專題12相似三角形的判定與性質(zhì)-備戰(zhàn)2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試真題匯編（蘇科版）（解析版）

專題12相似三角形的判定與性質(zhì)一．選擇題（共4小題）1．（2021秋?徐州期末）如圖，在△ABC中，若EF∥BC，AEBE=23，EF＝A．6 B．8 C．10 D．12【分析】先利用比例的性質(zhì)得到AEAB=25，再證明△AEF∽△ABC，然后利用相似比得到【解答】解：∵AEBE∴AEAB∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴EFBC∴BC=52EF=52故選：C．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；同時靈活運用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行幾何計算．2．（2021秋?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝45°，BD、CE分別是AC、AB邊上的高，連接DE，若DE＝2，則BC的長為（）A．5 B．322 C．52 D【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到ADAB=22，AEAC=2【解答】解：在Rt△ADB中，∠BAC＝45°，則ADAB同理：AEAC∴ADAB∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC∵DE＝2，∴BC＝22，故選：D．【點評】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，證明△ADE∽△ABC是解題的關(guān)鍵．3．（2021秋?如皋市期末）如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形邊長為1，點A，B都在小正方形的頂點上，線段AB與網(wǎng)格線MN交于點C，則AC的長為（）A．32 B．43 C．54 【分析】先利用勾股定理求出AB的長，再利用A字模型相似三角形證明△ANC∽△ADB，然后利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：如圖：由題意得：AB=ADCN∥BD，∴∠ANC＝∠ADB，∠ACN＝∠ABD，∴△ANC∽△ADB，∴ANAD∴14∴AC=5故選：C．【點評】本題考查了勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握A字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2021秋?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，AC上的點，ADAB=13，DE∥BC，若△ADE的面積為A．12 B．18 C．24 D．54【分析】利用DE∥BC判定△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，列出關(guān)系式即可求得結(jié)論．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴S△ADE∵ADAB∴S△ADE∴S△ABC＝9S△ADE＝54．故選：D．【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用相似三角形的判定方法得出△ADE∽△ABC是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共4小題）5．（2021秋?興化市期末）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是CD的中點．則△DEO與△BCD的面積的比等于1：4．【分析】由平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，可得O是BD中點，已知條件中有E是CD的中點，則OE是△BCD的中位線，所以O(shè)E∥BC，OE=12BC，則△DEO∽△BCD，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方可以求出△DEO與△【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且對角線AC、BD交于點O，∴O是BD的中點，∵E是CD的中點，∴OE∥BC，OE=12∴OEBC∵△DEO∽△BCD，∴S△DEO∴△DEO與△BCD的面積的比等于1：4，故答案為：1：4．【點評】此題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)三角形中位線定理證明OE∥BC是解題的關(guān)鍵．6．（2021秋?建鄴區(qū)期末）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，A、B、C、D為格點，連接AB、CD相交于點E，則AE的長為625【分析】根據(jù)題意可得AB＝32，AC∥BD，所以△AEC∽△BED，進(jìn)而可以解決問題．