選擇性必修二第五章《導數(shù)》習題課-導數(shù)的綜合應用課件

習題課 導數(shù)的綜合應用將日利潤y(元)表示成日產(chǎn)量x的函數(shù)；求該種飲品的最大日利潤.解

(1)由題意，知每生產(chǎn)1千瓶正品盈利4000元，每生產(chǎn)1千瓶次品虧損2000元，令f′(x)＝0，解得x＝30或x＝－30(舍去).當1≤x<30時，f′(x)>0；當30<x≤40時，f′(x)<0，所以函數(shù)f(x)在[1，30)上單調(diào)遞增，在(30，40]上單調(diào)遞減，所以當x＝30時，函數(shù)f(x)取得極大值，所以該種飲品的最大日利潤為72000元.規(guī)律方法利用導數(shù)解決實際應用問題的步驟函數(shù)建模：細致分析實際問題中各個量之間的關系，正確設定所求最大值或最小值的變量y與自變量x，把實際問題轉化為數(shù)學問題，即列出函數(shù)關系式y(tǒng)＝f(x).確定定義域：一定要從問題的實際意義去考慮，舍去沒有實際意義的自變量的范圍.求最值：盡量使用導數(shù)法求出函數(shù)的最值.下結論：根據(jù)問題的實際意義給出圓滿的答案.【訓練

1

】

如圖，要設計一面矩形廣告牌，該廣告牌含有大小相等的左右兩個矩形欄目

(

即圖中陰影部分

)

，這兩個欄目的面積之和為

18

000 cm2

，四周空白的寬度為10

cm，兩欄目之間的中縫空白的寬度為5

cm.

怎樣確定廣告牌的高與寬的尺寸(單位：cm)，能使矩形廣告牌的面積最??？其中x>20，y>25.令S′(x)>0，得x>140；令S′(x)<0，得20<x<140.∴函數(shù)S(x)在(140，＋∞)上單調(diào)遞增，在(20，140)上單調(diào)遞減，∴S(x)的最小值為S(140).當x

＝

140

時，y

＝

175

，故當廣告牌的高為140

cm

，寬為175

cm

時，可使廣告牌的面積最小，最小面積為24500cm2.題型二 與最值有關的恒成立問題【例2】 設函數(shù)f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0).(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)＜－2t＋m對t∈(0，2)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.解

(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)，∴當x＝－t時，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(不合題意，舍去).當t變化時g′(t)、g(t)的變化情況如下表：∴對t∈(0，2)，當t＝1時，g(t)max＝1－m，h(t)<－2t－m對t∈(0，2)恒成立，也就是g(t)<0對t∈(0，2)恒成立，只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1.故實數(shù)m的取值范圍是(1，＋∞).規(guī)律方法

(1)

“

恒成立

”

問題向最值問題轉化是一種常見的題型，一般地，可采用分離參數(shù)法進行轉化.λ≥f(x)恒成立?λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立?λ≤[f(x)]min.對于不能分離參數(shù)的恒成立問題，直接求含參函數(shù)的最值即可.(2)此類問題特別要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等號”的情況，以此來確定參數(shù)的范圍能否取得“＝”.【訓練2】 設函數(shù)f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，(1)若對任意的x∈[0，3]，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范圍；

(2)若對任意的x∈(0，3)，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范圍.解

(1)∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2).∴當x∈(0，1)時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增；當x∈(1，2)時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；

當x∈(2，3)時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增.∴當x＝1時，f(x)取極大值f(1)＝5＋8c.又f(3)＝9＋8c＞f(1)，∴x∈[0，3]時，f(x)的最大值為f(3)＝9＋8c.∵對任意的x∈[0，3]，有f(x)＜c2恒成立，∴9＋8c＜c2，即c＜－1或c＞9.∴c的取值范圍為(－∞，－1)∪(9，＋∞).(2)由(1)知f(x)＜f(3)＝9＋8c，∴9＋8c≤c2，即c≤－1或c≥9，∴c的取值范圍為(－∞，－1]∪[9，＋∞).①若a≤0，則f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；②若a>0，當x∈(0，a)時，f′(x)<0，f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，當x∈(a，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)在(a，＋∞)上單調(diào)遞增.綜上，當a≤0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間；當a>0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(a，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，a).令F(x)＝(x＋1)ln

x－2(x－1)，規(guī)律方法

(1)

