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大學(xué)物理學(xué)教案大學(xué)物理學(xué)授課章節(jié)第6章機(jī)械波教學(xué)目的1.理解波動方程及其多種表達(dá)式。(1)確切理解描述波動的三個重要參量:波長、周期(頻率)、波速的物理意義,并能熟練地確定這些量;(2)掌握由波動方程求位于某位置處質(zhì)點的振動方程或某時刻的波動方程的方法,并能熟練地求出同一波線上兩點間的相位差,或同一位置處質(zhì)點不同時刻的振動相位差;(3)掌握如何寫出波源不在坐標(biāo)原點時的波動方程的方法;(4)掌握由已知時刻的波形曲線寫出波動方程,或?qū)懗觯ó嫵觯┠澄恢锰庂|(zhì)點的振動方程(振動曲線)的方法。2.理解波動能量的特點,理解平均能量密度、平均能流密度的概念及相關(guān)的計算;3.理解波動疊加原理,掌握波的相干條件及相長、相消干涉的條件;4.掌握駐波的振幅和相位的分布特點,理解半波損失的概念,掌握產(chǎn)生半波損失的條件;5.理解與多普勒效應(yīng)有關(guān)的問題。教學(xué)重點、難點1.正確地由振動方程寫出波動方程,能將給定的波動方程與波動方程的標(biāo)準(zhǔn)形式比較,從而獲得波振幅A,波動角頻率(或周期T,頻率)、波長(或波速度u);2.理解波速與振動速度的區(qū)別;3.能夠由波動方程讀出波線上某點的振動相位與坐標(biāo)原點的相位相比是超前還是滯后;4.由已知時刻的波形圖建立波動方程(設(shè)傳播方向已知);5.由已知點的振動曲線建立波動方程;6.能正確寫出反射波的波動方程,從而形成駐波的方程。教學(xué)內(nèi)容備注第6章機(jī)械波波動是振動的傳播過程。機(jī)械波機(jī)械振動的傳播波動電磁波電磁場的傳播粒子波與微觀粒子對應(yīng)的波動雖然各種波的本質(zhì)不同,但都具有一些相似的規(guī)律?!?.1機(jī)械波的形成和傳播機(jī)械波產(chǎn)生的條件波源作機(jī)械振動的物體彈性介質(zhì)內(nèi)部各相鄰質(zhì)點間有彈性力相互聯(lián)系的氣體、液體或固體介質(zhì)。橫波與縱波橫波質(zhì)點的振動方向與波的傳播方向相互垂直的波??v波質(zhì)點的振動方向與波的傳播方向平行的波。波線與波面波傳播到的空間稱為波場。波線用帶箭頭的線表示波的傳播方向,該線稱為波線。波源的振動狀態(tài)沿著波線傳播到波場中的各質(zhì)點,引起各質(zhì)點的振動。振動狀態(tài)的傳播也就是位相的傳播。波面波場中同一時刻振動位相相同的點連成的面稱為波面。波前(波陣面)某時刻波場中最前面的那個波面,即該面上的位相等于波源開始振動時的位相。波線波前波面波前波線波前波面波前波線波面(a)平面波(b)球面波描述波動的幾個物理量1、波長:同一波線上位相差為2的兩質(zhì)點間的距離,即一個完整波的長度,稱為波長,用表示。周期和頻率:周期—波傳播一個波長所需要的時間,或者說,一個完整波通過波線上某點所需的時間,稱為波的周期,用表示;頻率—單位時間內(nèi),波動向前推進(jìn)的距離內(nèi)所包含的完整波的數(shù)目,或單位時間內(nèi)通過波線上某點的完整波的數(shù)目,用表示。。波速:單位時間內(nèi)一定振動狀態(tài)或位相沿波線傳播的距離。用u表示。。波速決定于介質(zhì)的彈性模量和密度。