高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修一）：第10講 2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（教師版）

第03講2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系。②掌握一元二次方程的求解方法,掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程根的分布情況。③掌握?qǐng)D象法解一元二次不等式，會(huì)解簡(jiǎn)單的能轉(zhuǎn)化為一元二次不等式的分式不等式。通過(guò)本節(jié)課的復(fù)習(xí)與學(xué)習(xí)，會(huì)解一元二次方程、一元二次方程根的情況的處理、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)；會(huì)解一元二次不等式、含有參數(shù)的一元二次不等式、與一元二次不等式有關(guān)的存在與恒成立問(wèn)題的處理；會(huì)解能轉(zhuǎn)化為一元二次不等式的分式不等式；理解二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式之間的關(guān)系，能處理與三者之間有關(guān)的問(wèn)題。知識(shí)點(diǎn)一：一元二次不等式的有關(guān)概念1、一元二次不等式只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式：①（其中均為常數(shù)）②（其中均為常數(shù)）③（其中均為常數(shù)）④（其中均為常數(shù)）2、一元二次不等式的解與解集使某一個(gè)一元二次不等式成立的的值，叫作這個(gè)一元二次不等式的解，其解的集合，稱為這個(gè)一元二次不等式的解集.將一個(gè)不等式轉(zhuǎn)化為另一個(gè)與它解集相同的不等式，叫作不等式的同解變形.知識(shí)點(diǎn)二：四個(gè)二次的關(guān)系2.1一元二次函數(shù)的零點(diǎn)一般地，對(duì)于二次函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做二次函數(shù)的零點(diǎn)．2.2次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)于一元二次方程的兩根為且，設(shè)，它的解按照，，可分三種情況，相應(yīng)地，二次函數(shù)的圖象與軸的位置關(guān)系也分為三種情況.因此我們分三種情況來(lái)討論一元二次不等式或的解集.判別式二次函數(shù)(的圖象一元二次方程()的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，()有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根沒(méi)有實(shí)數(shù)根()的解集()的解集知識(shí)點(diǎn)三：一元二次不等式的解法1：先看二次項(xiàng)系數(shù)是否為正，若為負(fù)，則將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；2：寫(xiě)出相應(yīng)的方程，計(jì)算判別式：①時(shí)，求出兩根，且（注意靈活運(yùn)用十字相乘法）；②時(shí)，求根；③時(shí)，方程無(wú)解3：根據(jù)不等式，寫(xiě)出解集.知識(shí)點(diǎn)四：解分式不等式4.11、分式不等式4.1.1定義：與分式方程類似，分母中含有未知數(shù)的不等式稱為分式不等式，如：形如或（其中,為整式且的不等式稱為分式不等式。4.1.2分式不等式的解法①移項(xiàng)化零：將分式不等式右邊化為0：②③④⑤題型01一元二次不等式（不含參）的求解【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）不等式的解集為（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】由得，解得，故選：A【典例2】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）不等式的解集為（

）A． B．或 C． D．或【答案】C【詳解】由，即，得，所以不等式的解集為.故選：C.【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）解下列不等式：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2).(3)(4)【詳解】（1），即，配方可得，解得（2），即，解得；（3），即，而，從而不等式無(wú)解，即解集為；（4）且同時(shí)成立.由解得由，即，解得.于是【變式1】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高一?？奸_(kāi)學(xué)考試）解不等式：(1)；(2).【答案】(1)(2)【詳解】（1）由得，即，，，即不等式的解集為；（2）由得，即，不可能成立，即不等式的解集為.題型02一元二次不等式（含參）的求解（二次項(xiàng)系數(shù)不含參數(shù)）【典例1】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若，則關(guān)于的不等式的解集是（