證明

f

(

x

)>

g

(

x

)

的一般方法是證明

h

(

x

)

＝特殊情況是證明f(x)min>g(x)max(最值方法)，但后一種方法不具備普遍性.(2)證明二元不等式的基本思想是化為一元不等式，一種方法為變換不等式兩個變元成為一個整體，另一種方法為轉化后利用函數(shù)的單調(diào)性，如不等式f(x1)＋g(x1)<f(x2)＋g(x2)對x1<x2恒成立，即等價于函數(shù)h(x)＝f(x)＋g(x)為增函數(shù).(1)解 依題意，f(x)的定義域為(0，＋∞).∴當0<x<1時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增.當x>1時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減.(2)證明 由(1)知f(x)在x＝1處取得最大值，且最大值f(1)＝0.所以當x≠1時，ln

x<x－1.f′(x)及f(x)隨x的變化情況如下表：所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，e1－a)，單調(diào)遞減區(qū)間為(e1－a，＋∞).①當a＝1時，f(x)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1，e)上單調(diào)遞減.又f(1)＝0，故f(x)在區(qū)間(0，e]上只有一個零點.②當a<1時，1－a>0，e1－a>1，綜上，當a＝1時，f(x)在區(qū)間(0，e]上只有一個零點，當a<1時，f(x)在區(qū)間(0，e]上無零點.規(guī)律方法 利用導數(shù)研究函數(shù)的零點或方程根的方法是借助于導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值(最值)，通過極值或最值的正負、函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)圖象走勢，從而判斷零點個數(shù)或者通過零點的個數(shù)求參數(shù)范圍.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若方程f(x)＝k有3個不同的實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍.(2)由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2).令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.∴當x<－2或x>2時，f′(x)>0；當－2<x<2時，f′(x)<0.一、素養(yǎng)落地通過學習利用導數(shù)解決實際應用問題、培養(yǎng)學生數(shù)學建模素養(yǎng)，通過學習利用 導數(shù)解決不等式問題及函數(shù)零點問題，提升數(shù)學運算素養(yǎng).正確理解題意，建立數(shù)學模型，利用導數(shù)求解是解應用題的主要方法.另外需要特別注意：合理選擇變量，正確給出函數(shù)表達式；

(2)與實際問題相聯(lián)系；(3)必要時注意分類討論思想的應用.3.利用導數(shù)解決不等式問題與利用導數(shù)解決函數(shù)的零點問的一般方法都是轉化為函數(shù)的極值或最值問題.二、素養(yǎng)訓練1.

設底為等邊三角形的直三棱柱的體積為V

，那么其表面積最小時底面邊長為()答案

C已知f(x)是定義在(0，＋∞)上的非負可導函數(shù)，且滿足xf′(x)＋f(x)≤0，對任意 的正數(shù)a，b，若a<b，則必有(

)bf(b)≤af(a)

B.bf(a)≤af(b)C.af(a)≤bf(b)

D.af(b)≤bf(a)解析 設g(x)＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，則g′(x)＝xf′(x)＋f(x)≤0，∴g(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減或g(x)為常函數(shù).∵a<b，∴g(a)≥g(b)，即af(a)≥bf(b)，故選A.答案

AA.13萬件B.11萬件C.9萬件 D.7萬件解析 因為y′＝－x2＋81，所以當x＞9時，y′＜0；當x∈(0，9)時，y′＞0.又因為函數(shù)在(0，＋∞)上只有一個極大值點，所以函數(shù)在x＝9處取得最大值.答案

C4.直線y＝a與函數(shù)y＝x3－3x的圖象有三個相異的交點，則a的取值范圍是

.解析

f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.因為當x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)時，f′(x)>0，當x∈(－1，1)時，f′(x)<0，所以f(x)極小值＝f(1)＝－2，f(x)極大值＝f(－1)＝2.函數(shù)y＝x3－3x的大致圖象如圖所示，所以－2<a<2.答案

(－2，2)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間①；

(2)?x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立②，求a的取值范圍.聯(lián)想解題看到①想到解不等式f′(x)>0求f(x)的單調(diào)增區(qū)間，解不等式f′(x)<0求f(x)的單調(diào)減區(qū)間，但需注意討論不等式中參數(shù)a的符號；看到②想到通過分離參數(shù)a構造新函數(shù)，把不等式問題轉化為求函數(shù)的最值問題，