在固體中橫波與縱波的波速分別為(橫波),(縱波)。繩上或弦上的橫波波速?!?.2平面簡諧波的波函數(shù)一、沿x軸正向傳播的平面簡諧波的波函數(shù)設(shè)有一平面簡諧行波,在無吸收的均勻無限大介質(zhì)中沿x軸正向傳播,波速為u。取x軸為其一條波線,并任選波線上一點o為坐標(biāo)原點(注意:o不一定是波源)。如圖所示設(shè)原點處(x=0)質(zhì)點的振動方程為,式中A是振幅,是圓頻率,是o點處質(zhì)點振動的初位相,就是o點處質(zhì)點任意時刻t離開其平衡位置的位移。當(dāng)振動沿波線傳播到坐標(biāo)為x的p點時,p處質(zhì)點將以uuyxopx相同的振幅和頻率重復(fù)o點質(zhì)點的振動,但振動從o點傳到p點須經(jīng)歷的時間,即在波向x軸正向傳播時p點的振動比o點的振動在時間上落后,所以,p處質(zhì)點任意時刻t離開自己平衡位置的位移等于原點在()時刻的位移,即。所以,沿x軸正向傳播的平面簡諧波的波函數(shù)是。因為,,所以上面的波動方程也可寫成以下幾種形式:;;.二、波函數(shù)的物理意義如果x=x0為給定值,.這就是波線上x0處質(zhì)點在任意時刻t離開自己平衡位置的位移。即x0處質(zhì)點的振動方程。它在t=0時的位相為,表示x0處質(zhì)點的振動比原點的振動始終落后一個位相。2、如果t=t0為給定值,只是x的函數(shù),表示t=t0時刻各質(zhì)點離開各自平衡位置的位移分布情況,稱為t0時刻的波形方程。3、如果t,x都在變化,則t時刻波動方程;t+時刻波動方程。畫出t和t+時刻的波形,便可形象地看出波形向前傳播的圖象。波形向前傳播的速度等于波速u。由于波形向前傳播,x處質(zhì)點在不同時刻t和t+Δt的位移是不同的。但從上面的t時刻波形和t+Δt時刻波形可以看出:,即,或直接用位相表示為。上式表明:x處質(zhì)點在t時刻的振動狀態(tài)(或位相),經(jīng)過時間Δt正好傳播到x+Δx=x+uΔt處。故波速就是位相的傳播速度。三、質(zhì)點的振動速度和加速度振動速度:;振動加速度:??梢姡髻|(zhì)點的振動速度也是隨坐標(biāo)x和時間t作簡諧規(guī)律變化的,它與波速是兩個完全不同的概念,應(yīng)嚴(yán)格區(qū)別開來。四、沿x軸負(fù)方向傳播的平面簡諧波的波函數(shù)如果平面簡諧波沿x軸負(fù)方向傳播,則沿x軸正向各質(zhì)點的振動位相依次超前,坐標(biāo)為x處的質(zhì)點的振動比坐標(biāo)原點o的振動總是超前一段時間,即x處質(zhì)點t時刻的位移等于o處質(zhì)點在t+Δt時刻的位移。設(shè)o處質(zhì)點的振動仍為,則任意坐標(biāo)x處質(zhì)點的振動方程為,這就是沿x軸負(fù)向傳播的平面簡諧波的波函數(shù)。因為,,所以上面的波動方程也可寫成以下幾種形式:;;.例1:一平面簡諧波沿x軸正向傳播,其振幅和圓頻率分別為和,波速為u,設(shè)時的波形曲線如圖所示。(1)寫出此波的波動方程;(2)求距o點分別為/8和3/8兩處質(zhì)點的振動方程;(3)求距o點分別為/8和3/8兩處質(zhì)點在時的振動速度。yu0Px解:(1)由圖可知yu0Px可求出從而獲得波動方程是:(2)在/8處同理,在3/8處,(3)時,處速度處速度例2:一平面波在介質(zhì)中以速度u=20m?s-1沿直線傳播,在A點的振動方程為,如圖所示。