【解答】解：根據(jù)題意可知：AB＝32，AC∥BD，AC＝2，BD＝3，∴△AEC∽△BED，∴AEBE∴AE3解得AE=6故答案為：62【點評】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．7．（2021秋?崇川區(qū)期末）在我國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中記載了這樣一個問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”其大意為：如圖，Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長分別為5步和12步，則它的內(nèi)接正方形CDEF的邊長為6017【分析】利用A字模型相似三角形證明△ADE∽△ACB，然后利用相似三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵四邊形CDEF是正方形，∴DE∥CF，DE＝DC，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB，∴ADAC∴5-DC∴5-DE∴DE=60∴正方形CDEF的邊長為：6017故答案為：6017【點評】本題考查了數(shù)學(xué)常識，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握A字模型相似三角形是解題是關(guān)鍵．8．（2022春?工業(yè)園區(qū)校級期末）如圖，平行四邊形ABCD中，點E為BC邊上的一點，AE和BD相交于點P，已知△ABF的面積等于12，△BEF的面積等于8，則四邊CDFE形的面積是22．【分析】利用三角形面積公式得到AF：FE＝3：2，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BE，S△ABD＝S△CBD，則可判斷△AFD∽△EFB，利用相似的性質(zhì)可計算出S△AFD＝18，所以S△ABD＝S△CBD＝30，然后用△BCD的面積減去△BEF的面積得到四邊形CDFE的面積．【解答】解：∵△ABF的面積等于12，△BEF的面積等于8，即S△ABF：S△BEF＝12：8＝3：2，∴AF：FE＝3：2，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BE，S△ABD＝S△CBD，∴△AFD∽△EFB，∴S△AFD∴S△AFD=94×8∴S△ABD＝S△CBD＝12+18＝30，∴四邊形CDFE的面積＝30﹣8＝22．故答案為：22．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形，靈活運用相似三角形的性質(zhì)表示線段之間的關(guān)系；也考查了平行四邊形的性質(zhì)．三．解答題（共4小題）9．（2022春?工業(yè)園區(qū)校級期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是△ABC的角平分線．（1）找出圖中的相似三角形，并證明；（2）求出BCAB【分析】（1）由AB＝AC，∠BAC＝36°，得∠ABC＝∠C=12（180°﹣36°）＝72°，由BD是△ABC的角平分線求得∠DBC＝36°，則∠DBC＝∠BAC，而∠C是△BDC和△ABC的公共角，即可證明△BDC∽△（2）先證明AD＝BD，BD＝BC，則AD＝BC，設(shè)AD＝BC＝x，AC＝AB＝a，由△BDC∽△ABC得DCBC=BCAC，所以BC2＝AC?（AC﹣AD），可列方程x2＝a（a﹣x），解方程求得符合題意的x的值為5【解答】（1）△BDC∽△ABC．證明：AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠C=12（180°﹣36°）＝∵BD是△ABC的角平分線，∴∠DBC＝∠DBA=12∠ABC=12∴∠DBC＝∠BAC，∵∠C＝∠C，∴△BDC∽△ABC．（2）解：∵∠DBA＝∠BAC，∴AD＝BD，∵∠BDC＝∠DBA+∠A＝36°+36°＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴BD＝BC，∴AD＝BC，設(shè)AD＝BC＝x，AC＝AB＝a，∵△BDC∽△ABC，∴DCBC∴BC2＝AC?（AC﹣AD），∴x2＝a（a﹣x），解得x1=5-12a，x∴BC=5-∴BCAB【點評】此題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理及其推論、一元二次方程的解法等知識，證明圖中的兩個等腰三角形相似是解題的關(guān)鍵．10．（2021秋?贛榆區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜邊AB上一點O為圓心，OB為半徑作⊙O，交AC于點E，交AB于點D，且∠BEC＝∠BDE．