考點11三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

考點11三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)1.【2023天津】已知函數(shù)fx的一條對稱軸為直線x=2，一個周期為4，則fx的解析式可能為

(

)A.sinπ2x B.cosπ2x【答案】B

【解析】【分析】本題主要考查了正弦及余弦函數(shù)的對稱性及周期性，屬于基礎(chǔ)題．

由題意分別考查函數(shù)的最小正周期和函數(shù)在x=2處的函數(shù)值，排除不合題意的選項即可確定滿足題意的函數(shù)解析式．【解答】

解：由函數(shù)的解析式考查函數(shù)的最小周期性：A選項中T=2ππ2=4，C選項中T=2ππ4=8，排除選項CD，對于A選項，當x=2時，函數(shù)值sinπ2×2=0，故對于B選項，當x=2時，函數(shù)值cosπ2×2故選：B．2.【2023全國乙卷】已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)在區(qū)間(π6,2π3)單調(diào)遞增，直線x=πA.?32 B.?12 【答案】D

【解析】【分析】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．先由題意求出函數(shù)的周期，得到ω的值，再由單調(diào)區(qū)間即可求解．【解答】解：由題意，函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期T滿足2π3?π6=當x=π6時，f(x)可取φ=7π6，則故選：D3.【2022浙江】為了得到函數(shù)y=2sin3x的圖象，只要把函數(shù)y=2sin(3x+π5A.向左平移π5個單位長度 B.向右平移π5個單位長度

C.向左平移π15個單位長度 D.【答案】D

【解析】【分析】本題考查了三角函數(shù)圖象的平移，屬于基礎(chǔ)題。

利用y=2sin?(3x+π【解答】

解：y=2sin?(3x+π5)=2sin?[3(x+π15)]

即向右平移π154.【2022全國甲卷】將函數(shù)f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的圖像向左平移π2個單位長度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對稱，則ωA.16 B.14 C.13【答案】C

【解析】【分析】本題考查三角函數(shù)的平移變換，及三角函數(shù)奇偶性，難度一般．

由函數(shù)平移得到g(x)=sin?(ωx+π2ω+π【解答】

解：記g(x)為f(x)向左平移π2個單位后得到的曲線，

則g(x)=f(x+π2)=sin?(ωx+π2ω+π3)，

由g(x)關(guān)于y軸對稱，可得：π2ω+π5.【2022北京】已知函數(shù)f(x)=cos2x?sin2A.f(x)在(?π2,?π6)上單調(diào)遞減 B.f(x)在(?π4,π12)上單調(diào)遞增【答案】C

【解析】【分析】本題考查判斷余弦型函數(shù)的單調(diào)性，二倍角的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題．【解答】

解：f(x)=cos2x?sin2x=cos2x，

選項A中：2x∈(?π,?π3)，此時f(x)單調(diào)遞增，

選項B中：2x∈(?π2,π6)，此時f(x)6.【2021新高考Ⅰ卷】下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)=7sin(x?π6)單調(diào)遞增的區(qū)間是A.(0,π2) B.(π2,π)【答案】A

【解析】【分析】本題考查正弦型函數(shù)單調(diào)性，是簡單題．

本題需要借助正弦函數(shù)單調(diào)增區(qū)間的相關(guān)知識點求解．【解答】解：令?π2+2kπ≤x?π6≤π2+2kπ，k∈Z．

則?π3+2kπ≤x≤2π3+2kπ，k∈Z．7.【2021全國乙卷】函數(shù)f(x)=sinx3+cosA.3π和2 B.3π和2 C.6π和2 D.6π【答案】C

【解析】【分析】本題考查了輔助角公式、三角函數(shù)的周期性與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

化簡函數(shù)的表達式，再利用三角函數(shù)的周期，正弦函數(shù)的最值求解即可．【解答】

解：∵f(x)=sinx3+cosx3=2sin(x3+π4)，

∴最小正周期T=2π13=6π8.【2021全國乙卷】把函數(shù)y=f(x)圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的12倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移π3個單位長度，得到函數(shù)y=sin(x?πA.sin(x2?7π12) B.【答案】B

【解析】【分析】本題主要考查函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像變換規(guī)律，屬基礎(chǔ)題．

由題意利用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像變換規(guī)律，得出結(jié)論．【解答】

解：∵把函數(shù)y=f(x)圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的12倍，縱坐標不變，

