2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中模擬卷01（基礎(chǔ)卷）（解析版）

期中押題預(yù)測(cè)01（基礎(chǔ)卷）本卷共22題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．空間四邊形中,點(diǎn)在上,且,為中點(diǎn),則等于(

)A． B．C． D．【答案】B【分析】按照向量運(yùn)算律計(jì)算即可【詳解】因?yàn)?所以因?yàn)闉锽C中點(diǎn),所以所以故選：B2．已知直線的方向向量分別為，若，則（

）A．1 B．2 C．0 D．3【答案】D【分析】由線線垂直可知其方向向量垂直，再利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示即可求得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，故，所以，則.故選：D.3．已知兩點(diǎn)所在直線的傾斜角為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．-7 B．-5 C．-2 D．2【答案】A【分析】根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)，列出斜率表達(dá)式，然后根據(jù)傾斜角得到斜率，列出方程求解即可.【詳解】因?yàn)閮牲c(diǎn)所在直線的傾斜角為，則，即故選:A.4．若三條直線，，能圍成一個(gè)三角形，則的值可能是（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】先求出不能構(gòu)成三角形的情況，就可選出答案.【詳解】由得所以兩條直線交于點(diǎn)，當(dāng)也過時(shí)，，解得，此時(shí)三條線交于同一點(diǎn)，不能構(gòu)成三角形，當(dāng)與平行時(shí)，有，則，也不能構(gòu)成三角形，當(dāng)與平行時(shí)，由，則，也不能構(gòu)成三角形，所以，故選：B5．已知斜率為的直線l被圓截得的弦長(zhǎng)為，則直線l的方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【分析】因?yàn)閳A的半徑為，且直線l被圓截得的弦長(zhǎng)為，即可以通過垂徑定理求得圓心到直線l的距離，還可以通過圓心到直線l的距離公式，列出方程，從而求出直線方程.【詳解】圓：，故半徑為，又因?yàn)橹本€l被圓截得的弦長(zhǎng)為，所以圓心到直線l的距離為設(shè)直線l的方程為，則，則或所以或.故選：D6．雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在雙曲線C上且，則等于（

）A．14 B．26 C．14或26 D．16或24【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的方程可得，由即可求解.【詳解】由雙曲線的方程可得，故.因?yàn)椋?，解得?6.故選:C.7．已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】先根據(jù)題意得到，然后利用余弦定理求得，接著求，最后利用三角形面積公式即可得到答案【詳解】由橢圓可得，所以，，所以，所以在中，，因?yàn)椋?，所以，設(shè)的坐標(biāo)為，且，所以，所以點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為，故選：C8．直線分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓上，則面積的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】底邊為定值，求出點(diǎn)P到距離的范圍即可求出面積的取值范圍.【詳解】圓心到直線距離，所以點(diǎn)P到距離即高的范圍，又可求得，所以面積的取值范圍為.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．給出下列命題，其中是真命題的是（

）A．若可以作為空間的一個(gè)基底，與共線，，則也可以作為空間的一個(gè)基底B．已知向量，則與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底C．己知A，B，M，N是空間中的四點(diǎn)，若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則A，B，M，N四點(diǎn)共面D．己知是空間的一個(gè)基底，若，則也是空間的一個(gè)基底【答案】ABCD【分析】直接利用向量的基底的定義，向量的共線，共面向量的充要條件判定、、、的結(jié)果．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)：，，可以作為空間的一個(gè)基底，，，不共面，與共線，，，，不共面，故正確．對(duì)于選項(xiàng)：向量，，與任何向量都共面，，與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故正確．對(duì)于選項(xiàng)：，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，，，共面，，，，共面，故正確．對(duì)于選項(xiàng)：，，是空間的一個(gè)基底，，，不共面，，，，不共面，，，也是空間的一個(gè)基底，故正確．故選：．10．已知直線，其中，則（

