高中數(shù)學同步講義（人教A版必修一）：第25講 4.3對數(shù)（教師版）

第03講4.3對數(shù)（4.3.1對數(shù)的概念+4.3.2對數(shù)的運算）課程標準學習目標①理解對數(shù)的概念、掌握對數(shù)的性質(zhì)。②掌握指數(shù)式與對數(shù)式的互化，能進行簡單的對數(shù)運算。③理解對數(shù)的運算性質(zhì)和換底公式，能熟練運用對數(shù)的運算性質(zhì)進行化簡求值。④能利用對數(shù)的運算性質(zhì)進行解方程及與指、冪函數(shù)的綜合應用問題的解決。通過本節(jié)課的學習，要求掌握對數(shù)的概念及對數(shù)條件，熟練掌握指對數(shù)形式的互化，準確利用對數(shù)的運算法則進行對數(shù)式子的化簡與運算，會解決與對數(shù)相關(guān)的綜合問題.知識點01：對數(shù)概念1、對數(shù)的概念：一般地,如果(,且),那么數(shù)叫做以為底的對數(shù),記作,其中叫做對數(shù)的底數(shù),叫做真數(shù).特別的：規(guī)定,且的原因：①當時，取某些值時，的值不存在，如：是不存在的.②當時，當時，的值不存在，如：是不成立的；當時，則的取值時任意的，不是唯一的.③當時，當，則的值不存在；當時，則的取值時任意的，不是唯一的.【即學即練1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知對數(shù)式有意義，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由有意義可知，解得且，所以a的取值范圍為.故選：B2、常用對數(shù)與自然對數(shù)①常用對數(shù)：將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù),并把記為②自然對數(shù)：是一個重要的常數(shù),是無理數(shù),它的近似值為2.71828.把以為底的對數(shù)稱為自然對數(shù),并把記作說明：“”同+、-、×等符號一樣,表示一種運算,即已知一個底數(shù)和它的冪求指數(shù)的運算,這種運算叫對數(shù)運算,不過對數(shù)運算的符號寫在數(shù)的前面.知識點02：指數(shù)式與對數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化當且，知識點03：對數(shù)的性質(zhì)①負數(shù)和零沒有對數(shù).②對于任意的且,都有，，；③對數(shù)恒等式:（且）【即學即練2】（2023·高一課時練習）的值是．【答案】/0.2【詳解】由對數(shù)的概念可得，故答案為：知識點04：對數(shù)的運算性質(zhì)當且，,①②③（）④（）⑤（）【即學即練3】（2023春·湖南邵陽·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）計算：

.【答案】【詳解】根據(jù)對數(shù)的運算法則，可得.故答案為：.知識點05：對數(shù)的換底公式換底公式：（且，，，且）特別的：【即學即練4】（2023·全國·高一假期作業(yè)）的值是（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【詳解】由題意可得：.故選：B.題型01對數(shù)概念判斷與求值【典例1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：對數(shù)函數(shù)（且），其中為常數(shù)，為自變量．對于選項A，符合對數(shù)函數(shù)定義；對于選項B，真數(shù)部分是，不是自變量，故它不是對數(shù)函數(shù)；對于選項C，底數(shù)是變量，不是常數(shù)，故它不是對數(shù)函數(shù)；對于選項D，底數(shù)是變量，不是常數(shù)，故它不是對數(shù)函數(shù)．故選：A．【典例2】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）在中，實數(shù)a的取值范圍是A．B． C．D．【答案】C【詳解】由對數(shù)的定義知，解得或.故選C．【變式1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）若，則x的值為．【答案】4【詳解】因為，所以，即，解得．故答案為：4.【變式2】（2023·高一課時練習）計算：；.【答案】8【詳解】,故答案為：題型02指數(shù)式與對數(shù)式相互轉(zhuǎn)換【典例1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）下列指數(shù)式與對數(shù)式互化不正確的一組是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】C【詳解】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式互化可知：對于選項A：等價于，故A正確；對于選項B：等價于，故B正確；對于選項C：等價于，故C錯誤；對于選項D：等價于，故D正確；故選：C.【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知，，計算=【答案】【詳解】∵，，∴，，∴.故答案為：.【變式1】（2023·高一課時練習）已知，則的值為．【答案】9【詳解】因為，所以，.故答案為：9.【變式2】（2023·高一課時練習）已知，則.【答案】【詳解】，，因此，.故答案為：.題型03對數(shù)的運算【典例1】（多選）（2023·全國·高一假期作業(yè)）下列運算正確的是（