(1)以A為坐標(biāo)原點,寫出波動方程并求出C、D兩點的振動方程;(2)以B為坐標(biāo)原點,寫出波動方程并求出C、D兩點的振動方程。8m5m9muCBADx解已知8m5m9muCBADx∵A點的振動方程為,∴位于x處的質(zhì)點的振動方程即波動方程。xc=-13m,C點振動方程是;xD=9m,D點振動方程是。(2)以B為原點,∵xB=-5m,∴B點振動方程此時波動方程為;其中是波線上任一點以B為原點的坐標(biāo)?!摺郈點振動方程;∴D點振動方程??梢?,波動方程的表達(dá)式與坐標(biāo)原點的選擇有關(guān)而各質(zhì)點的振動方程(即各質(zhì)點的振動情況)與坐標(biāo)原點的選擇無關(guān)。例3:一個沿x軸正向傳播的平面簡諧波(用余弦函數(shù)表示)在t=0時的波形曲線如圖所示。(1)原點0和2,3,各點的振動初位相各是多少?(2)畫出t=T/4時的波形曲線。01234x01234xyut=0解:(1)由各點位置可求出初位相是0點;2點;3點;01234xy01234xyt=T/4時的波形曲線例4:如圖,一平面簡諧波沿ox軸正方向傳播,波長為,若p1點處質(zhì)點的振動方程為,則P2點處質(zhì)點的振動方程為;與P1點處質(zhì)點振動狀態(tài)相同的那些點的位置是。P1oP2xL1LP1oP2xL1L2(2)(k=1,2,…)∴§6.3波的能量波的能量和能量密度以平面簡諧彈性縱波在細(xì)長棒中傳播為例。如圖所示,有一密度為的細(xì)長棒沿ox軸放置,一列平面簡諧縱波以波速u沿著棒長方向傳播時,棒中每一小段都受到壓縮和拉伸。設(shè)波動方程為:固體細(xì)長棒中縱波的傳播在坐標(biāo)為x處取一小體積元dV=sdx,其質(zhì)量為,當(dāng)波傳到該體積元時,這部分介質(zhì)的速率隨時間變化,其振動動能;同時,體積元因形變而具有彈性勢能,可以證明體積元的彈性勢能;體積元的總能量。以上結(jié)果表明:1)波動傳播過程中,任一時刻、任一體積元的動能和勢能不僅大小相等,而且位相相同,即兩者總是隨時間同步變化。2)波動能量和振動能量有根本區(qū)別。振動過程系統(tǒng)的機(jī)械能守恒;對波動來說,任一體積元都與周圍質(zhì)點交換能量,能量不守恒,即能量隨著波動的傳播而傳播。3)對振動質(zhì)點來說,位移最大時、速度為零,振動勢能最大、動能為零;質(zhì)點通過平衡位置時,位移為零、速度最大,振動勢能為零、動能最大。而對于波動中的任一體積元來說,位移最大時、相對形變?yōu)榱恪⑺俣葹榱?,所以動能和勢能均為零;?dāng)體積元在位移為零(即平衡位置)時,相對形變和速度都是最大,所以勢能和動能均最大。介質(zhì)中單位體積內(nèi)的能量叫能量密度,用ω表示。它在一個周期內(nèi)的平均值叫平均能量密度。二、波的能流和能流密度1、能流、平均能流:能流——單位時間內(nèi)通過介質(zhì)中某一面積的能量稱為通過該面積的能流。如圖所示,s為垂直于波速u的平面,則單位時間內(nèi)通過s面的能量平均來說等于以s為底、u為長度的體積內(nèi)的能量,即稱為通過s面的平均能流。式中為平均能量密度,對簡諧波,所以2、平均能流密度:單位時間內(nèi)通過垂直于波的傳播方向的單位面積上的平均能量,稱為平均能流密度,一般用I表示,即。由此可見,平均能流密度I與振幅的平方成正比,是波的強弱的一種量度,因而也稱為波的強度。