第三章函數(shù)的應用復習課

一、本章知識框架二分法求方程近似解函數(shù)與方程方程的根與函數(shù)的零點幾類不同增長的函數(shù)模型函數(shù)模型及其應用用已知函數(shù)模型解決問題構建函數(shù)模型解決問題第一頁第二頁，共63頁。二.知識點復習一、本章基本知識掃描1．函數(shù)與方程的緊密聯(lián)系，體現(xiàn)在函數(shù)y=f(x)的零點與相應方程f(x)=0的實數(shù)根的聯(lián)系上.本章從二次函數(shù)與一元二次方程之間的聯(lián)系展開討論.通過對具體問題的分析我們還討論了零點存在的條件：閉區(qū)間上連續(xù)不斷的函數(shù)，若端點處的函數(shù)值異號，則在相應的開區(qū)間內(nèi)函數(shù)必有零點.注意：這里的條件（端點處的函數(shù)值異號）僅是閉區(qū)間上連續(xù)不斷的函數(shù)在所處的區(qū)間內(nèi)有零點的充分條件，端點處的函數(shù)值不異號或者同號也可能存在零點.第二頁第三頁，共63頁。2．請回顧二分法求方程近似解的一般步驟.

給定精確度ε，用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步驟如下：1.確定區(qū)間[a,b]，驗證f(a)·f(b)<0，給定精確度ε；2.求區(qū)間(a,b)的中點c；3.計算f(c)；第三頁第四頁，共63頁。

4.判斷：(1)若f(c)=0，則c就是函數(shù)的零點；(2)若f(a)·f(c)<0，則令b=c（此時零點x0∈(a,c)）；(3)若f(c)·f(b)<0，則令a=c（此時零點x0∈(c,b)）.

5.判斷：區(qū)間長度是否達到精確度ε？即若|a-b|<ε，則得到零點近似值；否則重復2——5.第四頁第五頁，共63頁。

3．不同函數(shù)模型能夠刻畫現(xiàn)實世界不同的變化規(guī)律.例如，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)就是常用的描述現(xiàn)實世界中不同增長規(guī)律的函數(shù)模型.請你說說這三種函數(shù)模型的增長差異.第五頁第六頁，共63頁。

在區(qū)間(0,+∞)上，盡管函數(shù)y=ax(a>1)，y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函數(shù)，但它們的增長速度不同，而且不在同一個‘檔次’上，隨著x的增大，y=ax(a>1)的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于y=xn(n>0)的增長速度，而y=logax(a>1)的增長速度則會越來越慢.因此，總會存在一個x0，當x>x0時，就有l(wèi)ogax<xn<ax.第六頁第七頁，共63頁。

對于函數(shù)，y=ax(0<a<1)，y=logax(0<a<1)y=xn(n<0)在區(qū)間(0,+∞)上都是減函數(shù)，存在一個x0，當x>x0時，xn>logax>ax(n<0,0<a<1).第七頁第八頁，共63頁。指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、一次函數(shù)這四種函數(shù)模型的增長差異。答：指數(shù)(底數(shù)大于1）爆炸增長冪函數(shù)（冪指數(shù)大于1）快速增長直線（一次項系數(shù)為正）勻速增長對數(shù)(底數(shù)大于1）緩慢增長第八頁第九頁，共63頁。

函數(shù)模型解決問題的基本過程即一般步驟是：（1）分析問題，作假設.為簡化問題一般要對有關陳述作假設，使問題明確，分析問題包括變量設置、單位的選用等；（2）建立函數(shù)模型或者確定已知函數(shù)模型；（3）求解函數(shù)模型（包括畫圖、列表、證明、制作軟件）；（4）討論驗證和修正模型.第九頁第十頁，共63頁。解出模型驗證模型使用模型選取模型建立確定性函數(shù)模型解決問題的程序第十頁第十一頁，共63頁。收集數(shù)據(jù)畫散點圖選擇模型求解模型檢驗模型使用模型不符合建立擬合函數(shù)模型解決實際問題的程序第十一頁第十二頁，共63頁。1.求函數(shù)的零點★要點解讀

