階段測(cè)試四（學(xué)生版）

階段測(cè)試四考查范圍：集合、常用邏輯用語(yǔ)、不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、平面向量、復(fù)數(shù)、立體幾何與空間向量、平面解析幾何一、單選題（本大題共8小題，共分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.已知平面，直線m，n滿足，，則是的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.如圖，圓心為C的圓的半徑為r，弦AB的長(zhǎng)度為4，則(

)

A.2r B.4r C.4 D.83.平面直角坐標(biāo)系中，、，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則使為等腰三角形的點(diǎn)P個(gè)數(shù)為.(

)A.0 B.2 C.3 D.44.已知，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，R是C上的一點(diǎn)，且，，C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則C的實(shí)軸長(zhǎng)為(

)A. B. C.6 D.35.如圖1，在高為h的直三棱柱容器中，現(xiàn)往該容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，水深為2，然后固定容器底面的一邊AB于地面上，再將容器傾斜，當(dāng)傾斜到某一位置時(shí)，水面恰好為如圖，則容器的高h(yuǎn)為(

)

A.

B.3 C.4 D.66.已知，則下列結(jié)論正確的是(

)A. B.

C. D.7.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)是拋物線C上一點(diǎn)，以點(diǎn)M為圓心的圓與直線交于E，G兩點(diǎn)，若，則拋物線C的方程是(

)A. B. C. D.8.函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后對(duì)應(yīng)的函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)若關(guān)于x的方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解，，則的值為(

)A. B. C. D.二、多選題（本大題共4小題，共分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓C的圓心坐標(biāo)為為整數(shù)，且與直線l：相切，直線m：與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是(

)A.圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

B.若，則實(shí)數(shù)a的值為

C.若，則直線m的方程為或

D.弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為10.南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，且，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則正確的選項(xiàng)是(

)

A. B.

C. D.11.已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則(

)A.的最大值為16

B.的內(nèi)切圓半徑

C.的最小值為7

D.若M為AB的中點(diǎn)，則直線l的方程為12.如圖的六面體中，，，則(

)

A.平面ABC B.

C.AC與BE所成角的大小為 D.該六面體外接球的表面積為三、填空題（本大題共4小題，共分）13.復(fù)數(shù)z滿足，則__________.14.已知，則的值是__________.15.已知函數(shù)，若存在三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a，b，c，使得成立，則abc的取值范圍是__________.16.雙曲線：且，點(diǎn)在雙曲線上，由向的兩條漸近線作垂線，垂足分別為，設(shè)的面積為，則__________；__________.四、解答題（本大題共6小題，共分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.本小題分

在①，②，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問(wèn)題中，并解答.設(shè)數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為已知，__________.

求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

設(shè)，，求18.本小題分在中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知邊，且求面積的最大值；設(shè)當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí)的內(nèi)角C為，已知函數(shù)在區(qū)間上恰有三個(gè)零點(diǎn)和兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍．19.本小題分

如圖，在四棱錐中，底面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，，點(diǎn)M、N、Q分別為OA、BC、CD的中點(diǎn)．

證明：平面OAQ；

求點(diǎn)D到平面AMN的距離．20.本小題分若兩個(gè)橢圓的離心率相等，則稱它們?yōu)椤跋嗨茩E圓”．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓：，，分別為橢圓的左，右頂點(diǎn)．橢圓以線段為短軸且與橢圓為“相似橢圓”．求橢圓的方程；設(shè)P為橢圓上異于，的任意一點(diǎn)，過(guò)P作軸，垂足為Q，線段PQ交橢圓于點(diǎn)求證：21.本小題分已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性設(shè)，，若時(shí)，取極小值，證明：22.本小題分

已知拋物線E：，過(guò)點(diǎn)作斜率互為相反數(shù)的直線m，n，分別交拋物線E于A，B及C，D兩點(diǎn).