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）連接OC交BE于點F，若CEAE=2【分析】（1）連接OE，通過證明∠CBE＝∠OEB得OE∥BC，從而得OE⊥AC，再結(jié)合OE是半徑即可得出結(jié)論；（2）由OE∥BC，得△AOE∽△ABC，進(jìn)而得出OEBC=57，再由OE∥BC，得△【解答】（1）證明：連接OE，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠BEC＝90°，∵BD是直徑，∴∠BED＝90°，∴∠DBE+∠BDE＝90°，∴∠CBE＝∠DBE，∴∠CBE＝∠OEB，∴OE∥BC，∴∠OEA＝∠ACB＝90°，∴OE⊥AC，又∵OE是半徑，∴AC是⊙O的切線；（2）解：∵OE∥BC，∴△AOE∽△ABC，∴OEBC∵CEAE∴AEAC∴OEBC∵OE∥BC，∴△OEF∽△CBF，∴OFCF【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2022春?太倉市期末）如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線分別交BC，AC于點D，E，BE交AD于點F，AB＝AD．（1）求證：△BFD∽△CAB；（2）求證：AF＝DF；（3）EFFB的值等于13【分析】（1）由垂直平分線的性質(zhì)得出BE＝CE，進(jìn)而得出∠C＝∠EBD，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠FDB＝∠ABD，即可證明△BFD∽△CAB；（2）由DE垂直平分BC，得出BDBC=12，由相似三角形的性質(zhì)得出FDAB=BDBC=12，進(jìn)而得出FD=12AB（3）過點C作CH∥AD，交BE的延長線于點H，由DE垂直平分BC，得出BDBC=12，證明△BDF∽△BCH，得出DFHC=BFBH=BDBC=12，由AF＝FD，即可得出AFHC=1【解答】（1）證明：∵DE垂直平分BC，∴BE＝CE，∴∠C＝∠EBD，∵AB＝AD，∴∠FDB＝∠ABD，∴△BFD∽△CAB；（2）證明：∵DE垂直平分BC，∴BDBC∵△BFD∽△CAB，∴FDAB∴FD=12∵AB＝AD，∴FD=12∴AF＝FD；（3）解：如圖，過點C作CH∥AD，交BE的延長線于點H，∵DE垂直平分BC，∴BDBC∵CH∥AD，∴∠BDF＝∠BCH，∠BFD＝∠BHC，∴△BDF∽△BCH，∴DFHC∵AF＝FD，∴AFHC∵AD∥HC，∴∠FAE＝∠HCE，∠AFE＝∠CHE，∴△AFE∽△CHE，∴FEEH∴FEFH∵BFBH∴FH＝FB，∴EFFB故答案為：13【點評】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．12．（2021秋?阜寧縣期末）已知：如圖，AB為⊙O的直徑，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中點，ED與AB的延長線相交于點F．（1）求證：DE為⊙O的切線；（2）求證：AB?DF＝AC?BF．【分析】（1）連AD，OD，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角知∠ADB＝∠ADC＝90°，再根據(jù)E是AC的中點，得EA＝ED，根據(jù)OD＝OA，利用等邊對等角，可知∠ODE＝90°，從而證明結(jié)論；（2）首先證明△ABD∽△CBA，得ABAC=BDAD，再證明△FDB∽△【解答】證明：（1）連AD，OD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵E是AC的中點，∴EA＝ED，∴∠EDA＝∠EAD，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠EDO＝∠EAO，∵AB⊥AC∴∠EAO＝90°，∴∠EDO＝90°，∴DE為⊙O的切線；（2）∵∠BAC＝∠ADC＝90°，∴∠C＝∠BAD，∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA，∴ABAC∵∠FDB+∠BDO＝∠BDO+∠ADO＝90°，∴∠FDB＝∠ADO＝∠OAD，∵∠F＝∠F，∴△FDB∽△FAD，∴BDAD∴ABAC∴AB?DF＝AC?BF．【點評】本題主要考查了圓周角定理，切線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，證明△FDB∽△FAD是解題的關(guān)鍵．一．選擇題（共4小題）1．（2022?泰州二模）如圖，平行四邊形ABCD中，E是BC上的一點，且AB＝BE，AE、DC的延長線相交于點F，S△ABE：S四邊形AECD＝3：7，若AD＝5cm，則CF的長為（）A．1cm B．1.2cm C．3cm D．2cm【分析】連接AC，根據(jù)S△ABE：S?ABCD＝3：10，得S△ABE：S△ABC＝3：5，則BE：BC＝3：5，求出CE的長，再說明CE＝CF，進(jìn)而得出答案．【解答】解：連接AC，∵S△ABE：S四邊形AECD＝3：7，∴S△ABE：S?ABCD＝3：10，∴S△ABE：S△ABC＝3：5，∴BE：BC＝3：5，∵AD＝5cm，∴AD＝BC＝5cm，∴BE＝3cm，∴CF＝2cm，∵AB＝BE，∴∠BAE＝∠BEA，∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠F，∵∠BEA＝∠CEF，∴∠CEF＝∠F，∴CF＝CE＝2cm，故選：D．