專(zhuān)題04等式的性質(zhì)與不等式的性質(zhì)（解析版）

專(zhuān)題04等式的性質(zhì)與不等式的性質(zhì)考點(diǎn)預(yù)測(cè)：1、比較原理；；.2、等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1如果，那么；性質(zhì)2如果，，那么；性質(zhì)3如果，那么；性質(zhì)4如果，那么；性質(zhì)5如果，，那么.3、不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1如果，那么；如果，那么.即性質(zhì)2如果，，那么.即，.性質(zhì)3如果，那么.由性質(zhì)3可得，.這表明，不等式中任何一項(xiàng)可以改變符號(hào)后移到不等號(hào)的另一邊.性質(zhì)4如果，，那么；如果，，那么.性質(zhì)5如果，，那么.性質(zhì)6如果，，那么.性質(zhì)7如果，那么（，）.【典型例題】例1．（2022·江蘇·南京市中華高一階段練習(xí)）已知，.(1)分別求a，c的取值范圍；(2)求的取值范圍.【解析】（1）設(shè)，，則，，，，由，則，，則的取值范圍是，的取值范圍是；（2），由，，則，，則.例2．（2022·江蘇·明達(dá)高一階段練習(xí)）設(shè)，，比較與的大小【解析】，又，，，，，，，，，，．例3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，求，的取值范圍．【解析】因?yàn)?，所以?/p>

又，所以，即．

因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?/p>

所以，即．

所以的取值范圍是，的取值范圍是．例4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）用一段長(zhǎng)為30m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng)為18m，靠墻的一邊長(zhǎng)為xm.（1）若要求菜園的面積不小于110m2，試用不等式組表示其中的不等關(guān)系;（2）若矩形的長(zhǎng)、寬都不能超過(guò)11m，試求x滿足的不等關(guān)系.【解析】（1）因?yàn)榫匦尾藞@靠墻的一邊長(zhǎng)為，而墻長(zhǎng)為，所以，這時(shí)菜園的另一邊長(zhǎng)為，，所以菜園的面積，依題意有，即，故該題中的不等關(guān)系可用不等式組表示為（2）因?yàn)榫匦蔚牧硪贿呴L(zhǎng)，所以，又，且，所以.【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2022·吉林·東北師大附中高一階段練習(xí)）某次全程為S的長(zhǎng)跑比賽中，選手甲總共用時(shí)為T(mén)，前一半時(shí)間以速度a勻速跑，后一半時(shí)間以速度b勻速跑；選手乙前半程以速度a勻速跑，后半程以速度b勻速跑；若，則（

）A．甲先到達(dá)終點(diǎn) B．乙先到達(dá)終點(diǎn)C．甲乙同時(shí)到達(dá)終點(diǎn) D．無(wú)法確定誰(shuí)先到達(dá)終點(diǎn)【答案】A【解析】由題意可知對(duì)于選手甲，，則設(shè)選手乙總共用時(shí)，則對(duì)于選手乙，，則即，即甲先到達(dá)終點(diǎn)故選:A.2．（2022·河南·鄭州市回民高級(jí)高一階段練習(xí)）已知，，，則P與Q的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．不確定【答案】A【解析】∵，∴∴又∵∴，即．故選：A．3．（2022·河南·高一階段練習(xí)）若，則下列各式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，又，則.故選：D.4．（2022·河南·高一階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．的大小無(wú)法確定【答案】C【解析】，故，所以.故選：C.5．（2022·河南省葉縣高級(jí)高一階段練習(xí)）若，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，故，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，無(wú)法判斷，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，故，即，故D錯(cuò)誤．故選：C．6．（2022·湖南·株洲市淥口區(qū)第三高一階段練習(xí)）設(shè)，，則與的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．無(wú)法確定【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，∴，故選：A7．（2022·上海市控江高一期中）已知為實(shí)數(shù)，若且，則下列結(jié)論中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當(dāng)為負(fù)數(shù)時(shí)，A選項(xiàng)顯然不成立；當(dāng)時(shí)，B選項(xiàng)顯然不成立；根據(jù)不等式的同向可加性可知C正確；當(dāng)為負(fù)數(shù)時(shí)，D選項(xiàng)顯然不成立；故選：C.8．（2022·江蘇省如皋高一階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，滿足，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，，則，所以．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，所?故選：B二、多選題9．（2022·廣東·東莞實(shí)驗(yàn)高一階段練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AC【解析】對(duì)于A，易知，則，即，故由得，即，故A正確；對(duì)于B，不妨令，易知，但，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，易知，故，即，故C正確；對(duì)于D，不妨令，易知，但，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，，則【答案】ABC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由，得，．所以，故正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由，得，故正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由，故正確；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)，，，時(shí)，滿足，，但，故錯(cuò)誤.故選：ABC11．（2022·湖北·沙市高一階段練習(xí)）已知均為實(shí)數(shù)，下列命題正確的是（

