二項式系數(shù)的性質(zhì)（同步課件）-2023-2024學年高二數(shù)學同步精品課堂（北師大版2019選擇性必修第一冊）

5.4.2二項式系數(shù)的性質(zhì)1.二項式定理的內(nèi)容:(a+b)n=Cnan+Cnan-1b+…+Cnan-kbk+…+Cnbn01kn2.二項式系數(shù):3.二項展開式的通項Tk+1=針對(a+b)n的標準形式而言(b+a)n，(a-b)n的通項則分別為:溫故知新《詳解九章算法》中記載的表楊輝三角1．“楊輝三角”的來歷及規(guī)律

楊輝三角展開式中的二項式系數(shù)，如下表所示：

11

121

1331

1464115101051

1615201561

………………①每行兩端都是1②從第二行起，每行除1以外的每一個數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)的和(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+++++++++++++++(1)遞推性:

除1以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和.二項式系數(shù)的性質(zhì)定義域{0,1,2,…,n}

61420O63r

f(r)令當n=6時,其圖象是7個孤立點（2）對稱性

與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等．這一性質(zhì)可直接由公式得到．圖象的對稱軸：1、在(a＋b)20展開式中，與第五項的系數(shù)相同的項是().A第15項B第16項C第17項D第18項C2、在(1＋x)10展開式中，與第五項的系數(shù)相同的項是_______.3、(a+b)n展開式中第四項與第六項的系數(shù)相等，則n為______.第七項8深化新知（3）增減性與最大值

因此，當n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)

取得最大值；

當n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)、相等，且同時取得最大值。思考：為什么二項式的系數(shù)具有“先增后降”的增減性？增減性的實質(zhì)是比較的大小.所以相對于的增減情況由決定．

可知，當時，二項式系數(shù)是逐漸增大的，由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項取得最大值。

思考：為什么二項式的系數(shù)具有“先增后降”的增減性？1.在()8展開式中，二項式系數(shù)最大項_.2.在()15展開式中，二項式系數(shù)最大的項_____深化新知3.展開式中，只有第6項系數(shù)最大，求展開式中的常數(shù)項思考并回答11121133114641151010511615201561172135352171二項式系數(shù)和2.求證：例1、求證：證明：由令a=1，b=1，則即證：證明：在展開式中令a=1，b=－1得

小結(jié)：賦值法在二項式定理中，常對a,b賦予一些特定的值1，-1等來整體得到所求。

例2

證明在的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和．二項式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)4:(a+b)n的展開式的所有二項式系數(shù)的和等于2n.性質(zhì)5：在(a+b)n展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和.即：例3、若的展開式中，所有奇數(shù)項的系數(shù)之和為1024，求它的中間項.解：∵展開式中各項的二項式系數(shù)與該項的的系數(shù)相等∴由已知可得：2n-1=1024解得n=11，∴有兩個中間項分別為T6=462x-4，T7=462x一般地，

展開式的二項式系數(shù)

有如下基本性質(zhì)：

（2）（4）（3）當n為偶數(shù)時，最大

當n為奇數(shù)時，=且最大

（1）（對稱性）（5）

√鞏固提升×××2．(1－2x)15的展開式中的各項系數(shù)和是(

)A．1B．－1C．215D．315解析：令x＝1得各項系數(shù)和為－1.答案：B3．若(1＋3x)n的展開式中，第3項的二項式系數(shù)為6，則第4項的系數(shù)為(

)A．4B．27C．36D．108

答案：D4．(2x－1)6展開式中各項系數(shù)的和為

；各項的二項式系數(shù)和為________．解析：令展開式左、右兩邊x＝1，得各項系數(shù)和為1；各二項式系數(shù)之和為26＝64.答案：1

64賦值法的應用—解決二項式系數(shù)問題.賦值法例4.例4小結(jié)：求奇次項系數(shù)之和與偶次項系數(shù)的和可以先賦值，然后解方程組整體求解變式AC令x=116例6.在(3x-2y)20的展開式中，求：(1)系數(shù)絕對值最大的項;(2)系數(shù)最大的項;解:(1)設系數(shù)絕對值最大的項是第r+1項.則

即3(r+1)>2(20-r)得

2(21-r)>3r所以當r=8時，系數(shù)絕對值最大的項為（2）因為系數(shù)為正的項為奇數(shù)項，故可設第2r-1項系數(shù)最大。（以下同2）

r=5.例3.在(3x-2y)20的展開式中，求：(1)系數(shù)絕對值最大的項;(2)系數(shù)最大的項;1、在(a＋b)20展開式中，與第五項二項式系數(shù)相同的項是().C課堂練習:A.第6項B.第7項

C.第6項和第7項D.第5項和第7項CA.第15項B.第16項C.第17項D.第18項2、在(a＋b)11展開式中，二項式系數(shù)最大的項().4，化簡+++

+=3，已知展開式中只有第10項二項式系數(shù)最大，則n=______。185.(1﹣x)13

的展開式中系數(shù)最小的項是（）(A)第六項(B)第七項（C）第八項(D)第九項6.一串裝飾彩燈由燈泡串聯(lián)而成，每串有20個燈泡，只要有一個燈泡壞了，整串燈泡就不亮，則因燈泡損壞致使一串彩燈不亮的可能性的種數(shù)為（）(A)20(B)219

（C）220