）A．B．C．D．【答案】BCD【詳解】對于A，，A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D正確．故選：BCD.【典例2】（2023·全國·高三專題練習）化簡：．【答案】【詳解】．故答案為：【典例3】（2023·全國·高三專題練習）計算(1).(2).【答案】(1)(2)2【詳解】（1）＝＝＝＝（2）=2【變式1】（2023春·天津南開·高二統(tǒng)考期末）計算：.【答案】【詳解】因為，所以.故答案為：.【變式2】（2023·全國·高三專題練習）計算：(1);(2)【答案】(1)2(2)【詳解】（1）原式＝.（2）原式.題型04對數(shù)運算性質(zhì)的應用【典例1】（2023春·河北張家口·高二統(tǒng)考期末）已知，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】因為，，由，可得，所以，“”“”；但“”“”.所以，已知，，則“”是“”的充分不必要條件，故選：A.【典例2】（2023·山東濟寧·嘉祥縣第一中學統(tǒng)考三模）若且，則（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為且，所以，且，所以，且，且有，，所以，，，所以，，則，又因為且，解得.故選：B.【典例3】（2023·全國·高三專題練習）設，求證：.【答案】證明見解析【詳解】證明：設，則，，.所以，，.所以，所以.【變式1】（2023·高一課時練習）設，那么的值所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可得：，且所以.故選：D.【變式2】（2023春·廣東廣州·高一廣東實驗中學?？茧A段練習）（1）已知，計算；（2）．【答案】4，10【詳解】（1）由可得，將其平方得，將平方可得，所以，（2）【變式3】（2023春·上海黃浦·高一統(tǒng)考期末）已知，，若用、表示，則．【答案】/【詳解】因為，，所以，，所以.故答案為：題型05換底公式的應用【典例1】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知，，求.（用表示）【答案】【詳解】∵，所以，又∴，；∴．故答案為：．【典例2】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）計算：(1)；(2).【答案】(1)4(2)【詳解】（1）由換底公式可得，；（2）原式.【變式1】（2023·全國·高三專題練習）若，，用a，b表示【答案】【詳解】因為，所以，.故答案為：.【變式2】（2023春·廣東云浮·高一?？茧A段練習）若，，則．【答案】1【詳解】因為，所以所以.故答案為：1題型06對數(shù)方程求解【典例1】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）方程的根為（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【詳解】由，得，即，解得，所以方程的根為.故選：B【典例2】（2023·全國·模擬預測）已知正數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【詳解】由正數(shù)，滿足，得，所以，，結(jié)合，，得，所以，當且僅當時，即時取等號，故選：C【變式1】（2023·全國·高三專題練習），則.【答案】或【詳解】設，原方程可化為，所以或，所以或，所以或.故答案為：或.【變式2】（2023·高一課時練習）若，則．【答案】【詳解】因為，所以，所以.故答案為：題型07有附加條件的對數(shù)求值問題【典例1】（多選）（2023春·福建·高一校聯(lián)考期末）已知，則正確的有（

）A． B． C． D．【答案】ABC【詳解】，，，，，故正確，，故D不正確，，當且僅當時取等號，，，故B正確，（因為，故等號不成立），，故C正確.故選：【典例2】（2023·天津·高二學業(yè)考試）已知，，則的值為（

）A． B．3 C．4 D．8【答案】B【詳解】由，可得，則故選：B【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，，，，即或（舍去）故選：C【變式2】（2023春·浙江寧波·高二校聯(lián)考期末）已知實數(shù)a，b滿足且，則m＝.【答案】100【詳解】由可得，又，即，所以，即故答案為：題型08對數(shù)的實際運用【典例1】（2023·全國·高一專題練習）中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學原理之一便是著名的香農(nóng)公式：．它表示：在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速度取決于信道帶寬，信道內(nèi)信號的平均功率，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比．當信噪比比較大時，公式中真數(shù)里面的1可以忽略不計．按照香農(nóng)公式，若在帶寬為，信噪比為1000的基礎(chǔ)上，將帶寬增大到，信噪比提升到200000，則信息傳遞速度大約增加了（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．187% B．230% C．530% D．430%【答案】D【詳解】提升前的信息傳送速度，提升后的信息傳送速度，所以信息傳遞速度大約增加了．故選：D.【典例2】（2023·四川宜賓·統(tǒng)考三模）音樂是由不同頻率的聲音組成的．若音1（do）的音階頻率為f，則簡譜中七個音1（do），2（re），3（mi），4（fa），5（so），6（la），7（si）組成的音階頻率分別是f，，，，，，，其中后一個音階頻率與前一個音階頻率的比是相鄰兩個音的臺階．上述七個音的臺階只有兩個不同的值，記為，，稱為全音，稱為半音，則．【答案】0【詳解】相鄰兩個音的頻率比分別為，，，，，，由題意，，，.故答案為：0.【變式1】（2023秋·甘肅天水·高一統(tǒng)考期末）地震的強烈程度通常用里震級表示，這里A是距離震中100km處所測得地震的最大振幅，是該處的標準地震振幅，則里氏8級地震的最大振幅是里氏6級地震最大振幅的（