例1.求下列函數(shù)的零點.第十二頁第十三頁，共63頁。★要點解讀

1.求函數(shù)的零點變式1:求下列函數(shù)的零點：第十三頁第十四頁，共63頁。2．判斷函數(shù)零點所在的大致區(qū)間★要點解讀

例2.函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間是()第十四頁第十五頁，共63頁。2．判斷函數(shù)零點所在的大致區(qū)間★要點解讀

例2.函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間是()B第十五頁第十六頁，共63頁。★要點解讀

變式2:函數(shù)f(x)＝2x＋2x－6的零點的區(qū)間為)______________（取整數(shù)值）.2．判斷函數(shù)零點所在的大致區(qū)間第十六頁第十七頁，共63頁。★要點解讀

變式2:函數(shù)f(x)＝2x＋2x－6的零點的區(qū)間為)______________（取整數(shù)值）.2．判斷函數(shù)零點所在的大致區(qū)間(2,3)第十七頁第十八頁，共63頁?！镆c解讀3．判斷函數(shù)零點的個數(shù)例3.求函數(shù)f(x)＝x2－5x＋3的零點個數(shù).第十八頁第十九頁，共63頁?！镆c解讀3．判斷函數(shù)零點的個數(shù)例3.求函數(shù)f(x)＝x2－5x＋3的零點個數(shù).例4.求函數(shù)f(x)＝x3＋x－1的零點個數(shù).第十九頁第二十頁，共63頁。★要點解讀3．判斷函數(shù)零點的個數(shù)變式3:求下列函數(shù)的零點個數(shù).第二十頁第二十一頁，共63頁?！镆c解讀

4．二分法的適用條件例5.下列函數(shù)圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點的是()xyOxyOx0x3x2x1xyOxyOx0A.B.C.D.第二十一頁第二十二頁，共63頁?！镆c解讀

4．二分法的適用條件例5.下列函數(shù)圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點的是()xyOxyOx0x3x2x1xyOxyOx0A.B.C.D.B第二十二頁第二十三頁，共63頁?！镆c解讀

4．二分法的適用條件變式4:下列函數(shù)圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點的是()xyOxyOA.B.C.D.1214233xyOxyO－111第二十三頁第二十四頁，共63頁?！镆c解讀

4．二分法的適用條件變式4:下列函數(shù)圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點的是()CxyOxyOA.B.C.D.1214233xyOxyO－111第二十四頁第二十五頁，共63頁?！镆c解讀

例6.(1)若函數(shù)f(x)＝x3＋x2－2x－2一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法計算，參考數(shù)據(jù)如下：那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一個近似根(精確到0.1)為()A.1.2

B.1.3

C.1.4

D.1.55．用二分法求方程的近似解第二十五頁第二十六頁，共63頁。那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一個近似根(精確到0.1)為()★要點解讀例6.(1)若函數(shù)f(x)＝x3＋x2－2x－2一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法計算，參考數(shù)據(jù)如下：A.1.2

B.1.3

C.1.4

D.1.55．用二分法求方程的近似解C第二十六頁第二十七頁，共63頁?！镆c解讀2.指對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應用(2)用二分法研究函數(shù)f(x)＝x3＋3x－1的零點時，第一次經(jīng)過計算f(0)＜0，f(0.5)＞0可得其中一個零點x0∈______________，第二次應計算______________，以上橫線上應填的內(nèi)容為()A.(0,0.5)，f(0.25)

B.(0,1)，f(0.25)

C.(0.5,1)，f(0.75)D.(0,0.5)，f(0.125)

第二十七頁第二十八頁，共63頁?！镆c解讀

2.指對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應用(2)用二分法研究函數(shù)f(x)＝x3＋3x－1的零點時，第一次經(jīng)過計算f(0)＜0，f(0.5)＞0可得其中一個零點x0∈______________，第二次應計算______________，以上橫線上應填的內(nèi)容為()A.(0,0.5)，f(0.25)

B.(0,1)，f(0.25)

C.(0.5,1)，f(0.75)D.(0,0.5)，f(0.125)