再把所得曲線向右平移π3個單位長度，得到函數(shù)y=sin(x?π4)的圖像，

∴把函數(shù)y=sin(x?π4)的圖像，向左平移π3個單位長度，

得到y(tǒng)=9.【2021北京】函數(shù)f(x)=cosx?cos2x，試判斷函數(shù)的奇偶性及最大值

A.奇函數(shù)，最大值為2 B.偶函數(shù)，最大值為2

C.奇函數(shù)，最大值為98 D.偶函數(shù)，最大值為【答案】D

【解析】【分析】本題考查三角函數(shù)的奇偶性，余弦型函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．

根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性；再利用三角換元將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)最值．【解答】

解：函數(shù)f(x)=cosx?cos2x，定義域為R，

∵f(?x)=cos(?x)?cos(?2x)=cosx?cos2x，

∴f(?x)=f(x)，即函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；

當x∈R時，?1?cosx?1，令t=cosx，

10.【2020新高考Ⅰ卷】如圖是函數(shù)y=sinωx+φ的部分圖象，則sinωx+φ=(

)

A.sin?(x+π3) B.sin?(π【答案】BC

【解析】【分析】本題考查正弦型函數(shù)的圖象，考查邏輯推理能力，屬于中檔題．

借助圖象分別求出ω,φ，結(jié)合誘導(dǎo)公式即可判斷．【解答】

解：由圖象可知T=2π|ω|=2(2π3?π6)=π，故A錯誤;

解得ω=±2，

點(5π12,?1)在函數(shù)圖象上，

當ω=2時，2×5π12+φ=?π2+2kπ,k∈Z，

解得φ=?4π3+2kπ,k∈Z，故選BC．11.【2022北京】若函數(shù)f(x)=Asinx?3cosx的一個零點為π3，則【答案】1?【解析】【分析】本題考查輔助角公式，函數(shù)零點的概念，屬于基礎(chǔ)題．【解答】

解：由題意知：f(π3)=Asinπ3?12.【2022全國乙卷】記函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期為T，若f(T)=32，x=π9為f(x)【答案】3

【解析】【分析】本題考查由余弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

由f(T)=f(0)=32求得φ，再由f(【解答】解：f(T)=f(0)=cosφ=32，且0<φ<π，故φ=π6，

f(π913.【2020全國Ⅲ卷】關(guān)于函數(shù)f(x)=sinx+①f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱．②f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，③f(x)的圖象關(guān)于直線x=π④f(x)的最小值為2．其中所有真命題的序號是

．【答案】②③

【解析】【分析】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)及函數(shù)的奇偶性、對稱性等有關(guān)知識，屬于中檔題．

根據(jù)函數(shù)奇偶性定義可判斷出函數(shù)圖象的對稱性；通過函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱可得等量關(guān)系，進而檢驗等式是否成立即可；特殊值法可判斷出函數(shù)的最值．【解答】

解：根據(jù)題意，易得函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，f(?x)=sin?(?x)+1sin?(?x)=?(sin?x+1若函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=π2對稱，則有即sin?(通過化簡可得等式成立，故③正確；當x=?π2時，f(?π故答案為②③．14.【2021浙江】設(shè)函數(shù)f(x)=sinx+cosx(x∈R).

(1)求函數(shù)y=[f(x+π2)]2的最小正周期；【答案】解：(1)由輔助角公式得f(x)=sin則y=[f(x+π2)]2所以該函數(shù)的最小正周期T=2π(2)由題意，y=f(x)f(x?π4=2sin?x?(=2?1?cos由x∈[0,π2]可得2x?π4∈[?π4,【解析】本題主要考查函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(zhì)，考查三角恒等變換公式，考查分析計算能力，屬于中檔題．

(1)由題意結(jié)合三角恒等變換可得y=1?sin?2x，再由三角函數(shù)最小正周期公式即可得解；

(2)由三角恒等變換可得15.【2023全國甲卷】函數(shù)y=f(x)的圖象由y=cos(2x+π6)的圖象向左平移π6個單位長度得到，則y=f(x)的圖象與直線y=A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查三角函數(shù)圖象平移及函數(shù)圖象交點個數(shù)問題，屬于中檔題．根據(jù)函數(shù)圖象平移得到f(x)，然后在同一直角坐標系下作出兩函數(shù)圖象分析即可求解．【解答】解：y=cos(2x+π6)即f(x)=?sin2x，值域為[?1,1]，且y=12x?12在同一直角坐標系中作出兩函數(shù)圖象如下：結(jié)合圖象分析可得y=f(x)的圖象與直線y=12故選C.16.【2022新高考Ⅰ卷】記函數(shù)f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期為T.若2π3<T<π，且y=f(x)A.1 B.32 C.52 【答案】A

