三角函數(shù)公式及其推導兩種方法

三角函數(shù)公式及其推導三角函數(shù)的定義AAcbθCaBFigureFigureSEQFigure\*ROMANI由此，我們定義：如FigureI,在ΔABC中備注：當用一個字母或希臘字母表示角時，可略寫∠符號，但用三個子母表示時，不能省略。在本文中，我們只研究sin、cos、tan。額外的定義簡便計算公式證明： 證完任意三角形的面積公式CabhdeBcAFigureFigureSEQFigure\*ROMANII如FigureII,余弦定理：任意三角形一角的余弦等于兩鄰邊的平方和減對邊的平方之差與兩鄰邊積的兩倍之比。證明： 如FigureII, 證完海倫公式證明： 如FigureII, 正弦定理FigureSEQFigure\*ROMANFigureSEQFigure\*ROMANIIIAcOBaC如FigureIII,c為ΔABC外接圓的直徑,同理：加法定理兩角差的余弦yyABOCxβ(α-β)αFigureFigureSEQFigure\*ROMANIV如FigureIV,令AO=BO=r點A的橫坐標為點A的縱坐標為點B的橫坐標為點B的縱坐標為由余弦公式可得：綜上得：兩角和的余弦兩角和的正弦兩角差的正弦兩角和的正切兩角差的正切兩倍角公式積化和差公式和差化積公式設：A=α+β,B=α-β,設：∵其他常用公式特殊的三角函數(shù)值sin01cos10tan01N/A關于機器算法在計算機中，三角函數(shù)的算法是這樣的，其中x用弧度計算推導公式：(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R(其中，R為外接圓半徑)由正弦定理有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R所以a=2R*sinAb=2R*sinBc=2R*sinC加起來a+b+c=2R*(sinA+sinB+sinC)帶入(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R*(sinA+sinB+sinC)/(sinA+sinB+sinC)=2R兩角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式Sin2A=2SinA?CosA對數(shù)的性質(zhì)及推導用^表示乘方，用log(a)(b)表示以a為底，b的對數(shù)*表示乘號，/表示除號定義式：若a^n=b(a>0且a≠1)則n=log(a)(b)基本性質(zhì)：1.a^(log(a)(b))=b2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M)推導1.這個就不用推了吧，直接由定義式可得(把定義式中的[n=log(a)(b)]帶入a^n=b)2.MN=M*N由基本性質(zhì)1(換掉M和N)a^[log(a)(MN)]=a^[log(a)(M)]*a^[log(a)(N)]由指數(shù)的性質(zhì)a^[log(a)(MN)]=a^{[log(a)(M)]+[log(a)(N)]}又因為指數(shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，所以log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)3.與2類似處理MN=M/N由基本性質(zhì)1(換掉M和N)a^[log(a)(M/N)]=a^[log(a)(M)]/a^[log(a)(N)]由指數(shù)的性質(zhì)a^[log(a)(M/N)]=a^{[log(a)(M)]-[log(a)(N)]}又因為指數(shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，所以log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N)4.與2類似處理M^n=M^n由基本性質(zhì)1(換掉M)a^[log(a)(M^n)]={a^[log(a)(M)]}^n由指數(shù)的性質(zhì)a^[log(a)(M^n)]=a^{[log(a)(M)]*n}又因為指數(shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，所以log(a)(M^n)=nlog(a)(M)其他性質(zhì)：性質(zhì)一：換底公式log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)推導如下N=a^[log(a)(N)]a=b^[log(b)(a)]綜合兩式可得N={b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}又因為N=b^[log(b)(N)]所以b^[log(b)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}所以log(b)(N)=[log(a)(N)]*[log(b)(a)]{這步不明白或有疑問看上面的}所以log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)性質(zhì)二：（不知道什么名字）log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]推導如下由換底公式[lnx是log(e)(x),e稱作自然對數(shù)的底]log(a^n)(b^m)=ln(a^n)/ln(b^n)由基本性質(zhì)4可得log(a^n)(b^m)=[n*ln(a)]/[m*ln(b)]=(m/n)*{[ln(a)]/[ln(b)]}再由換底公式log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]--------------------------------------------（性質(zhì)及推導完）公式三:log(a)(b)=1/log(b)(a)證明如下:由換底公式log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)----取以b為底的對數(shù),log(b)(b)=1=1/log(b)(a)還可變形得:log(a)(b)*log(b)(a)=1平方關系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·商的關系：tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα·倒數(shù)關系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1萬能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]常用的誘導公式有以下幾組：公式一：設α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：設α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)一般的最常用公式有:Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosASin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosACos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinBCos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinBTan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB)Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB)平方關系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·積的關系：sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα·倒數(shù)關系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊,余弦等于角A的鄰邊比斜邊正切等于對邊比鄰邊,三角函數(shù)恒等變形公式·兩角和與差的三角函數(shù)：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·輔助角公式：Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα·半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·降冪公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·萬能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·積化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化積公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0部分高等內(nèi)容·高等代數(shù)中三角函數(shù)的指數(shù)表示(由泰勒級數(shù)易得)：sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]泰勒展開有無窮級數(shù)，e^z=exp(z)＝1＋z/1?。珃^2/2?。珃^3/3?。珃^4/4！＋…＋z^n/n！＋…此時三角函數(shù)定義域已推廣至整個復數(shù)集。·三角函數(shù)作為微分方程的解：對于微分方程組y=-y'';y=y''''，有通解Q,可證明Q=Asinx+Bcosx，因此也可以從此出發(fā)定義三角函數(shù)。補充：由相應的指數(shù)表示我們可以定義一種類似的函數(shù)——雙曲函數(shù)，其擁有很多與三角函數(shù)的類似的性質(zhì)，二者相映成趣。特殊三角函數(shù)值a0`30`45`60`90`sina01/2√2/2√3/21cosa1√3/2√2/21/20tana0√3/31√3NonecotaNone√31√3/30三角函數(shù)的計算冪級數(shù)c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn(n=0..∞)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n(n=0..∞)它們的各項都是正整數(shù)冪的冪函數(shù),其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常數(shù),這種級數(shù)稱為冪級數(shù).泰勒展開式(冪級數(shù)展開法):f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+...實用冪級數(shù)：ex=1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+...ln(1+x)=x-x2/3+x3/3-...(-1)k-1*xk/k+...(|x|<1)sinx=x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+...(-∞<x<∞)cosx=1-x2/2!+x4/4!-...(-1)k*x2k/(2k)!+...(-∞<x<∞)arcsinx=x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+...(|x|<1)arccosx=π-(x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+...)(|x|<1)arctanx=x-x^3/3+x^5/5-...(x≤1)sinhx=x+x3/3!+x5/5!+...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+...(-∞<x<∞)coshx=1+x2/2!+x4/4!+...(-1)k*x2k/(2k)!+...(-∞<x<∞)arcsinhx=x-1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5-...(|x|<1)arctanhx=x+x^3/3+x^5/5+...(|x|<1)--------------------------------------------------------------------------------傅立葉級數(shù)(三角級數(shù))f(x)=a0/2+∑(n=0..∞)(ancosnx+bnsinnx)a0=1/π∫(π..-π)(f(x))dxan=1/π∫(π..-π)(f(x)cosnx)dxbn=1/π∫(π..-π)(f(x)sinnx)dx注意：正切也可以表示為“Tg”如：TanA=TgASin2a=2SinaCosaCos2a=Cosa^2-Sina^2=1-2Sina^2=2Cosa^2-1Tan2a=2Tana/1-Tana^2眾所周知,在數(shù)學和物理中,三角函數(shù)是一個重要的工具,以下是一些推導公式,希望對大家有作用