）A． B．或 C．或 D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，，所以，所?原不等式可化為所以，解得.所以，不等式的解集為.故選：A.【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）解關(guān)于的不等式.【答案】答案見(jiàn)解析【詳解】由題意知，①當(dāng)，即或時(shí)，方程的兩根為，所以解集為；②若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，即，所以，當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，即，所以；③當(dāng)，即時(shí)，原不等式的解集為；綜上，當(dāng)或時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.【典例3】（2023秋·安徽六安·高一金寨縣青山中學(xué)?？计谀┮阎?1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)解關(guān)于的不等式．【答案】(1)或(2)見(jiàn)解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，或，不等式解集為：或；（2）不等式可化為．①當(dāng)時(shí)，原不等式即為，解得；②當(dāng)時(shí)，原不等式化為，解得；③當(dāng)時(shí)，原不等式化為，解得．綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）解不等式.【答案】答案見(jiàn)解析【詳解】解：對(duì)于不等式，可化為，所以方程有兩根、，令，解得，∴當(dāng)或時(shí)，，故原不等式的解集為；當(dāng)或時(shí)，，原不等式的解集為；當(dāng)或時(shí)，，原不等式的解集為；綜上可得：當(dāng)當(dāng)或時(shí)解集為，當(dāng)或時(shí)解集為，當(dāng)或時(shí)解集為.【變式2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）解關(guān)于的不等式．【答案】分類討論，答案見(jiàn)解析.【詳解】方程中，①當(dāng)即時(shí)，不等式的解集是，②當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集是，③當(dāng)即時(shí)，由解得：，時(shí)，不等式的解集是或，綜上，時(shí)，不等式的解集是，時(shí)，不等式的解集是，時(shí)，不等式的解集是或，題型03一元二次不等式（含參）的求解（二次項(xiàng)系數(shù)含參）【典例1】（2023·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考三模）不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：原不等式可以轉(zhuǎn)化為：，當(dāng)時(shí)，可知，對(duì)應(yīng)的方程的兩根為1，，根據(jù)一元二次不等式的解集的特點(diǎn)，可知不等式的解集為：.故選：A.【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【詳解】解：方程的兩個(gè)根為和，因?yàn)椋?，故不等式的解集為．故選：B．【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A．或 B．{x|x>a}C．或 D．【答案】A【詳解】因?yàn)椋缘葍r(jià)于，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以不等式的解集為：或．故選：A．【典例4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集.(2)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集.【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，由得：或，的解集為或.（2）由得：，當(dāng)時(shí)，令，解得：，，則由得：或，的解集為.【典例5】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）解關(guān)于的不等式（）．【答案】答案見(jiàn)解析.【詳解】解：由ax2﹣（a+1）x+1＜0，得（ax﹣1）（x﹣1）＜0；∵a＞0，∴不等式化為，令，解得；∴當(dāng)0＜a＜1時(shí)，即，原不等式的解集為{x|1＜x}；當(dāng)a＝1時(shí)，即，原不等式的解集為；當(dāng)a＞1時(shí)，即，原不等式的解集為．【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，關(guān)于x的不等式的解集為（