【解析】【分析】本題主要考查三角函數(shù)的周期性和對稱性，屬于中檔題．

根據(jù)周期范圍，確定ω范圍，再根據(jù)對稱中心確定ω=23(k?【解答】解：由題可知：T=2πω∈(2π3,π)，所以ω∈(2,3)．

又因為y=f(x)的圖像關(guān)于點(3π2,2)中心對稱，所以b=2，且f(3π2)=sin17.【2022全國甲卷】設(shè)函數(shù)f(x)=sinωx+π3在區(qū)間(0,π)恰有三個極值點、兩個零點，則ω的取值范圍是

A.53,136 B.53,【答案】C

【解析】【分析】本題考查三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，函數(shù)的零點與最值問題．【解答】

解：依題意可得ω>0，因為x∈0,π，所以ωx+要使函數(shù)在區(qū)間0,π恰有三個極值點、兩個零點，

又y=sinx，則5π2<ωπ+π3≤3π18.【2022天津】已知f(x)=12sin2x，關(guān)于該函數(shù)有下列四個說法：

①f(x)的最小正周期為2π；

②f(x)在[?π4,π4]上單調(diào)遞增；

③當x∈[?π6,π3]時，f(x)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A

【解析】【分析】本題主要考查正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于較易題．

由題意，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得出結(jié)論．【解答】

解：∵f(x)=12sin2x，

∴最小正周期為T=2π2=π，故①錯誤；

∵當x∈[?π4,π4]時，2x∈[?π2,π2]，

∴函數(shù)f(x)在[?π4,π4]上單調(diào)遞增，故②正確；

∵當x∈[?π19.【2022新高考Ⅱ卷】已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的圖象關(guān)于點(2π3A.f(x)在(0,5π12)單調(diào)遞減

B.f(x)在(?π12,11π12)有兩個極值點

C.直線x=7π【答案】AD

【解析】【分析】解：由題意得：f(2π3)=sin(4π3+φ)=0，

所以4π3+φ=kπ，即φ=?4π3+kπ，k∈Z，

又0<φ<π，所以k=2時，φ=2π3，

故f(x)=sin(2x+2π3).

選項A:x∈(0,5π12)時，2x+2π3∈(2π3,3π2)，由y=sinu圖象知f(x)在(0,5π12)單調(diào)遞減;

選項B:x∈(?π12,11π12)時，2x+2π3∈(π2,5π2)，由y=sin?u圖象知f(x)在(?π【解答】

本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的對稱軸與對稱中心，函數(shù)的極值，切線方程的求解，屬于中檔題．20.【2023新高考Ⅰ卷】已知函數(shù)f(x)=cosωx?1(ω>0)在區(qū)間[0,2π]有且僅有3個零點，則ω的取值范圍是

．【答案】[2,3).

【解析】【分析】本題考查了余弦型函數(shù)的零點問題，屬中檔題．【解答】解：令f(x)=cosωx?1=0，得cos?ωx=1，又x∈[0,2π]，則ωx∈[0,2ωπ]，所以故答案為：[2,3).

21.【2023新高考Ⅱ卷】已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)，如圖，A，B是直線y=12與曲線y=f(x)的兩個交點，若|AB|=π6，則f(π)=【答案】?【解析】【分析】主要考查了函數(shù)y=Asin根據(jù)AB的長度求出ω.函數(shù)圖象過點(2π3,0)【解答】解：

設(shè)相鄰的兩個交點A，B的橫坐標為t1，t2又sin(ωx+φ)=1ωt1+φ=π6，函數(shù)圖象過點(2π3,0)，sin?(8π3+φ)=0，故φ=kπ?8π322.【2021全國甲卷】已知函數(shù)f(x)=2cos(ωx+φ)的部分圖像如圖所示，則滿足條件f(x)?f?7π4f(x)?f4π【答案】2

【解析】【分析】本題考查正弦型函數(shù)的圖像和性質(zhì)以及相關(guān)應(yīng)用，屬于中檔題．

需要由圖求出正弦型函數(shù)的解析式，解一元二次不等式得到f(x)的范圍，最后求解x的范圍．【解答】

解：34T=13π12?π3=34π,可得T=π,ω=2.

將x=π3代入f(x)=2cos?(2x+φ),得2cos?(2π3+φ)=0