圖論在統(tǒng)計中的應(yīng)用

圖論在統(tǒng)計中的應(yīng)用①圖論算法研究圖論算法在計算機科學中扮演著很重要的角色，它提供了對很多問題都有效的一種簡單而系統(tǒng)的建模方式。很多問題都可以轉(zhuǎn)化為圖論問題，然后用圖論的基本算法加以解決。本方向研究內(nèi)容涉及圖的最優(yōu)劃分問題，圖的遍歷與活動網(wǎng)絡(luò)問題，譜聚類算法等。②結(jié)構(gòu)圖論研究研究給定條件的圖結(jié)構(gòu)，比如，匹配覆蓋圖、有Pfaffian定向的圖結(jié)構(gòu)。應(yīng)用結(jié)構(gòu)圖論、組合計數(shù)、矩陣代數(shù)來研究化學分子的各種結(jié)構(gòu)性質(zhì)和化學物理性質(zhì)。本方向研究內(nèi)容還涉及分子圖的極圖結(jié)構(gòu)、穩(wěn)定性估計、熱力學性質(zhì)等各種拓撲指標、完美匹配計數(shù)問題等。概述圖可用于在物理、生物、社會和信息系統(tǒng)中建模許多類型的關(guān)系和過程，許多實際問題可以用圖來表示。因此，圖論成為運籌學、控制論、信息論、網(wǎng)絡(luò)理論、博弈論、物理學、化學、生物學、社會科學、語言學、計算機科學等眾多學科強有力的數(shù)學工具。在強調(diào)其應(yīng)用于現(xiàn)實世界的系統(tǒng)時，網(wǎng)絡(luò)有時被定義為一個圖，其中屬性(例如名稱)之間的關(guān)系以節(jié)點和或邊的形式關(guān)聯(lián)起來。對現(xiàn)實生活中的場景抽象建模，再結(jié)合圖論相關(guān)算法與知識解決實際問題分述計算機科學圖被用來表示通信網(wǎng)絡(luò)、數(shù)據(jù)組織、計算設(shè)備、程序執(zhí)行流程、芯片設(shè)計等網(wǎng)站的鏈接結(jié)構(gòu)可以用一個有向圖表示，其中頂點表示網(wǎng)頁，有向邊表示從一個頁面到另一個頁面的鏈接語言學各種形式的圖論方法已證明在語言學中特別有用，因為自然語言常常適合于離散結(jié)構(gòu)。傳統(tǒng)上，語法和組合語義遵循基于樹的結(jié)構(gòu)，其表達能力取決于組合原則，在層次圖中建模。更現(xiàn)代的方法，如頭驅(qū)短語結(jié)構(gòu)語法，使用類型化特征結(jié)構(gòu)對自然語言的語法建模，這些特征結(jié)構(gòu)是有向無環(huán)圖。在詞匯語義學中，特別是在計算機上，當一個給定的單詞被相關(guān)的單詞理解時，建模單詞的意義就更加容易了。因此，語義網(wǎng)絡(luò)在計算語言學中非常重要。音系學中的其他方法(例如，使用格點圖的最優(yōu)性理論)和形態(tài)學(例如，使用有限狀態(tài)形態(tài)學，使用有限狀態(tài)傳感器)在語言作為圖的分析中也很常見。如TextGraphs、WordNet與VerbNet等物理與化學圖論也被用來研究化學和物理中的分子。在凝聚態(tài)物理中，通過收集與原子拓撲有關(guān)的圖論性質(zhì)的統(tǒng)計量，可以定量地研究復(fù)雜的模擬原子結(jié)構(gòu)的三維結(jié)構(gòu)。此外，“費曼圖和計算規(guī)則將量子場論總結(jié)成一種與人們想要理解的實驗數(shù)字密切相關(guān)的形式?！痹诨瘜W中，圖是分子的自然模型，頂點表示原子，邊表示鍵。這種方法特別用于分子結(jié)構(gòu)的計算機處理，從化學編輯器到數(shù)據(jù)庫搜索。在統(tǒng)計物理學中，圖可以表示系統(tǒng)相互作用部分之間的局部連接，以及系統(tǒng)上物理過程的動態(tài)。類似地，在計算神經(jīng)科學中，圖可以用來表示大腦區(qū)域之間的功能連接，這些區(qū)域相互作用產(chǎn)生各種認知過程，其中頂點代表大腦的不同區(qū)域，而邊緣代表這些區(qū)域之間的連接。圖論在電氣網(wǎng)絡(luò)的電氣建模中起著重要的作用，在這里，權(quán)值與線段的電阻有關(guān)，從而獲得網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的電氣特性。用圖表示多孔介質(zhì)的微尺度通道，其中頂點表示孔隙，邊表示連接孔隙的較小通道?；瘜W圖論利用分子圖作為分子模型的一種方法。社會科學類似莫雷諾社會圖的使用使得圖論也被廣泛地應(yīng)用于社會學中，作為一種衡量演員聲望或探索謠言傳播的方法，特別是通過使用社會網(wǎng)絡(luò)分析軟件。在社交網(wǎng)絡(luò)的保護傘下，有許多不同類型的圖。熟人圖和友誼圖描述了人們是否互相認識。影響圖是一種模型，用來描述某個人是否能夠影響其他人的行為。最后，協(xié)作圖建模兩個人是否以特定的方式一起工作，例如一起在電影中表演。