）A．或 B． C．或 D．【答案】A【詳解】不等式化為，，，故不等式的解集為或.故選：A.【變式2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式：().【答案】答案見(jiàn)解析.【詳解】當(dāng)，原不等式化為，解得，當(dāng)，原不等式化為或，當(dāng)，原不等式化為，其解的情況應(yīng)由與的大小關(guān)系決定，故：①當(dāng)，②當(dāng)時(shí)，原不等式，③當(dāng)時(shí)，原不等式，綜上所述：當(dāng)，解集為或，當(dāng)時(shí)，解集為，當(dāng)時(shí)，解集為，當(dāng)時(shí)，解集為，當(dāng)時(shí)，解集為.題型04一元二次不等式與對(duì)應(yīng)函數(shù)、方程的關(guān)系【典例1】（2023秋·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的不等式的解集是，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由條件可知，的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是和，且，則，得，，所以，即，解得：，所以不等式的解集為.故選：A【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知不等式的解集為，解不等式的解集為_(kāi)_________【答案】【詳解】由不等式的解集為，可知是的兩根，且，故，則，故即，即，解得或，故不等式的解集為，故答案為：【變式1】（2023秋·湖南郴州·高一統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【詳解】依題意可得，分別是關(guān)于的一元二次方程的兩根，根據(jù)韋達(dá)定理可得：.故選：A.【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式的解集為，則ab＝_________________.【答案】24【詳解】由一元二次不等式與一元二次方程、二次函數(shù)的聯(lián)系知：，或?yàn)榉匠痰膬蓚€(gè)根，即，∴.故答案為：24題型05分式不等式的解法【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）不等式的解集為_(kāi)_______.【答案】【詳解】原不等式可化為，即，即，即，解得，∴原不等式的解集為，故答案為：【典例2】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知全集，集合，，則______，______.【答案】或或【詳解】由得,整理得,解得或,即或因?yàn)榛蚧蛩曰?或.故答案為：或;或.【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】由，得，解得；由，得，得因?yàn)楫?dāng)時(shí)，一定可以推出，而當(dāng)時(shí)，不能推出。所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A．【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】原不等式可化為，即，解得．故選：C．題型06一元二次方程的實(shí)根分布問(wèn)題【典例1】（2023春·河北保定·高一河北省唐縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若一元二次方程（不等于0）有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)橐辉畏匠蹋ú坏扔?）有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，設(shè)兩根為，則，解得，故選：A【典例2】（2023春·四川資陽(yáng)·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知(1)求證是關(guān)于的方程有解的一個(gè)充分條件；(2)當(dāng)時(shí)，求關(guān)于的方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充要條件．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）證明：當(dāng)時(shí)，，則，即：，解得：，所以是關(guān)于x的方程有解的一個(gè)充分條件.（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，所以，解得：反之，當(dāng)時(shí)，，且，所以有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，滿足條件．所以，當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充要條件為.【典例3】（2023秋·陜西西安·高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若一元二次方程的兩不等實(shí)根都是負(fù)數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】或【詳解】首先，設(shè)方程的兩根為，則，所以，，又，解得或．故答案為：或．【變式1】（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)沙麓山國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期中）方程的兩根都大于，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____．【答案】【詳解】解：由題意，方程的兩根都大于，令，可得，即，解得．故答案為：.【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知方程的兩根分別在區(qū)間，之內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】.【詳解】方程

方程兩根為，若要滿足題意，則，解得，故答案為：.題型07一元二次不等式的實(shí)際問(wèn)題【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某文具店購(gòu)進(jìn)一批新型臺(tái)燈，若按每盞臺(tái)燈15元的價(jià)格銷售，每天能賣(mài)出30盞；若售價(jià)每提高1元，日銷售量將減少2盞，現(xiàn)決定提價(jià)銷售，為了使這批臺(tái)燈每天獲得400元以上（不含400元）的銷售收入．則這批臺(tái)燈的銷售單價(jià)（單位：元）的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】結(jié)合題意易知，，即，解得，因?yàn)?，所以，這批臺(tái)燈的銷售單價(jià)的取值范圍是，故選：C.【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某汽車廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬(wàn)元/輛，出廠價(jià)為12萬(wàn)元/輛，年銷售量為10000輛．本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品質(zhì)量，適度增加投入成本．若每輛車投入成本增加的比例為（），則出廠價(jià)相應(yīng)地提高比例為，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為，已知年利潤(rùn)=（出廠價(jià)-投入成本）×年銷售量．（1）寫(xiě)出本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)與投入成本增加的比例的關(guān)系式；（2）為使本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，則投入成本增加的比應(yīng)在什么范圍內(nèi)？【答案】（1），；（2）．【詳解】（1）由題意得：，，整理得：，（2）要保證本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，必須，即，．解得，所以投入成本增加的比例應(yīng)在范圍內(nèi)．【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷售量x（件）與單價(jià)P（元）之間的關(guān)系為，生產(chǎn)x件所需成本為C（元），其中元，若要求每天獲利不少于1300元，則日銷量x的取值范圍是（