【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，求出BE的長是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?惠山區(qū)期中）如圖，已知?ABCD中，點E是DC邊的中點，連結(jié)BD、BE、AE，AE交BD于點F，則下列結(jié)論正確的是（）A．BD＝2DF B．AF＝2BF C．S△ABF＝2S△DEF D．S△ADF＝S△BEF【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得DE∥AB，則△DEF∽△BAF，可判斷AC錯誤，根據(jù)條件無法說明B成立，由△ADE與△BED同底等高，則S△ADE＝S△BED，可知D正確．【解答】解：∵點E是DC邊的中點，∴DE=1∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC＝AB，∴DE=1∵DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴DEAB∴DFBD即BD＝3DF，故A錯誤；根據(jù)條件無法說明B成立，∵DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴S△DEF即S△ABF＝4S△DEF，故C錯誤；∵△ADE與△BED同底等高，∴S△ADE＝S△BED，∴S△ADF＝S△BEF，故D正確；故選：D．【點評】本題主要考查是相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022春?新吳區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E為AB邊中點，點F為對角線BD上一點，且FB＝2DF，連接DE、EF、EC，則S△DEF：S△CED＝（）A．1：4 B．1：3 C．1：6 D．2：5【分析】根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，點E為AB邊中點，可得S△ADE＝S△BDE=14S平行四邊形ABCD，根據(jù)FB＝2DF，可得S△BDE＝3S△【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，點E為AB邊中點，∴S△ADE＝S△BDE=14S平行四邊形∵FB＝2DF，∴S△DEF=13S△BDE=112∵S△CDE=12S平行四邊形∴S△DEF：S△CDE=112S平行四邊形ABCD：12S平行四邊形ABCD＝1故選：C．【點評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋?錫山區(qū)校級月考）如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E是BC的中點，連接AE與對角線BD交于點G，連接CG并延長，交AB于點F，連接DE交CF于點H，連接AH．以下結(jié)論：①∠DEC＝∠AEB；②CF⊥DE；③AF＝BF；④CHHF=23A．2 B．3 C．4 D．5【分析】由四邊形ABCD是邊長為6的正方形，點E是BC的中點，得DC＝AB＝6，∠DCE＝∠ABE＝90°，CE＝BE＝3，即可證明△DCE≌△ABE，得∠DEC＝∠AEB，可判斷①正確；由∠ABG＝∠CBG＝45°，AB＝CB，BG＝BG，證明△ABG≌△CBG，得∠BAE＝∠BCF＝∠CDE，則∠DHF＝∠DCF+∠CDE＝∠DCF+∠BCF＝90°，即可證明CF⊥DE，可判斷②正確；由∠BCF＝∠BAE，CB＝AB，∠CBF＝∠ABE，證明△CBF≌△ABE，得BF＝BE＝3，所以AF＝BF＝3，可判斷③正確；根據(jù)勾股定理求得CF＝AE＝DE=62+32=35，則12×35CH=12×6×3＝S由△BFG∽△DCG，得FGCG=BFDC=12，則FG=1【解答】解：∵四邊形ABCD是邊長為6的正方形，點E是BC的中點，∴DC＝AB＝6，∠DCE＝∠ABE＝90°，CE＝BE＝3，∴△DCE≌△ABE（SAS），∴∠DEC＝∠AEB，故①正確；∵AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，同理∠CBD＝∠CDB＝45°，∴∠ABG＝∠CBG＝45°，∵AB＝CB，BG＝BG，∴△ABG≌△CBG（SAS），∴∠BAE＝∠BCF＝∠CDE，∴∠DHF＝∠DCF+∠CDE＝∠DCF+∠BCF＝∠BCD＝90°，∴CF⊥DE，故②正確；∵∠BCF＝∠BAE，CB＝AB，∠CBF＝∠ABE，∴△CBF≌△ABE（AAS），∴BF＝BE＝3，∴AF＝BF＝3，故③正確；∵S△CDE=12DE?CH=12DC?CE，CF＝AE＝DE∴12×35CH=12∴CH=6∴HF＝35-∴CHHF故④正確；∵BF∥CD，∴△BFG∽△DCG，∴FGCG∴FG=11+2CF∴HG＝35-故⑤正確，故選：D．【點評】此題重點考查正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，證明△DCE≌△ABE及△CBF≌△ABE是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共4小題）5．