）A．已知，則存在負(fù)數(shù)使成立B．“”是“”的充分不必要條件C．若，，，則D．若正數(shù)滿足，則【答案】AC【解析】A：，而，若為負(fù)數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，此時(shí)成立，正確；B：當(dāng)時(shí)，的大小不確定，即“”不能推出“”，充分性不成立，錯(cuò)誤；C：，而，，，則，故，，故，即，正確；D：，故時(shí)，原不等式也成立，錯(cuò)誤.故選：AC12．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）下列說(shuō)法正確的有（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AB【解析】對(duì)于A：因?yàn)?，所以，利用同向不等式相加可以得到?故A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，利用同向不等式相乘可以得到：，所?故B正確；對(duì)于C：因?yàn)椋?因?yàn)?，所?故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：取特殊值滿足，但是，，所以.故D錯(cuò)誤.故選：AB三、填空題13．（2022·北京·101高一階段練習(xí)）“且”是“且”的______條件（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”）．【答案】充分不必要【解析】若且，則由不等式的同向可加性可得：，由不等式的同向正可乘性可得：，即“且”是“且”的充分條件，反之，“且”，則“且”不一定成立，如.所以，“且”是“且”的充分不必要條件.故答案為：充分不必要.14．（2022·上海市楊浦高級(jí)高一期中）已知，下列命題中正確的是______(將正確命題的序號(hào)填在橫線上)①若，則

②若，則;③若，則;

④若，則.【答案】②③【解析】①若，當(dāng)時(shí)，則，故①錯(cuò)誤；②若，不等式兩邊同時(shí)乘以，則，故②正確；③若，不等式兩邊同時(shí)乘以，則，故③正確；④若，當(dāng)時(shí)，則，故④錯(cuò)誤；故答案為：②③15．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，，滿足則的取值范圍是________．（用區(qū)間表示）【答案】【解析】,則解得，則，又，∴，即，故答案為：．16．（2022·全國(guó)·高一）已知，，且，記，，，則按從小到大的順序排列是________.【答案】B＜C＜A【解析】方法一：，不妨令，，，，故答案為：B＜C＜A.方法二：∵，，∴由排序原理可知：，∵，，∴A＞C＞B﹒故答案為：B＜C＜A.四、解答題17．（2022·河南省葉縣高級(jí)高一階段練習(xí)）已知三個(gè)不等式：①；②；③（其中m，n，x，y均為實(shí)數(shù)），命題p：__________，____________________（橫線上填①，②，③）．請(qǐng)寫(xiě)出2種可能的命題，并判斷其真假．【解析】命題1：①，②③．若①，②成立，即，，不等式兩邊同除以可得，即命題1為真命題．命題2：①，③②．若①，③成立，即，，不等式兩邊同乘，可得，即命題2為真命題．命題3：②，③①．若③，②成立，即，，則．又，則，即命題3為真命題．（以上三個(gè)命題中可以任意選擇兩個(gè)命題）18．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，證明：.【解析】證明：，，，，

，，.19．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)實(shí)數(shù)，滿足，，求的最大值．【解析】令，則，所以，解得，所以，由題意得，所以，所以.故的最大值為.故答案為：20．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）建筑學(xué)規(guī)定，民用住宅的窗戶(hù)面積必須小于地板面積.但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶(hù)面積與地板面積的比值不小于10%，并且這個(gè)比值越大，住宅的采光條件越好.現(xiàn)欲在原設(shè)計(jì)方案的基礎(chǔ)上，同時(shí)增加住宅的窗戶(hù)面積和地板面積.（1）若增加的窗戶(hù)面積和地板面積相同，則住宅的采光條件是變好了還是變差了？（2）無(wú)論原設(shè)計(jì)方案中窗戶(hù)面積和地板面積是多大，增加的窗戶(hù)面積和地板面積的比值為多少時(shí)，住宅的采光條件必定會(huì)變差？【解析】設(shè)窗戶(hù)面積為，地板面積為，由題意知，.（1）設(shè)增加的窗戶(hù)面積和地板面積均為，則，因?yàn)?，所以，故，因此，住宅的采光條件變好了.（2）設(shè)增加的窗戶(hù)面積和地板面積分別為和，則，要使住宅的采光條件必定會(huì)變差，需滿足恒成立，即，亦即恒成立.因?yàn)?，所以，即增加的窗?hù)面積和地板面積的比值小于0.1時(shí)，住宅的采光條件必定會(huì)變差.21．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（1）已知，求證：；（2）已知，且，比較與的大?。窘馕觥浚?)，因