若，求直線AB的方程；

求證：

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：若，，且，則一定有，但若，，且，則m與n有可能異面，“”是“”的充分不必要條件．故選2.【答案】D

【解析】解：如圖，

過(guò)點(diǎn)C作，垂足為E，所以E為AB中點(diǎn)，

則，，故故選3.【答案】D

【解析】解：設(shè)，，，

整理得，記為圓

，

若為等腰三角形，則有或

圓與圓M相交，故滿足點(diǎn)P有2個(gè);

圓與圓M相交，故滿足點(diǎn)P有2個(gè)，

故使為等腰三角形的點(diǎn)P共有4個(gè)，故選D選項(xiàng).4.【答案】B

【解析】解：由題意，結(jié)合，不妨設(shè)，，

由雙曲線定義有，即，

在中，由余弦定理有：，

結(jié)合，即可得，

又點(diǎn)在雙曲線上，則有，

結(jié)合，可解得，即實(shí)軸長(zhǎng)為，

故選5.【答案】B

【解析】解：由圖2知：，其中h表示三棱柱的高，故，因此可知無(wú)水部分體積與有水部分體積比為，所以圖1中高度比為，得故選：6.【答案】B

【解析】解：由題設(shè)

，

，所以

，故A錯(cuò)；

且

，而

，故B對(duì)；

，故C錯(cuò)；

，設(shè)

，則

，則

在

上遞增，所以

，故D錯(cuò).故選：7.【答案】C

【解析】解：畫出圖形如圖所示，作，垂足為D，

由題意得點(diǎn)，在拋物線上，則，①

由拋物線的性質(zhì)，可知，

因?yàn)?，所以?/p>

所以，解得，②

由①②解得舍去或

故拋物線C的方程為故選：8.【答案】B

【解析】解：函數(shù)的圖象左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，

得到的圖象;

對(duì)應(yīng)的函數(shù)是奇函數(shù)，

，，即，

又，即

函數(shù)，

關(guān)于x的方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解，，

即在內(nèi)有兩個(gè)不同的解，，

即在內(nèi)有兩個(gè)不同的解，，

即其中，，，為銳角，則，

在內(nèi)有兩個(gè)不同的解，，

即方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解，

則有，，

，

則，，故選9.【答案】BC

【解析】解：對(duì)于A，設(shè)圓C的半徑為，又圓C的圓心坐標(biāo)為為整數(shù)，

則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為為整數(shù)，

點(diǎn)是圓C上的點(diǎn)，且圓C與直線相切，

則，解得或舍去，

則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B，由選項(xiàng)A知圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，

點(diǎn)在圓C上，且，

線段AB為圓C的直徑，

直線與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，

圓心在直線m上，

則，解得，故B正確;

對(duì)于C，由選項(xiàng)A知圓C的半徑為2，圓心，

則圓心C到直線m的距離，

由，即，解得，

，整理得，解得或，

則直線m的方程為或，故C正確;

對(duì)于D，直線m的方程可化為，易知其過(guò)定點(diǎn)，

又點(diǎn)M為弦AB的中點(diǎn)，由圓的性質(zhì)可得，

點(diǎn)M的軌跡是以線段CN為直徑的圓，

則此圓圓心為線段CN的中點(diǎn)，其坐標(biāo)為，半徑為，

則該圓的方程為，

由，解得或，

可得兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為與，

故弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為，故D錯(cuò)誤.故選10.【答案】BC

【解析】解：由題意可知：

，

于是有

，顯然可得：

，

，

因此選項(xiàng)A不正確，選項(xiàng)B正確；當(dāng)