A第二十八頁第二十九頁，共63頁。三.應用舉例例1.某種放射性元素的原子數(shù)N隨時間t的變化規(guī)律是N=N0e-λt，其中N0，λ是正的常數(shù).（1）說明函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)；（2）把t表示為原子數(shù)N的函數(shù)；（3）當時，求t的值.第二十九頁第三十頁，共63頁。解：由已知可得因為λ是正常數(shù)，e>1，所以eλ>1，即又N0是正常數(shù)，所以是關于t的減函數(shù).第三十頁第三十一頁，共63頁。即第三十一頁第三十二頁，共63頁。第三十二頁第三十三頁，共63頁。

例2.某工廠今年1月、2月、3月生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量分別是1萬件、1.2萬件、1.3萬件，為了估測以后每個月的產(chǎn)量，以這三個月的產(chǎn)品數(shù)量為依據(jù)，用一個函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x的關系，模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)或函數(shù)y=abx+c（其中a,b,c為常數(shù)）.已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬件，請問用以上哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較好，并說明理由.第三十三頁第三十四頁，共63頁。例3.某廠生產(chǎn)一種機器的固定成本（即固定投入）為0.5萬元，但每生產(chǎn)100臺，需要增加可變成本（即另增加投入）0.25萬元.市場對此產(chǎn)品的年需求量為500臺，銷售的收入函數(shù)為（單位：萬元），其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量（單位：百臺）.（1）把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù)；（2）年產(chǎn)量是多少時，工廠所得利潤最大？（3）年產(chǎn)量是多少時，工廠才不虧本？第三十四頁第三十五頁，共63頁。1.若函數(shù)y＝f(x)唯一的一個零點在區(qū)間（0,16）,（0,8）,（0,4）,（0,2）內(nèi),那么下列命題正確的是（）

(A)函數(shù)y＝f(x)

在區(qū)間(0，1)內(nèi)有零點

(B)函數(shù)y＝f(x)

在區(qū)間(0，1)或(1，2)內(nèi)有零點

(C)函數(shù)y＝f(x)

在區(qū)間

[2，16]

內(nèi)無零點

(D)函數(shù)y＝f(x)

在區(qū)間(1，16)內(nèi)無零點C2.用二分法求方程的最大的根(精確度0.01).四.鞏固練習第三十五頁第三十六頁，共63頁。x-3-2-10123f(x)符號---+--+分析:設f(x)=

通過計算得到:

可見方程的根分別落在區(qū)間(-1，0)，(0，1)和(2，3)內(nèi),而最大的根落在區(qū)間(2，3)內(nèi).然后利用二分法在區(qū)間(2，3)內(nèi)求出符合精確度要求的方程近似解x=2.52343752.用二分法求方程的最大的根(精確度0.01).第三十六頁第三十七頁，共63頁。3.某公司每生產(chǎn)一批產(chǎn)品都能維持一段時間的市場供應.若該公司本次新產(chǎn)品生產(chǎn)開始x月后,公司的存貨量大致滿足模型f(x)=-3x3+12x+8

那么下次生產(chǎn)應在多長時間后開始？分析:只要求出比函數(shù)f(x)

最小的正零點小的正數(shù).解:因為f(0)>0,f(1)>0,f(2)>0,f(3)<0,所以下次生產(chǎn)應在2個月后開始.第三十七頁第三十八頁，共63頁。4.點P從點O出發(fā),按逆時針方向沿周長為l的圖形運動一周,O,P兩點連線的距離y與點P走過的路程x的函數(shù)關系如圖,那么點P所走的圖形是()lxyooPAoPBoPCoPDC第三十八頁第三十九頁，共63頁。5.設計四個杯子的形狀,使得在向杯中勻速注水時,杯中水面的高度h隨時間t變化的圖象分別與下列圖象相符合.tho圖(1)tho圖(2)tho圖(3)tho圖(4)第三十九頁第四十頁，共63頁。tho圖(4)第四十頁第四十一頁，共63頁。6.列車從A地出發(fā)直達500km以外的B地，途中要經(jīng)過離A地200km的C地。假設列車勻速前進，試畫出列車與C地的距離s關于時間t的函數(shù)圖象。0T200ts5000.4T解:設列車從A地到B地所用時間為T.則當t=0時s=200；當t=0.4T時s=0；當t=T時s=500.因為列車勻速行駛,所以距離s是時間t的一次函數(shù),第四十一頁第四十二頁，共63頁。B組2：如圖,△OAB是邊長為2的正三角形,記△OAB位于直線x=t(t>0)左側(cè)的圖形的面積為f(t).試求函數(shù)f(t)的解析式,并畫出函數(shù)y=f(t)的圖象.0ABxyx=t｛解:y=f(t)=第四十二頁第四十三頁，共63頁。