（2022?靖江市二模）如圖，AB⊥BC，AB＝5，點E、F分別是線段AB、射線BC上的動點，以EF為斜邊向上作等腰Rt△DEF，∠D＝90°，連接AD，則AD的最小值為522【分析】連接BD并延長，利用四點共圓的判定定理得到B，E，D，F(xiàn)四點共圓，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)和圓周角定理得到∠DBF＝∠DEF＝45°，得到點D的軌跡，最后利用垂線段最短和等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可得出結(jié)論．【解答】解：連接BD并延長，如圖，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∠EDF＝90°，∴∠ABC+∠EDF＝180°，∴B，E，D，F(xiàn)四點共圓，∵△DEF為等腰直角三角形，∴∠DEF＝∠DFE＝45°，∴∠DBF＝∠DEF＝45°，∴∠DBF＝∠DBE＝45°，∴點D的軌跡為∠ABC的平分線上，∵垂線段最短，∴當(dāng)AD⊥BD時，AD取最小值，∴AD的最小值為22AB=故答案為：52【點評】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，四點共圓的判定圓周角定理，點的軌跡，垂線段的性質(zhì)，利用已知條件求得點D的軌跡是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋?梁溪區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，D在AC邊上，AD：DC＝1：2，O是BD的中點，連接AO并延長交BC于E，則OE：OA＝1：2，S△BOE：S△BCD＝1：8．【分析】過點D作DF∥AE，交CE于點F，根據(jù)已知可得CDCA=23，再證明A字模型相似三角形△CDF∽△CAE，從而利用相似三角形的性質(zhì)可得AE=32DF，CFEF=2，然后根據(jù)線段中點的定義可得BO＝OD=12BD，再證明A字模型相似三角形△BEO∽△BFD，從而利用相似三角形的性質(zhì)可得OE=12DF，BF＝2BE，S【解答】解：過點D作DF∥AE，交CE于點F，∵AD：DC＝1：2，∴CDCA∵DF∥AE，∴∠CDF＝∠CAE，∠CFD＝∠CEA，∴△CDF∽△CAE，∴CDCA∴AE=32DF，CF∴CF＝2EF，∵O是BD的中點，∴BO＝OD=12∵OE∥DF，∴∠BOE＝∠BDF，∠BEO＝∠BFD，∴△BEO∽△BFD，∴BOBD∴OE=12DF，BF＝2BE，S△BOES△BDF=∴OEAE∴OE：OA＝1：2，∵CF＝2EF，BF＝2BE＝2EF，∴CF＝BF，∴△BDF的面積＝△CDF的面積，∴S△BOE：S△BCD＝1：8，故答案為：1：2，1：8．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋?崇川區(qū)校級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，點O為△BC的內(nèi)心，連接OA，OC，過點O作OD∥BC交AC于點D，則OD的長為53【分析】過點O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，OH⊥AB于H，連接AO，BO，由面積法可求OE＝OF＝OH＝1，可證四邊形OFBH是矩形，可得BF＝OH＝1，由“AAS”可證△COE≌△COF，可得CE＝CF＝3，由勾股定理可求解．【解答】解：如圖，過點O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，OH⊥AB于H，連接AO，BO，∵點O為Rt△ABC的內(nèi)心，OE⊥AC，OF⊥BC，OH⊥AB，∴OE＝OH＝OF，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC=AB2∵S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO，∴12×3×4=12×3×OH+12×∴OE＝OF＝OH＝1，∵OE⊥AC，OF⊥BC，OH⊥AB，∴四邊形OFBH是矩形，∴BF＝OH＝1，∴CF＝3，∵點O為Rt△ABC的內(nèi)心，∴∠OCF＝∠OCE，∵∠CEO＝∠CFO＝90°，在△COE和△COF中，∠OCE=∴△COE≌△COF（AAS），∴CE＝CF＝3，∵OD∥BC，∴∠DOC＝∠OCF＝∠OCE，∴OD＝DC，∵OD2＝DE2+OE2，∴CD2＝（3﹣CD）2+1，∴CD=5∴OD=5故答案為：53【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，考查了三角形的內(nèi)心的性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．8．（2022秋?惠山區(qū)校級月考）如圖，矩形ABCD中，點E在BC上，AE⊥DE，點F為AE延長線上一點，滿足EF＝AE，連接DF交BC于點G，若AB＝4，BE＝2，則GC＝3．