時(shí)，

，顯然

適合上式，

，因此選項(xiàng)D不正確；

，

，因此選項(xiàng)C正確，故選：11.【答案】AC

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A，由橢圓的定義可得，

則，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

即的最大值為16，

即選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B，由橢圓的定義可得的周長(zhǎng)為，

又的面積的取值范圍為

則則

即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C，由橢圓的定義可得，則，

又，當(dāng)且僅當(dāng)A、M、三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，

即，即，

即的最小值為7，即選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)，，則，，

又由題意有，，

則兩式相減可得，

即M為AB的中點(diǎn)時(shí)，直線l的方程為，

即，即選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：12.【答案】ABD

【解析】解：因?yàn)?，?/p>

所以，，

即，，又，CA，平面ABC，

所以平面ABC，故A正確；

因?yàn)椋裕?/p>

因?yàn)槠矫鍭BC，，

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?，所以四面體是正三棱錐，

因?yàn)?，所以四面體是正四面體，

在正三棱錐中過(guò)點(diǎn)C作底面的垂線，垂足為正三角形ABD的中心G，

同理，在正四面體中，過(guò)頂點(diǎn)E作底面的垂線，垂足為正三角形ABD的中心G，

所以，C、G、E三點(diǎn)共線：因?yàn)椋?，?/p>

因?yàn)镚是正三角形ABD的中心，所以，

設(shè)，，因?yàn)樵谡拿骟w中，，

在正三棱錐中，，所以，解得，

所以，所以，又，

所以，，故AC與BE所成角的大小為，故C錯(cuò)誤;

因?yàn)?，所以，故B正確;

顯然，該六面體外接球的球心位于線段CE的中點(diǎn)，

因?yàn)?，所以六面體外接球的半徑，

所以該六面體外接球的表面積為，故D正確.故選：13.【答案】1

【解析】解：，

故答案為：14.【答案】

【解析】解：由，得，

，解得或

當(dāng)時(shí)，，

，

；

當(dāng)時(shí)，，，

綜上，的值是故答案為：15.【答案】，5

【解析】解：，定義域?yàn)镽，

則，

令，則或，

所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，

令，則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，

因?yàn)?，，，?/p>

所以函數(shù)的大致圖象如圖：

令，解得，，，

若存在三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a，b，c，使得成立，

不妨設(shè)，則，，，

且當(dāng)時(shí)，，且，，此時(shí)，此時(shí)，

且當(dāng)時(shí)，，且，，此時(shí)，此時(shí)，

則，

故答案為16.【答案】

；

【解析】解：雙曲線且的漸近線方程為，，

設(shè)，可得，，

則，

可得

故答案為；17.【答案】解：若選①，設(shè)等比數(shù)列的公比為q，，，，解得或，，

若選②，設(shè)等比數(shù)列的公比為q，且，由可得，，，，，

由知，，，兩式相減得，18.【答案】解：法一：由得：，即，則頂點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，

易知當(dāng)頂點(diǎn)C為橢圓的短軸的端點(diǎn)時(shí)的面積最大，此時(shí)，是等邊三角形.

所以

法二：由得：，

，

，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

此時(shí)是等邊三角形，的面積的最大值為

在區(qū)間上恰有三個(gè)零點(diǎn)和兩個(gè)極值點(diǎn)，

，

故的取值范圍為

19.【答案】證明：由題意可知AO、AB、AD兩兩垂直，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、AO所在直線分別為x、y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，從而可得以下各點(diǎn)的坐標(biāo)．

，，，，

，，，

則，，，

因?yàn)?，所以，即?/p>

因?yàn)榈酌鍭BCD，底面ABCD，所以，

因?yàn)椋矫鍻AQ，平面OAQ，所以平面

解：設(shè)平面AMN的法向量為，

則，即，

令，可得平面DMN的法向量，

故點(diǎn)D到平面DMN的距離

20.【答案】解：由橢圓的離心率為，設(shè)橢圓的方程為，且，

因?yàn)閮蓚€(gè)橢圓“相似橢圓”，可得，解得，

所以橢圓的方程為

證明：不妨設(shè)，其中，則，可得，

把代入橢圓，可得，所以，

所以，

所以

所以

21.【答案】解：由函數(shù)知，定義域?yàn)椋?/p>

，

當(dāng)時(shí)，恒成立，在單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，，

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增