）A．20≤x≤30 B．20≤x≤45C．15≤x≤30 D．15≤x≤45【答案】B【詳解】設(shè)該廠每天獲得的利潤(rùn)為y元，則y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500(0＜x＜80)．由題意，知－2x2＋130x－500≥1300，即x2－65x＋900≤0，解得：20≤x≤45，所以日銷量x的取值范圍是20≤x≤45．故選：B．【變式2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）黔東南某地有一座水庫(kù)，設(shè)計(jì)最大容量為128000m3．根據(jù)預(yù)測(cè)，汛期時(shí)水庫(kù)的進(jìn)水量（單位：m3）與天數(shù)的關(guān)系是，水庫(kù)原有水量為80000m3，若水閘開(kāi)閘泄水，則每天可泄水4000m3；水庫(kù)水量差最大容量23000m3時(shí)系統(tǒng)就會(huì)自動(dòng)報(bào)警提醒，水庫(kù)水量超過(guò)最大容量時(shí)，堤壩就會(huì)發(fā)生危險(xiǎn)；如果汛期來(lái)臨水庫(kù)不泄洪，1天后就會(huì)出現(xiàn)系統(tǒng)自動(dòng)報(bào)警．(1)求的值；(2)當(dāng)汛期來(lái)臨第一天，水庫(kù)就開(kāi)始泄洪，估計(jì)汛期將持續(xù)10天，問(wèn)：此期間堤壩會(huì)發(fā)生危險(xiǎn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)汛期的第9天會(huì)有危險(xiǎn)，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）由題意得：，即（2）由（1）得設(shè)第天發(fā)生危險(xiǎn)，由題意得，即，得．所以汛期的第9天會(huì)有危險(xiǎn)題型08重點(diǎn)方法之一元二次不等式的恒成立與有解問(wèn)題方法一：判別法【典例1】（2023秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一統(tǒng)考期末）若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則k的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【詳解】對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，①時(shí)，恒成立，②時(shí)，，解得，綜上可得，.故選：A.【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）不等式的解集為，則的取值范圍是________.【答案】【詳解】∵不等式的解集為，∴恒成立.①當(dāng)，即時(shí)，不等式化為，解得：，不是對(duì)任意恒成立，舍去；②當(dāng)，即時(shí)，對(duì)任意，要使，只需且，解得：.綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故答案為：【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】【詳解】因?yàn)閷?duì)任意，恒成立，則，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.題型09重點(diǎn)方法之一元二次不等式的恒成立與有解問(wèn)題方法二：變量分離法【典例1】（2023秋·江蘇淮安·高一淮陰中學(xué)?？计谀┤我?，使得不等式恒成立.則實(shí)數(shù)取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)閷?duì)任意，不等式恒成立.所以，其中，設(shè)，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，函數(shù)，取最小值，最小值為，所以，故選：B.【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知命題：“”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______________.【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，變形為，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則時(shí)，，所以，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若不等式對(duì)一切恒成立，則的最小值為_(kāi)_______．【答案】－4【詳解】∵當(dāng)時(shí)，恒成立，∴恒成立，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時(shí)取等號(hào)．∴，∴，故a的最小值為－4.故答案為：.題型10數(shù)學(xué)思想方法（分類討論）【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）解關(guān)于x的不等式.【答案】答案見(jiàn)解析【詳解】原不等式變?yōu)?，①?dāng)時(shí)，原不等式可化為，所以當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解得②當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，即.③當(dāng)時(shí)，，原不等式可化為，解得或.綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或.【典例2】（2023春·江西新余·高一新余市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)．(1)若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)解關(guān)于的不等式．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析.【詳解】（1），恒成立等價(jià)于，，當(dāng)時(shí)，，對(duì)一切實(shí)數(shù)不恒成立，則，此時(shí)必有，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）依題意，，可化為，當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，可得，又，解得，當(dāng)時(shí)，不等式可化為，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得或，當(dāng)時(shí)，，解得或，所以，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為或.題型11易錯(cuò)題篇（忽略了首項(xiàng)系數(shù)化正）【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，，即，，所以，，，所以，.故選：C.【典例2】（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，可得，解得，所以，又由，可得，解得，所以，所以，故選:D.【典例3】（2023春·湖南·高一校聯(lián)考期中）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】變形為，解得，故，因?yàn)?，所?故選：D【典例4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）解關(guān)于的不等式．【答案】【詳解】,等價(jià)轉(zhuǎn)化為，解得所以不等式的解集為．2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．或【答案】C【詳解】解不等式可得或，因?yàn)榛?，故只有C選項(xiàng)中的條件才是“”的充分不必要條件.故選：C.2．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考二模）不等式的解集為（

