡江時(shí)間不變，由于水流速度變大，水流方向的位移變大，則合位移變大，B錯(cuò)誤；若船頭指向始終與江岸垂直時(shí)，船在垂直于江岸方向的速度不變，由運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性和等時(shí)性可知，渡江的時(shí)間為t＝eq\f(d,v2)，d是垂直江岸寬度，所以渡江的時(shí)間最小，C正確；若要求貨船垂直江岸到達(dá)正對(duì)岸，由于有沿江岸水流的運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)合成定則可知，則船頭應(yīng)適當(dāng)偏向上游一側(cè)，合運(yùn)動(dòng)有可能垂直江岸到達(dá)正對(duì)岸，D錯(cuò)誤。10.洪澇災(zāi)害常常給人們帶來巨大的經(jīng)濟(jì)損失，如圖所示某救援隊(duì)利用摩托艇將人員進(jìn)行轉(zhuǎn)移。已知水的流速恒為v1，水流的方向平行于河岸，摩托艇的速度恒為v2，河寬為d。該救援隊(duì)由河岸的P點(diǎn)出發(fā)，將被困人員轉(zhuǎn)移到河對(duì)岸Q點(diǎn)，PQ連線與河岸垂直。則下列說法正確的是()A．如果v1＞v2，摩托艇可能到達(dá)Q點(diǎn)B．摩托艇運(yùn)動(dòng)到河對(duì)岸Q點(diǎn)時(shí)的速度一定大于v2C．摩托艇渡河的最短時(shí)間為eq\f(d,v2)D．若摩托艇能到達(dá)Q點(diǎn)，則渡河時(shí)間為eq\f(d,v2)解析：選C如果v1＞v2，摩托艇的合速度方向不可能垂直于河岸，所以摩托艇不可能到達(dá)Q點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；若滿足v2＞v1，則摩托艇的合速度方向可以垂直于河岸，當(dāng)摩托艇以垂直河岸的合速度方向到達(dá)對(duì)岸時(shí)，摩托艇的合速度大小為v合＝eq\r(v22－v12)＜v2，故B錯(cuò)誤；當(dāng)摩托艇分速度v2垂直于河岸時(shí)，渡河時(shí)間最短，則有tmin＝eq\f(d,v2)，故C正確；若摩托艇能到達(dá)Q點(diǎn)，則摩托艇的合速度方向垂直于河岸，此時(shí)合速度大小為v合＝eq\r(v22－v12)，渡河時(shí)間為t＝eq\f(d,v合)＝eq\f(d,\r(v22－v12))＞eq\f(d,v2)，故D錯(cuò)誤。11.如圖所示繩子通過固定在天花板上的定滑輪，左端與套在固定豎直桿上的物體A連接，右端與放在水平面上的物體B相連，到達(dá)如圖所示位置時(shí)，繩與水平面的夾角分別為37°、53°，兩物體的速率分別為vA、vB，且此時(shí)vA＋vB＝eq\f(20,3)m/s，sin37°＝eq\f(3,5)，cos37°＝eq\f(4,5)，則vA的大小為()A.eq\f(10,3)m/s B.eq\f(4,3)m/sC．2m/s D．4m/s解析：選A設(shè)此時(shí)繩子的速率為v繩，將A、B的速度分別沿繩的方向和垂直繩的方向分解，可得v繩＝vAsin37°，v繩＝vBcos53°，結(jié)合vA＋vB＝eq\f(20,3)m/s，解得vA＝eq\f(10,3)m/s，故選A。12．船在靜水中的速度與時(shí)間的關(guān)系如圖甲所示，河水的流速與離一側(cè)河岸的距離d的關(guān)系如圖乙所示，求：(1)小船渡河的最短時(shí)間；(2)小船以最短時(shí)間渡河的位移大小。解析：(1)由圖像可知，v船＝3m/s，河寬d＝300m，船頭正對(duì)河對(duì)岸，則渡河時(shí)間最短，故tmin＝eq\f(d,v船)＝100s。(2)當(dāng)小船船頭正對(duì)河對(duì)岸行駛時(shí)，d＝v船tmin，結(jié)合圖像可知v水先隨時(shí)間線性增大，后線性減小，垂直河岸分位移s1＝d＝300m，沿河岸方向分位移s2＝2·eq\f(v水,2)·eq\f(tmin,2)＝200m，總位移大小s＝eq\r(s12＋s22)＝100eq\r(13)m。答案：(1)100s(2)100eq\r(13)m13.(2023·福州高一檢測(cè))如圖所示，河寬d＝120m，設(shè)小船在靜水中的速度為v1，河水的流速為v2。小船從A點(diǎn)出發(fā)，在渡河時(shí)，船身保持平行移動(dòng)。若出發(fā)時(shí)船頭指向河對(duì)岸上游的B點(diǎn)，經(jīng)過10min，小船恰好到達(dá)河正對(duì)岸的C點(diǎn)；若出發(fā)時(shí)船頭指向河正對(duì)岸的C點(diǎn)，經(jīng)過8min，小船到達(dá)C點(diǎn)下游的D點(diǎn)。求：(1)小船在靜水中的速度v1的大小；(2)河水的流速v2的大??；(3)在第二次渡河中，小船被沖向下游的距離sCD。解析：(1)小船從A點(diǎn)出發(fā)，若船頭指向河正對(duì)岸的C點(diǎn)，則此時(shí)沿v1方向的位移為d，故有v1＝eq\f(d,tmin)＝eq\f(120,60×