）A．若直線與直線平行，則B．當(dāng)時(shí)，直線與直線垂直C．直線過定點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等【答案】BC【分析】由兩直線平行可求得實(shí)數(shù)的值，可判斷A選項(xiàng)；利用直線垂直與斜率的關(guān)系可判斷B選項(xiàng)；求出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，可判斷C選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，求出直線的截距式方程，可判斷D選項(xiàng).【詳解】直線的斜率為.對(duì)于A選項(xiàng)，若直線與直線平行，且直線的斜率為，則，解得或，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線的斜率為，直線的斜率為，所以，當(dāng)時(shí)，直線與直線垂直，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，對(duì)于直線，由，可得，則直線過定點(diǎn)，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即，所以，當(dāng)時(shí)，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相反，D錯(cuò).故選：BC.11．已知圓和軸相切，圓心在直線上，且被直線截得的弦長(zhǎng)為，則圓的方程（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為，根據(jù)圓與軸相切，得到圓的半徑等于圓心橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，把圓心坐標(biāo)代入直線得到關(guān)于與的方程,再由垂徑定理得到的一個(gè)關(guān)系式，三者聯(lián)立即可求出及的值，從而確定出圓的方程.【詳解】設(shè)所求圓的方程為，則圓心到直線的距離為，所以，即.因?yàn)樗髨A與軸相切，所以又因?yàn)樗髨A的圓心在直線上，所以，所以或故所求圓的方程為或.故選：BD12．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，是拋物線上的一點(diǎn)，為其焦點(diǎn)，若與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則下列說法正確的有（

）A．若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 B．該拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線所截得的線段長(zhǎng)度為C．若外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則該圓面積為 D．周長(zhǎng)的最小值為【答案】ACD【分析】由雙曲線方程可確定焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到拋物線方程；利用拋物線焦半徑公式可求得A正確；將準(zhǔn)線方程與雙曲線方程聯(lián)立可得交點(diǎn)縱坐標(biāo)，由此可得線段長(zhǎng)度，知B錯(cuò)誤；根據(jù)外心的橫坐標(biāo)為且圓與準(zhǔn)線相切可得圓的半徑，由此可知C正確；結(jié)合拋物線定義可知，由此可求得周長(zhǎng)的最小值，知D正確.【詳解】由雙曲線方程知：，拋物線，對(duì)于A，設(shè)，則，解得：，A正確；對(duì)于B，拋物線準(zhǔn)線方程為：，由得：，準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長(zhǎng)度為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，外接圓圓心在線段的中垂線上，則其橫坐標(biāo)為，又該圓與拋物線準(zhǔn)線相切，該圓的半徑，該圓的面積，C正確；對(duì)于D，設(shè)和在準(zhǔn)線上的投影分別為，由拋物線定義知：，則（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，此時(shí)重合），又，，周長(zhǎng)的最小值為，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則___________.【答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，所以，，，所以；故答案為：14．已知圓與圓，則圓與圓的公切線方程是___________________．【答案】【分析】先判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系，然后根據(jù)切點(diǎn)和斜率求得公切線方程.【詳解】圓，即，圓心為，半徑.圓，即，圓心為，半徑.圓心角，所以兩圓相內(nèi)切.由解得，所以兩圓切點(diǎn)的坐標(biāo)為，，所以公切線的斜率為，所以公切線的方程為.故答案為：15．已知橢圓C：，對(duì)于C上的任意一點(diǎn)P，圓O：上均存在點(diǎn)M，N使得，則C的離心率的取值范圍是______．【答案】【分析】當(dāng)P為橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，可得存在點(diǎn)M，N使得；當(dāng)P不為橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，將點(diǎn)M，N位置特殊化，從而得到直線PA，PB分別與圓O切于A，B點(diǎn)，因?yàn)椋?，并通過，，得到，從而計(jì)算出，的不等關(guān)系以及橢圓的離心率.【詳解】連接OP，當(dāng)P不為橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線PA，PB分別與圓O切于A，B點(diǎn)，設(shè)，因?yàn)榇嬖邳c(diǎn)M，N使得，所以，所以，所以，可得，而，即，可得，所以橢圓的離心率，當(dāng)點(diǎn)P位于橢圓的上下頂點(diǎn)，點(diǎn)M、N位于圓O與x軸的左右交點(diǎn)時(shí)，所以此時(shí)在圓O上存在點(diǎn)M，N使得．所以橢圓C的離心率的取值范圍是．故答案為：16．已知點(diǎn)為雙曲線在第一象限上一點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則雙曲線的離心率為___；若，分別交雙曲線于，兩點(diǎn)，記直線與的斜率分別為，，則___.【答案】

