協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)課件

前面我們介紹了隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差，對于多維隨機變量，反映分量之間關(guān)系的數(shù)字特征中，最重要的，就是本講要討論的“協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)”.§4.4

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)下頁2.簡單性質(zhì)⑴Cov(X,Y)=

Cov(Y,X)⑵Cov(aX,bY)

=abCov(X,Y)a,b是常數(shù)⑶Cov(X1+X2,Y)=

Cov(X1,Y)

+Cov(X2,Y)Cov(X,Y)=E{[

X-E(X)][Y-E(Y)

]}一、協(xié)方差1.定義

任意兩個隨機變量X和Y的協(xié)方差,記為Cov(X,Y),

[Covariance]

定義為下頁Cov(X,Y)=E(XY)

-E(X)E(Y)可見，若X與Y獨立，Cov(X,Y)=0.3.計算協(xié)方差的一個簡單公式由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì)，可得Cov(X,Y)=E{[

X-E(X)][Y-E(Y)

]}=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)即下頁若X1,X2,…,Xn兩兩獨立,，上式化為4.隨機變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系D(X+Y)=

D(X)+D(Y)+

2Cov(X,Y)下頁二、相關(guān)系數(shù)定義:

設(shè)D(X)>0,

D(Y)>0,

稱為隨機變量X和Y的相關(guān)系數(shù).在不致引起混淆時，記

為

.下頁例1.求Cov(X,Y)

,ρXYE(X2)=9/2

, E(Y2)

=

9/2解：

E(X)=

2

,

E(Y)=

2；D(X)=1/2

,

D(Y)

=

1/2E(XY)

=Cov(X,Y)

=

23/6

–4=

-1/6;X

Y123101/61/121/421/61/61/61/231/121/601/4???1）相關(guān)系數(shù)的計算下頁例2.

設(shè)隨機變量X的方差D(

X

)≠０且Y=aX+b(a≠０),求X和Y的相關(guān)系數(shù)ρXY

.解：下頁2.

X和Y獨立時，

=0，但其逆不真.由于當X和Y獨立時，Cov(X,Y)=0.故=

0但由并不一定能推出X和Y獨立.請看下例.2）相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)及其與獨立性的關(guān)系下頁因而

=0，即X和Y不相關(guān).例3.

設(shè)X服從(-1/2,

1/2)內(nèi)的均勻分布,而Y=cos(X)，求X，Y的相關(guān)系數(shù)。解：不難求得Cov(X,Y)=0.但Y與X有嚴格的函數(shù)關(guān)系，即X和Y不獨立.相關(guān)系數(shù)刻劃了X和Y間“線性相關(guān)”的程度.下頁顯然，若X與Y獨立，則X與Y不相關(guān)，但由X與Y不相關(guān)，不一定能推出X與Y獨立.但對下述情形，獨立與不相關(guān)等價若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則X與Y獨立

X與Y不相關(guān)下頁例4．設(shè)（X，Y）服從二維正態(tài)分布，求X，Y的相關(guān)系數(shù)。解：X，Y的聯(lián)合密度f(x,y)及邊緣密度

fX(x),

fY(y)

如下：ρ=0，即從而說明二維正態(tài)分布隨機變量X、Y相互獨立X、Y相互獨立與不相關(guān)是等價的。下頁例5．(X,Y)的概率密度如下,試證X與Y既不相關(guān)也不相互獨立。證明：(1)因為同樣

E（Y）=0于是

ρXY=

0

，所以

X與Y不相關(guān)。(2)因fX(x)fY(y)≠f(x,y)，故X與Y不相互獨立。下頁§4.5矩和協(xié)方差矩陣設(shè)X是隨機變量，若k=1,2,…存在，稱它為X的k階原點矩.若

k=1,2,…

存在，稱它為X的k階中心矩.顯然，期望是X的一階原點矩，方差是X的二階中心矩.下頁稱它為X和Y的k+L階混合（原點）矩.若存在，設(shè)X和Y是隨機變量，若k,L=1,2,…存在，稱它為X和Y的k+L階混合中心矩.可見， 協(xié)方差Cov(X,Y)是X和Y的二階混合中心矩.下頁協(xié)方差矩陣的定義將二維隨機變量（X1,X2）的四個二階中心矩排成矩陣的形式:稱此矩陣為（X1,X2）的協(xié)方差矩陣.這是一個對稱矩陣下頁類似定義n維隨機變量(X1,X2,…,Xn)的協(xié)方差矩陣.為