生物學圖論在生物學和保護工作中也很有用，其中一個頂點可以表示某些物種存在(或棲息)的區(qū)域，而邊緣則表示這些區(qū)域之間的遷移路徑或移動。當觀察繁殖模式或跟蹤疾病、寄生蟲的傳播或運動的變化如何影響其他物種時，這些信息非常重要。圖論也被用于連接學;神經(jīng)系統(tǒng)可以被看作是一個圖，其中節(jié)點是神經(jīng)元，邊緣是它們之間的連接。圖論可用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模與腦區(qū)活動數(shù)學在數(shù)學中，圖形在幾何學和拓撲的某些部分如結(jié)理論中是有用的。代數(shù)圖論與群論有著密切的聯(lián)系。代數(shù)圖論已經(jīng)應(yīng)用于包括動態(tài)系統(tǒng)和復(fù)雜性在內(nèi)的許多領(lǐng)域。金融金融系統(tǒng)可被視為一組相互關(guān)聯(lián)的經(jīng)濟主體，如零售、投資銀行、保險公司、投資基金、中央銀行、監(jiān)管機構(gòu)、金融科技公司、非金融公司和家庭等。這些經(jīng)濟主體之間的關(guān)系通常通過合同正式確定，如貸款（兩家銀行之間，或銀行借貸給公司，或銀行借貸給家庭）、互惠所有權(quán)或保險單。但這種關(guān)系也可以是隱性的，比如不同主體對同一種資產(chǎn)的投資就構(gòu)成了一種間接關(guān)系。因此，將金融系統(tǒng)表示為一個網(wǎng)絡(luò)是很自然的，在這個網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點代表經(jīng)濟主體，連邊代表它們之間的關(guān)系。在一對主體之間，通常有幾種隨時間變化的關(guān)系。因此，金融系統(tǒng)最真實的表現(xiàn)形式是時序多層網(wǎng)絡(luò)（temporalmultiplexnetwork）。然而，在許多情況下，人們關(guān)注的是單個過程，其時間尺度比這些關(guān)系變化的時間尺度短得多。這種簡化使得將金融系統(tǒng)表示為單層靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)成為可能。將金融系統(tǒng)表示為一個網(wǎng)絡(luò)，可以對主體之間的沖擊傳播進行顯式建模。金融系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)建模對于捕捉金融機構(gòu)之間的復(fù)雜關(guān)系至關(guān)重要。金融網(wǎng)絡(luò)展示了金融系統(tǒng)中有大量重要現(xiàn)象可以從金融行為者之間的相互作用來理解。例如，如果某項資產(chǎn)的價格暴跌，不僅會影響那些投資于該資產(chǎn)的投資者，還會影響那些投資于這些投資者債務(wù)的債權(quán)人。由于存在錯綜復(fù)雜的契約鏈和反饋機制，由此產(chǎn)生的影響可能比最初的沖擊大得多。與復(fù)雜系統(tǒng)的其他領(lǐng)域一樣，系統(tǒng)層面不穩(wěn)定性的出現(xiàn)能從網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)（例如：封閉鏈）及其連邊和節(jié)點的關(guān)鍵屬性（例如：與風險傳播和財務(wù)杠桿有關(guān)的屬性）的相互作用中理解。盡管我們都知道豐富的數(shù)據(jù)集對許多領(lǐng)域復(fù)雜系統(tǒng)的研究有巨大幫助，但由于保密問題，金融網(wǎng)絡(luò)上的分類數(shù)據(jù)往往無法獲得。學者們嘗試從部分信息中估計金融網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)來解決這個問題，并通過網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的變化來識別不穩(wěn)定的預(yù)警信號。在金融交易的過程中構(gòu)成交易圖譜，使得圖論的相關(guān)算法具有與金融網(wǎng)絡(luò)十分相符，隨著區(qū)塊鏈的普及，在區(qū)塊鏈結(jié)構(gòu)上的交易日益增多，更使得隱私訴求顯得更加重要。規(guī)劃政府或公司可以用圖論進行道路交通規(guī)劃或者路徑優(yōu)化，加權(quán)的邊可以表示限速或者車道的數(shù)量。建模人員可以用這個系統(tǒng)來判斷最佳路線及最有可能堵車的街道。航空公司可以用圖來為其飛行系統(tǒng)建模。將每個機場看成頂點，將經(jīng)過兩個頂點的每條航線看作一條邊。加權(quán)的邊可以看作從一個機場到另一個機場的航班成本，或兩個機場之間的距離。其他在調(diào)研