4

15【分析】設(shè)，由已知條件可得，從而可得點(diǎn)橫坐標(biāo)，由勾股定理可得，將代入雙曲線方程結(jié)合可得關(guān)于的齊次方程，即可求離心率；由題意知：，由可得，再計(jì)算即可求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，由可得，＝，即，把代入雙曲線方程，可得，即，又，代入上式可得，即，解得或所以雙曲線的離心率；設(shè)，則，因?yàn)椋?，，所以，把、的坐?biāo)分別代入雙曲線方程，可得兩式作差可得，即，∴故答案為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）在平行四邊形ABCD中，，，，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)．(1)求直線CD的方程；(2)求過點(diǎn)A且與直線DE垂直的直線．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再求出直線CD的方程作答.（2）求出點(diǎn)E坐標(biāo)及直線DE的斜率，再利用垂直關(guān)系求出直線方程作答.【詳解】（1）在平行四邊形ABCD中，，，，則，則點(diǎn)，直線CD的斜率，則有，即，所以直線CD的方程是.（2）依題意，點(diǎn)，則直線DE的斜率，因此過點(diǎn)A且與直線DE垂直的直線斜率為，方程為，即，所以所求方程是.18．（12分）已知空間向量.(1)若與互相垂直，求；(2)記，且，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合運(yùn)算求解；（2）根據(jù)理解可得，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，整理求解.【詳解】（1）由題意可得：，因?yàn)榕c互相垂直，所以，即，所以.（2），因?yàn)?，所以又因?yàn)?，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，即.19．（12分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比是.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，求的最大值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合列式求解；（2）由兩點(diǎn)間距離結(jié)合橢圓方程整理可得，再根據(jù)二次函數(shù)求最值.【詳解】（1）由題意得，解得，所以橢圓方程為.（2）設(shè)，則，即，因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，所以在為減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為的最大值為.20．（12分）如圖，已知正三棱柱中，所有棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn).(1)求與平面AEF所成角的正弦值；(2)過A、E、F三點(diǎn)作一個(gè)平面，則平面AEF與平面有且只有一條公共直線，在圖中作出這條公共直線，簡(jiǎn)略寫清作圖過程，并求這條公共直線在正三棱柱底面內(nèi)部的線段長(zhǎng)度.【答案】(1)；(2)作圖見解析，.【分析】（1）取AC中點(diǎn)O，連接OB，OF，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解作答.（2）延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，經(jīng)過點(diǎn)F，M畫直線FM，再借助余弦定理計(jì)算作答.【詳解】（1）正三棱柱中，取AC中點(diǎn)O，連接OB，OF，而F為的中點(diǎn)，則，

四邊形是平行四邊形，即，又平面，則有平面，即OA，OB，OF兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，射線OA，OB，OF分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，，，設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為，則，令，得，設(shè)與平面AEF所成角為，則，所以與平面AEF所成角的正弦值為.（2）如圖，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，經(jīng)過點(diǎn)F，M畫直線FM，則直線FM即為所作，因點(diǎn)直線，而平面，則點(diǎn)平面，同理點(diǎn)平面，而點(diǎn)平面，點(diǎn)平面，因此直線FM是平面AEF與平面的公共直線，令，因是中點(diǎn)，則且，即是的一條中位線，因此是中點(diǎn)，又是中點(diǎn)，則是的重心，，在中，，由余弦定理得：，所以這條公共直線在正三棱柱底面內(nèi)部的線段長(zhǎng)度為.21．（12分）已知過原點(diǎn)的兩條直線相互垂直，且的傾斜角小于的傾斜角．(1)若與關(guān)于直線對(duì)稱，求和的傾斜角(2)若都不過點(diǎn)，過分別作為垂足，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)．求的方程．【答案】(1)，的傾斜角分別為和(2)．【分析】(1)先求直線的傾斜角，結(jié)合圖形及傾斜角的定義求出，的傾斜角的傾斜角；(2)設(shè)，，根據(jù)基本不等式證明的面積最大時(shí)，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式求的斜率，由此可求其方程.【詳解】（1）直線的傾斜角為60°．∵，關(guān)于直線對(duì)稱，且，∴，與直線的夾角均為，∴，的傾斜角分別為和．（2）∵，，，∴四邊形為矩形．設(shè)，，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．若的斜率不存在，則的傾斜角為，由直線相互垂直可得的傾斜角為0，與已知矛盾，所以的斜率存在，設(shè)，則點(diǎn)到的距離為，令，得（負(fù)值舍去）．∴當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，的方程為．22．（12分）已知雙曲線C：與雙曲線W：的漸近線相同，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求C的方程；(2)已知C的上、下頂點(diǎn)分別為A