）倍．A．1000 B．100 C．2 D．【答案】B【詳解】解：依題意，，則，即則,則里氏8級地震的最大振幅是里氏6級地震最大振幅的100倍.故選：B.【變式2】（2023春·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學校考期中）2023年1月31日，據(jù)“合肥發(fā)布”公眾號報道，我國最新量子計算機“悟空”即將面世，預計到2025年量子計算機可以操控的超導量子比特達到1024個.已知1個超導量子比特共有2種疊加態(tài)，2個超導量子比特共有4種疊加態(tài)，3個超導量子比特共有8種疊加態(tài)，，每增加1個超導量子比特，其疊加態(tài)的種數(shù)就增加一倍.若，則稱為位數(shù)，已知1024個超導量子比特的疊加態(tài)的種數(shù)是一個位的數(shù)，則（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．308 B．309 C．1023 D．1024【答案】B【詳解】根據(jù)題意，得個超導量子比特共有種疊加態(tài)，所以當有1024個超導量子比特時共有種疊加態(tài).兩邊取以10為底的對數(shù)得，所以.由于，故是一個309位的數(shù)，即.故選：B.A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·湖南衡陽·高二校聯(lián)考學業(yè)考試）已知，那么（

）A．2 B． C． D．【答案】C【詳解】依題意，，所以，所以，所以.故選：C2．（2023·全國·高一假期作業(yè)）下列指數(shù)式與對數(shù)式互化不正確的一組是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】C【詳解】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式互化可知：對于選項A：等價于，故A正確；對于選項B：等價于，故B正確；對于選項C：等價于，故C錯誤；對于選項D：等價于，故D正確；故選：C.3．（2023·天津河西·統(tǒng)考三模）已知，，則（

）A． B． C．25 D．5【答案】A【詳解】由，.故選：A.4．（2023春·陜西榆林·高一統(tǒng)考期末）盡管目前人類還無法準確預報地震，但科學家通過研究，已經(jīng)對地震有所了解.例如，地震時釋放出的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關(guān)系為.據(jù)此，地震震級每提高1級，釋放出的能量是提高前的（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．9.46倍 B．31.60倍 C．36.40倍 D．47.40倍【答案】B【詳解】記地震震級提高至里氏震級，釋放后的能量為，由題意可知，，即，所以.故選：B.5．（2023·廣東東莞·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【詳解】由題意可得，故選：D.6．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？既＃┰O，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因為，，且，所以.故選：C7．（2023·天津·高二學業(yè)考試）已知，，則的值為（

）A． B．3 C．4 D．8【答案】B【詳解】由，可得，則故選：B8．（2023·全國·高三專題練習）已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，，，，即或（舍去）故選：C二、多選題9．（2023·全國·高一假期作業(yè)）下列正確的是（）A． B．C．若，則 D．若，則【答案】BCD【詳解】對于A選項，，A錯；對于B選項，，B對；對于C選項，因為，則，所以，，C對；對于D選項，因為，則，所以，，D對.故選：BCD.10．（2023秋·山東菏澤·高一統(tǒng)考期末）下列運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】，故選項A正確；，故選項B錯誤；根據(jù)對數(shù)恒等式可知，，選項C正確；根據(jù)換底公式可得：，故選項D錯誤．故選：AC三、填空題11．（2023·全國·高三專題練習）化簡：．【答案】【詳解】．故答案為：12．（2023春·江蘇南通·高二統(tǒng)考階段練習）已知，則的值為.【答案】【詳解】因為，所以，即，所以，所以，所以.故答案為：四、解答題13．（2023·全國·高三專題練習）計算(1).(2).【答案】(1)(2)2【詳解】（1）＝＝＝＝（2）=214．（2023·全國·高一假期作業(yè)）求值：(1)；(2)的值．【答案】(1)(2)6【詳解】（1）由題意可得.（2）由題意可得：，因為，所以.15．（2023·全國·高一假期作業(yè)）求下列各式中x的值．(1)(2)【答案】(1)；(2).【詳解】（1）由可得，，則，所以.（2）由可得，，故，所以.B能力提升1．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中學?？寄M預測）已知，，且，則ab的最小值為．【答案】16【詳解】因為，，則，由，得，則有，當且僅當，即時取等號，于是，，所以當時，ab取得最小值16.故答案為：162．（2023秋·上海浦東新·高二?？计谀┒x為不超過實數(shù)的最大整數(shù)，例如：，，已知函數(shù)，則【答案】4107【詳解】根據(jù)已知可得：，，，，共4個，，共8個（由之間含多少個奇數(shù)決定），，共16個，，共32個，，共64個，，共128個，，共256個，，則，故答案為：4107.3．（2023·全國·高三專題練習）冪函數(shù)y=xa，當a取不同的正數(shù)時，在區(qū)間[0,1]上它們的圖象是一組美麗的曲線（如圖），設點A(1,0)，B(0,1)，連接AB，線段AB恰好被其中的兩個冪函數(shù)y=xa，y=xb的圖象三等分，即有BM=MN=NA，那么ab=