三、波的吸收1、無吸收的均勻介質(zhì)中,波的振幅保持不變;如下圖,通過面積S1和S2的平均能流相等。即所以即A1=A22、波的吸收波動在均勻介質(zhì)中傳播時,介質(zhì)總要吸收一部分波的能量而轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌问降哪芰浚圆ǖ恼穹鶎⒀刂ǖ膫鞑シ较蛑饾u減小。實驗指出:當(dāng)平面波通過極薄的一層介質(zhì)(厚度為dx)后,振幅減少-dA與波進(jìn)入介質(zhì)薄層時的振幅A及薄層厚度dx成正比:,式中為常數(shù),稱為介質(zhì)的吸收系數(shù),積分可得:。A0和A分別為x=0和x=x處波的振幅。由于波的強度與波的振幅的平方成正比,所以波的強度衰減的規(guī)律為:I0和I分別為x=0和x=x處波的強度?!?.4惠更斯原理波的疊加和干涉惠更斯原理1惠更斯原理:介質(zhì)中波動傳播到的各點都可以看作是發(fā)射子波的波源,其后任一時刻,這些子波的包跡就是新的波陣面。2用惠更斯原理確定新的波陣面:從以上圖中可看出:當(dāng)波在均勻各向同性介質(zhì)中傳播時,波陣面的幾何形狀總保持不變,波的傳播方向也保持不變。波的衍射1、波衍射的概念:波動在傳播過程中遇到障礙物時,其傳播方向發(fā)生變化,能繞過障礙物邊緣繼續(xù)前進(jìn)的現(xiàn)象;也叫波的繞射。2、產(chǎn)生衍射的條件:當(dāng)障礙物的線度d與波長之比越小時,衍射現(xiàn)象越顯著;當(dāng)比值越大時,衍射現(xiàn)象越不顯著。下圖表示波在狹逢處的衍射,在靠近縫邊緣處,波陣面發(fā)生了彎曲,即波的傳播方向改變了,表明波動能繞過障礙物邊緣傳播、產(chǎn)生了衍射現(xiàn)象。dd波在狹逢處的衍射實際上,波的衍射現(xiàn)象不僅僅是繞彎現(xiàn)象,而且還涉及到波場中能量的重新分布。關(guān)于能量的分布問題將在光學(xué)中通過惠更斯—菲涅耳原理來介紹。波的疊加原理1)獨立性:當(dāng)幾列波在介質(zhì)中相遇重疊時,它們各自的頻率、波長、振幅均不會相互影響,都各自獨立地進(jìn)行傳播、就好象傳播過程中沒有彼此相遇一樣,這就稱為波的獨立性。2)波的疊加原理:當(dāng)幾列波在介質(zhì)中相遇時,每一列波都將引起相遇處質(zhì)點的振動,因此,相遇處質(zhì)點的振動將是每列波在該點引起的分振動的疊加,即任一時刻相遇處質(zhì)點的振動位移等于每列波在該點引起的分位移的矢量和。波的疊加原理和波動方程為線性微分方程是一致的。波的干涉干涉現(xiàn)象:兩個頻率相同、振動方向相同、位相相同或位相差恒定的波源發(fā)出的兩列波在空間相遇時,使空間某些點的振動始終加強,而另一些點的振動始終減弱或完全抵消的現(xiàn)象。滿足頻率相同、振動方向相同、位相相同或位相差恒定三個條件的波源稱為相干波源;由這樣兩個波源發(fā)出的兩列波稱為相干波。1)、干涉加強或減弱的條件:設(shè)相干波源S1,S2的振動方程分別為,;S1S2r1r2S1S2r1r2P,,P點的合振動為:。合振動的振幅A由下式?jīng)Q定:,因為波的強度正比于振幅的平方,所以,式中是P點處兩個分振動的位相差,是兩個相干波源的位相差,為一常量;(r2–r1)為兩波源發(fā)出的波傳播到p的幾何路程之差,稱為波程差,是因傳播路程不同而產(chǎn)生的位相差,對于空間任一給定的P點,它也是常量。