）A． B．C． D．或，【答案】C【詳解】不等式等價(jià)于，等價(jià)于，解集為．故選：C3．（2023春·山東濱州·高二?？茧A段練習(xí)）若不等式的解集為或，則（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁榛?，所以和時(shí)，，即，，解得,,故選：D．4．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】由，得或，解得.由，解得，當(dāng)時(shí)，一定成立，反之，不一定成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5．（2023·遼寧·朝陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考三模）命題“，”為真命題的一個(gè)必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，為真命題，則或，解得，對(duì)于A，，是命題“，”為真命題的充分不必要條件，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，是命題“，”為真命題的充要條件，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，是命題“，”為真命題的必要不充分條件，C正確；對(duì)于D，，是命題“，”為真命題的充分不必要條件，D錯(cuò)誤；故選：C6．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，且，若有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍時(shí)（

）A．或 B．或C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)椤?，且，，?dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值9，若有解，則，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，，．故選：．二、多選題7．（2023春·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學(xué)?？计谥校瓣P(guān)于的不等式對(duì)恒成立”的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B．C． D．【答案】AB【詳解】當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.所以“”是“關(guān)于的不等式對(duì)恒成立”的充分不必要條件，故A正確；“”是“關(guān)于的不等式對(duì)恒成立”的充分不必要條件，故B正確；“”是“關(guān)于的不等式對(duì)恒成立”的充要條件，故C錯(cuò)誤；“”是“關(guān)于的不等式對(duì)恒成立”的必要不充分條件，故D錯(cuò)誤.故選：AB.8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）恒成立，a的值可以為（

）A． B． C． D．4【答案】BCD【詳解】恒成立，即恒成立，所以，解得，所以BCD符合，A不符合；故選：BCD三、填空題9．（2023春·山東濱州·高二?？茧A段練習(xí)）若不等式的解集是，則的值等于_______．【答案】【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧牵院蜁r(shí)，，即，，解得，，所以，故答案為：．10．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】【詳解】不等式恒成立,所以，解得，故答案為：四、解答題11．（2023春·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春市第十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解不等式(1)(2)【答案】(1)(2)或【詳解】（1）由，得，即，解得，所以不等式的解集為；（2）由，得，即，解得或，所以不等式得解集為或.12．（2023秋·上海浦東新·高一?？计谀┮阎慕饧癁椋?1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)榈慕饧癁椋远业膬筛鶠楹?，所以，所以．（2）因?yàn)楹愠闪?，即恒成立，所以，解得，所以?shí)數(shù)b的取值范圍為．即.B能力提升1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式對(duì)任意恒成立，則正實(shí)數(shù)a的取值集合為（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由題意可得對(duì)任意恒成立，由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得等號(hào)，則，解得.故選：C.2．（2023春·湖南·高一校聯(lián)考期中）若“”是“”的一個(gè)充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【詳解】解不等式可得，由可得，①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，不等式即為，解得，此時(shí)，“”“”，不合乎題意；②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，解不等式可得或，由題意可知，或，所以，或，解得或，所以，；③當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，解不等式可得或，由題意可得或，所以，或，解得或，此時(shí).綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是或.故選：A.3．（多選）（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式的解集為或，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A． B．不等式的解集為C． D．不等式的解集為或【答案】ABD【詳解】因?yàn)殛P(guān)于x的不等式的解集為或，所以且方程的根為，故A正確；則，所以，所以，故C錯(cuò)誤；則不等式即為不等式，解得，所以不等式的解集為，故B正確；不等式即為不等式，即為，解得或，所以不等式的解集為或，故D正確.故選：ABD.4．（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預(yù)測(cè)）不等式的解集是__________．【答案】【詳解】，即，即，則，根據(jù)穿根法解得，故答案為：.5．（2023春·河北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，且，若恒成立，則的取值范圍是______.【答案】【詳解