平方關系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1cos^2a=(1+cos2a)/2

tan^2(α)+1=sec^2(α)sin^2a=(1-cos2a)/2

cot^2(α)+1=csc^2(α)

·積的關系：

sinα=tanα*cosα

cosα=cotα*sinα

tanα=sinα*secα

cotα=cosα*cscα

secα=tanα*cscα

cscα=secα*cotα

·倒數(shù)關系：

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1

直角三角形ABC中,

角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊,

余弦等于角A的鄰邊比斜邊

正切等于對邊比鄰邊,

·三角函數(shù)恒等變形公式

·兩角和與差的三角函數(shù)：

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

·三角和的三角函數(shù)：

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

·輔助角公式：

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中

sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

tant=B/A

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B

·倍角公式：

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

·三倍角公式：

sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)

cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα

·半角公式：

sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

·降冪公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

·萬能公式：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

·積化和差公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

·和差化積公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

·推導公式

tanα+cotα=2/sin2α

tanα-cotα=-2cot2α

1+cos2α=2cos^2α

1-cos2α=2sin^2α

1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

·其他：

sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0以及

sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

cosx+cos2x+...+cosnx=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx

證明：

左邊=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx

=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx（積化和差）

=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右邊

等式得證

sinx+sin2x+...+sinnx=-[cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx

證明:

左邊=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)

=[