因此,空間任一給定的P點的兩個分振動的位相差也是恒定的,該點的合振幅A或強度I也是一定的。所以,在兩列相干波相遇的區(qū)域會出現(xiàn)振幅A或強度I不均勻的、穩(wěn)定的干涉圖樣。當(dāng),(K=0,1,2,…)的空間各點:,。干涉加強或干涉相長當(dāng),(K=0,1,2,…)的空間各點,。干涉減弱或干涉相消如果,上述干涉加強和干涉減弱的條件可簡化為干涉加強或干涉相長干涉減弱或干涉相消以上表明,當(dāng)兩波源同位相時,在兩列波的疊加區(qū)域內(nèi),波程差等于零或半波長的的偶數(shù)倍的各點,振幅和強度最大;波程差等于半波長的的奇數(shù)倍的各點,振幅和強度最小。以上討論的是滿足相干條件的兩列波的相干疊加。而不滿足相干條件的兩列波相遇時只是非相干疊加。此時空間任一點的合成波的強度就等于兩列波強度的代數(shù)和,即。例5:如圖所示,S1和S2為兩相干波源,振幅均為A1,相距,S1較S2位相超前,求:(1)S1外側(cè)各點的合振幅和強度;(2)S2外側(cè)各點的合振幅和強度。PPr1S1S2r2Qλ/4解:(1)設(shè)S1外側(cè)任一點為P,P到S1的距離為r1,則到達(dá)P點的兩列波的位相差所以,S1外側(cè)各點合振幅A=0,合振動強度I=0。(2)同理,設(shè)S2外側(cè)任一點為Q,Q到S2的距離為r2,則到達(dá)Q點的兩列波的位相差所以,S2外側(cè)各點合振幅A=2A1,合振動強度I=4I1?!?.5駐波駐波的形成1、概念:在同一介質(zhì)中,兩列振幅相同的相干平面簡諧波,在同一直線上沿相反方向傳播時疊加形成的波稱為駐波。2、駐波的演示實驗如下圖,音叉在繃緊的弦上產(chǎn)生駐波,固定點B總是波節(jié)。3、從兩波波形圖的疊加看駐波的形成:觀察演示;4、駐波方程:兩波波動方程分別為即這兩列波在t=0時刻,x=0處的初位相均為零。則合成波的波動方程為5、駐波特點:a、波線上各點有不同的振幅,在上述的駐波方程中,位于x處的質(zhì)點其振幅為;b、波節(jié)和波腹——波線上始終不動(振幅為零)的點,稱為波節(jié);波線上振幅最大的點,稱為波幅;兩個相鄰的波節(jié)(或波腹)之間的距離為;c、線上各點分段振動,同一分段各點位相相同;相鄰兩分段位相相反;二、波在兩種界面上的反射1、半波損失——當(dāng)波從波疏介質(zhì)(介質(zhì)密度ρ與波速u的乘積較小的介質(zhì))垂直入射到波密介質(zhì)(介質(zhì)密度ρ與波速u的乘積較大的介質(zhì))時,在界面上反射波與入射波的位相相反,稱為有半波損失;當(dāng)波從波密介質(zhì)入射到波疏介質(zhì)時,在界面上反射波與入射波的位相相同,沒有半波損失。2、入射波和反射波在兩種界面上的合成:當(dāng)存在半波損失時,界面上是波節(jié);當(dāng)沒有半波損失時,界面上是波腹。例6:一簡諧波沿軸正向傳播,圖中所示為該波t時刻的波形圖,欲沿軸形成駐波,且使原點處出現(xiàn)波節(jié),畫出另一簡諧波t時刻的波形圖。u右行波t時刻波形ou右行波t時刻波形oxoxu左行波t時刻波形右行波(t+T/4)時刻波左行波(t+T/4)時刻波形例如圖所示,沿軸正向傳播的平面簡諧波方程為,兩種介質(zhì)的分界面P與坐標(biāo)原點o相距,入射波在界面上反射后振幅無變化,且反射處為固定端。求:(1)反射波方程;(2)駐波方程;(3)在o與P之間各個波節(jié)和波腹點的坐標(biāo)。