三角形的五心整理

三角形的五心三角形五心是指三角形的重心、外心、內(nèi)心、垂心、旁心（幾何術(shù)語）。一、重心定義：數(shù)學(xué)上的重心是指三角形的三條中線的交點(diǎn)，其證明定理有燕尾定理或塞瓦定理，應(yīng)用定理有梅涅勞斯定理、塞瓦定理。別名：形心重心的性質(zhì)：1.重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。2.重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。3.重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。4.在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均。5.重心是三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)。6.三角形ABC的重心為G，點(diǎn)P為其內(nèi)部任意一點(diǎn)，則3PG2=(AP2+BP2+CP2)-1/3(AB2+BC2+CA2)。7.在三角形ABC中，過重心G的直線交AB、AC所在直線分別于P、Q，則AB/AP+AC/AQ=38.從三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別向以他們的對邊為直徑的圓作切線，所得的6個(gè)切點(diǎn)為Pi，則Pi均在以重心G為圓心，r=1/18(AB2+BC2+CA2)為半徑的圓周上。9、G為三角形ABC的重心,P為三角形ABC所在平面上任意一點(diǎn)，則PA2+PB2+PC2=GA2+GB2+GC2+3PG2。二、外心定義：三角形的外心是指三角形外接圓的圓心，三角形外接圓的圓心也就是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的三個(gè)頂點(diǎn)就在這個(gè)外接圓上。外心的性質(zhì)：性質(zhì)一：1.銳角三角形的外心在三角形內(nèi)；2.直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點(diǎn)重合；3.鈍角三角形的外心在三角形外.4.等邊三角形外心與內(nèi)心為同一點(diǎn)。性質(zhì)二：三角形三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形外接圓的圓心，外心到三頂點(diǎn)的距離相等。三、內(nèi)心定義：三角形內(nèi)心指三個(gè)內(nèi)角的三條角平分線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心。內(nèi)心的性質(zhì)：內(nèi)心的點(diǎn)也是這個(gè)三角形內(nèi)切圓的圓心，三角形內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等。四、垂心定義：三角形的三條高線所在直線的交點(diǎn)叫做三角形的垂心。垂心的性質(zhì)：1.銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點(diǎn)上；鈍角三角形的垂心在三角形外。2.三角形垂心H的垂足三角形的三邊，分別平行于原三角形外接圓在各頂點(diǎn)的切線。3.三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍。（垂心伴隨外接圓，必有平行四邊形）4.等邊三角形的重心把三角形的高分成2:1兩段，靠近頂點(diǎn)的那段長度為高的三分之二。(高中學(xué)習(xí)中常用知識）五、旁心定義：三角形旁切圓的圓心,簡稱為三角形旁心。它是三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線和其他兩個(gè)內(nèi)角的外角平分線的交點(diǎn)；顯然，任何三角形都存在三個(gè)旁切圓、三個(gè)旁心。旁心的性質(zhì)：1.三角形的旁心是其一內(nèi)角的平分線(所在直線)和其他兩角的外角平分線的交點(diǎn)，每一個(gè)旁心到三邊的距離相等。2.三角形的三個(gè)旁心與內(nèi)心構(gòu)成一垂心組，反過來．一個(gè)三角形的頂點(diǎn)與垂心是高的垂足三角形的旁心與內(nèi)心。3.一個(gè)旁心與三角形三條邊的端點(diǎn)連結(jié)所組成的3個(gè)三角形面積之比等于原三角形三條邊長之比；三個(gè)旁心與三角形的一條邊的端點(diǎn)連結(jié)所組成的三角形面積之比等三個(gè)旁切圓半徑之比。

三角形五個(gè)“心”的簡單介紹好久沒更新了，由于我看好多人，對于三角形的五個(gè)“心”。老是混淆，今天就簡單的介紹一些三角形的五個(gè)“心”。三角形的五個(gè)“心”，分別為重心、垂心、外心、內(nèi)心、旁心。1、重心重心：三角形三條中線的交點(diǎn)。如圖為的重心，由重心可得如下結(jié)論。重心是中線的三等分點(diǎn)，即、、。重心帶三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小即最小重心和三角形三個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等，即2、垂心垂心：三角形三條高的交點(diǎn)。由于垂心的特殊性，我們將其分為三類。如圖銳角三角形的垂心，為垂心（注內(nèi)部偏上的點(diǎn)為垂心）直角三角形的垂心，為垂心鈍角三角形的垂心（圖片未顯示，下方三條線即將交匯的點(diǎn)為其垂心）由圖我們可以得到垂心的以下結(jié)論。銳角三角形的垂心在其三角形的內(nèi)部直角三角形的垂心在其三角形的直角頂點(diǎn)鈍角三角形的垂心在其三角形的外部重心關(guān)于三邊的對稱點(diǎn)，都在的外接圓上。上述圖中的圓就為三角形的外接圓。3、內(nèi)心內(nèi)心：三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)，亦是三角形內(nèi)切圓的圓心。如圖為的內(nèi)心，由內(nèi)心可得如下結(jié)論三邊等距，即內(nèi)心到三角形三條邊之間的距離相等（由角平分線的性質(zhì)可得）圖中的圓即為三角形的內(nèi)切圓4.外心外心：三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，亦是三角形外接圓的圓心。如圖為的外心由外心可得如下結(jié)論三點(diǎn)等距，即外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)之間的距離相等（由垂直平分線的性質(zhì)可得）銳角三角形在外心在其內(nèi)部直角三角形的外心在其斜邊的中點(diǎn)上。鈍角三角形的外心在其外部圖中的圓即為三角形的外接圓讀者可以下去將其余的兩類三角形的外心做一做感受一下。5.旁心旁心：三角形一個(gè)內(nèi)角的角平分線和其剩余兩個(gè)角的外角的角平分線的交點(diǎn)，亦是三角形旁切圓的圓心，如圖為的旁心由外心可得