【分析】由余角的性質(zhì)可得∠BAE＝∠DEC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求EC＝4，由等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可證EG＝DG，由勾股定理可求解．【解答】解：∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°＝∠B＝∠C，∴∠AEB+∠DEC＝∠AEB+∠BAE，∴∠BAE＝∠DEC，∴△ABE∽△ECD，∴ABEC∴4EC∴EC＝8，∵AE＝EF，∠AED＝90°，∴AD＝DF，∵∠AED＝90°，∴∠ADE＝∠FDE，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC＝∠FDE，∴DG＝EG，∵DG2＝DC2+GC2，∴（8﹣GC）2＝16+GC2，∴GC＝3．故答案為：3．【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．三．解答題（共4小題）9．（2022秋?高郵市期中）如圖，點P在△ABC的外部，連結(jié)AP、BP，在△ABC的外部分別作∠1＝∠BAC，∠2＝∠ABP，連結(jié)PQ．（1）求證：AC?AP＝AB?AQ；（2）判斷∠PQA與∠ACB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）由∠1＝∠BAC，得∠1+∠PAC＝∠BAC+∠PAC，則∠CAQ＝∠BAP，而∠2＝∠ABP，即可根據(jù)“兩角分別相等的兩個三角形相似”證明△CAQ∽△BAP，則ACAB=AQAP，所以AC?AP＝（2）由AC?AP＝AB?AQ，變形為APAB=AQAC，而∠1＝∠BAC，即可由“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”證明△APQ∽△ABC，得∠【解答】（1）證明：∵∠1＝∠BAC，∴∠1+∠PAC＝∠BAC+∠PAC，∴∠CAQ＝∠BAP，∵∠2＝∠ABP，∴△CAQ∽△BAP，∴ACAB∴AC?AP＝AB?AQ．（2）解：∠PQA＝∠ACB，理由：∵AC?AP＝AB?AQ，∴APAB∵∠1＝∠BAC，∴△APQ∽△ABC，∴∠PQA＝∠ACB．【點評】此題重點考查相似三角形的判定與性質(zhì)、等式的性質(zhì)等知識，找到相似三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角并且證明△CAQ∽△BAP及△APQ∽△ABC是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋?蘇州期中）如圖，Rt△ABC中∠BCA＝90°，AE2＝AD?AC，點D在AC邊上，以CD為直徑畫⊙O與AB交于點E．（1）求證：AB是⊙O的切線；（2）若AD＝DO＝1，求BE的長度．【分析】（1）連接OE，則∠OEC＝∠ACE，再證明△ADE∽△AEC，得∠AED＝∠ACE，則∠AED＝∠OEC，所以∠OEA＝∠AED+∠OED＝∠OEC+∠OED＝90°，即可證明AB是⊙O的切線；（2）由AD＝DO＝OC＝1，得AC＝3，則AE2＝AD?AC＝3，所以AE=3，再證明△AOE∽△ABC，求得BC=3，即可根據(jù)切線長定理求得BE＝BC【解答】（1）證明：連接OE，則OE＝OD＝OC，∴∠OEC＝∠ACE，∵AE2＝AD?AC，∴AEAC∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△AEC，∴∠AED＝∠ACE，∴∠AED＝∠OEC，∵CD是⊙O的直徑，∴∠OEA＝∠AED+∠OED＝∠OEC+∠OED＝∠CED＝90°，∵AB經(jīng)過⊙O的半徑OE的外端，且AB⊥OE，∴AB是⊙O的切線．（2）解：∵AD＝DO＝OC＝OE＝1，∴AC＝3，∴AE2＝AD?AC＝1×3＝3，∴AE=3∵∠OEA＝∠BCA＝90°，∠A＝∠A，∴△AOE∽△ABC，∴OEBC∴BC=AC?OE∵OC是⊙O的半徑，且CB⊥OC，∴BC是⊙O的切線，∴BE＝BC=3∴BE的長度是3．【點評】此題重點考查圓的切線的判定、切線長定理、直角所對的圓周角等于90°、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋?惠山區(qū)校級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點O在AB上，以點O為圓心，OA長為半徑的圓與AC、AB分別交于點D、E，且∠CBD＝∠A．（1）判斷直線BD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AD：AO＝5：3，BC＝3，求BD的長．【分析】（1）連接OD，先利用角間關(guān)系說明∠ODB＝90°，再利用切線的判定方法得結(jié)論；（2）連接DE，先說明△ADE∽△BCD，再利用相似三角形的性質(zhì)得結(jié)論．【解答】解：（1）BD是⊙O的切線．理由：連接OD．∵點D在⊙O上，∴OD＝OA，∴∠A＝∠ADO．∵∠C＝90°，∴∠A+∠CBD+∠DBA＝90°．∵∠CBD＝∠A，∴2∠A+∠DBA＝90°．∵∠DOB＝∠A+∠ADO＝2∠A，∠DOB+∠DBA+∠ODB＝180°，∴∠ODB＝90°．∵點D在⊙O上，∴BD是⊙O的切線．（2）連接DE．∵AE是⊙O的直