7.如圖，有一塊半徑為2的半圓鋼板，計劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是⊙O的直徑，上底CD的端點在圓周上，寫出這個梯形周長y和腰長x間的函數(shù)解析式，并求出它的定義域.OABCD第四十三頁第四十四頁，共63頁。一、選擇題（每小題只有一個正確選項）1.方程x-1=lgx必有一個根的區(qū)間是（）(A)(0.1,0.2)(B)(0.2,0.3)(C)(0.3,0.4)(D)(0.4,0.5)A五.知識檢測第四十四頁第四十五頁，共63頁。D第四十五頁第四十六頁，共63頁。3.如果一個立方體的體積在數(shù)值上等于V，表面面積在數(shù)值上等于S，且V=S+1，那么這個立方體的一個面的邊長（精確度0.01）約為（）(A)5.01(B)5.08(C)6.03(D)6.05C第四十六頁第四十七頁，共63頁。4.實數(shù)a，b，c是圖象連續(xù)不斷的函數(shù)y=f(x)定義域中的三個數(shù)，且滿足a<b<c，f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,c)上的零點個數(shù)為（）(A)2(B)奇數(shù)(C)偶數(shù)(D)至少是2D第四十七頁第四十八頁，共63頁。5.假設銀行1年定期的年利率為2%,某人為觀看2008年的奧運會，從2001年元旦開始在銀行存款1萬元，存期1年，第二年元旦再把1萬元和前一年的存款本利和一起作為本金再存1年定期存款，以后每年元旦都這樣存款，則到2007年年底，這個人的銀行存款共有（精確到0.01萬元）（）(A)7.14萬元(B)7.58萬元(C)7.56萬元(D)7.50萬元B第四十八頁第四十九頁，共63頁。6.若方程ax-x-a=0有兩個解，則a的取值范圍是（）A第四十九頁第五十頁，共63頁。二、填空題7.函數(shù)y=x2與函數(shù)y=xlnx在區(qū)間(0,+∞)上增長較快的一個是____________________y=x2第五十頁第五十一頁，共63頁。8.若方程x3-x+1=0在區(qū)間(a,b)(a,b是整數(shù)，且b-a=1)上有一根，則a+b=________________-3第五十一頁第五十二頁，共63頁。9.某商品進貨單價為30元，按40元一個銷售，能賣40個；若銷售單位每漲1元，銷售量減少一個，要獲得最大利潤時，此商品的售價應改為每個____________元.55第五十二頁第五十三頁，共63頁。10.已知圖象連續(xù)不斷的函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)(b-a=0.1)上有唯一的零點，如果用“二分法”求這個零點（精確度0.0001）的近似值，那么將區(qū)間(a,b)等分的次數(shù)至少是__________10第五十三頁第五十四頁，共63頁。三、解答題11.截止到1999年年底，我國人口約13億.如果經(jīng)過30年后，我國人口不超過18億，那么人口年平均增長率不應超過多少（精確到0.01）？第五十四頁第五十五頁，共63頁。解：設人口年平均增長率為r，經(jīng)過x年后，我國人口數(shù)字為y億.

1999年年底，我國人口約13億；經(jīng)過1年（即2000年），人口數(shù)為

13+13×r=13(1+r)（億）；經(jīng)過2年（即2001年），人口數(shù)為

13(1+r)+13(1+r)×r=13(1+r)2（億）；第五十五頁第五十六頁，共63頁。經(jīng)過3年（即2002年），人口數(shù)為