解:(1)由入射波方程可知頻率,波長,反射波的振幅、頻率、波速均與入射波相同。入射波在界面處的振動方程因為反射點是固定端,所以反射波在P點處的振動位相與入射波在該點的振動位相相反,即P點處的反射波振動方程為。反射波以波速向軸負(fù)向傳播,所以反射波波動方程為駐波方程為(3)由得波節(jié)點的坐標(biāo)為。由得波腹點的坐標(biāo)為?!?.6多普勒效應(yīng)一、多普勒效應(yīng)的概念當(dāng)波源或觀察者、或者兩者同時相對于介質(zhì)有相對運動時,觀察者接收到的波的頻率與波源的振動頻率不同的現(xiàn)象稱為多普勒效應(yīng)。二、觀察者接收到的波的頻率ssuVs1、波源不動、觀察者以相對于介質(zhì)運動:設(shè)觀察者向著波源運動,即,則在單位時間內(nèi)觀察者接收到的完整波的數(shù)目即觀察者實際接收到的波的頻率。當(dāng)觀察者向著波源運動時,接收到的頻率為波源振動頻率的倍;當(dāng)觀察者遠(yuǎn)離波源運動時,,接收到的頻率比波源振動頻率小。2、觀察者不動、波源以速度相對于介質(zhì)運動:如圖所示,假設(shè)波源以速度向著觀察者運動。因為波速與波源運動無關(guān),所以在波源振動的一個周期里,波向前傳播的距離等于一個波長,但波源S在一個周期里在波的傳播方向上移動了的距離到達(dá)點,結(jié)果使得一個完整波被擠壓在之間,相當(dāng)于波長減少為。因此,觀察者單位時間里接收到的完整波的數(shù)目,即觀察者接收到的頻率為。當(dāng)波源向著觀察者運動時,,觀察者接收到的頻率為波源振動頻率的倍,比波源頻率要高;若波源遠(yuǎn)離觀察者運動,觀察者接收到的頻率比波源頻率要低。3、波源和觀察者同時相對于介質(zhì)運動:這時,相對于觀察者來說,波的速率變?yōu)?;同時波長變?yōu)?,綜合兩個結(jié)果,當(dāng)波源和觀察者同時運動時,觀察者接收到波的頻率為;式中,當(dāng)波源與觀察者相互接近時,、取正值,遠(yuǎn)離時、取負(fù)值。總之,在多普勒效應(yīng)中,不論波源還是觀察者運動,或兩者都運動,當(dāng)波源和觀察者相互接近時,觀察者接收到的頻率總是大于波源振動頻率;當(dāng)波源和觀察者遠(yuǎn)離時,觀察者接收到的頻率總是小于波源振動頻率。三、光波(包括電磁波)的多普勒效應(yīng)電磁波的傳播不需要介質(zhì),所以只是光源和觀察者的相對速度決定觀察者接收到的頻率。由相對論可以證明,當(dāng)光源和觀察者在一條直線上運動時,觀察者接收到的頻率為,;例7:汽車駛過車站時,車站上的觀測者測得汽笛聲的頻率由1200赫茲變到了1000赫茲,設(shè)空氣中的聲速為330,求汽車的速率。解:設(shè)汽車的速率為、聲速為,汽笛聲的振動頻率為,汽車向著車站駛來時觀測者測得的汽笛聲的頻率為1200赫茲;汽車遠(yuǎn)離車站駛?cè)r觀測者測得的汽笛聲的頻率為1000赫茲;則,;兩式相除;解出,即汽車的速率為。*§6.7色散波包群速度一、波的疊加波包1、單色波、波包:頻率單一的波叫單色波。由一群單色波組成的有限長的波列叫波包。平面簡諧波就是單色波,它的波列是無限長的。根據(jù)付立葉分解的觀點,有限長的波列相當(dāng)于許多單色波的疊加。由這樣一群單色波組成的波列叫波包。例如,前面講到的“
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