四川省遂寧市射洪中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二上期末檢測(cè)模擬試題含解析

四川省遂寧市射洪中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二上期末檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列是等比數(shù)列，，數(shù)列是等差數(shù)列，，則的值是()A. B.C. D.2．若數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，若，且，則等于（）A. B.C. D.3．雙曲線的漸近線方程是（）A. B.C. D.4．已知直線，若直線與垂直，則的傾斜角為（）A. B.C. D.5．如圖，在空間四邊形中，（）A. B.C. D.6．阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年），出生于古希臘西西里島敘拉古（今意大利西西里島上），偉大的古希臘數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，與高斯、牛頓并稱為世界三大數(shù)學(xué)家．有一類三角形叫做阿基米德三角形（過拋物線的弦與過弦端點(diǎn)的兩切線所圍成的三角形），他利用“通近法”得到拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的（即右圖中陰影部分面積等于面積的）．若拋物線方程為，且直線與拋物線圍成封閉圖形的面積為6，則（）A.1 B.2C. D.37．若函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中不正確的為（）A. B.C. D.8．點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線上，則的最小值是（）A. B.C. D.9．曲線與曲線的A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等 B.短軸長(zhǎng)相等C.離心率相等 D.焦距相等10．若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（）A. B.C. D.11．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則（）A.12 B.14C.16 D.1812．焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A.y2=-4x B.y2=4xC.x2=-4y D.x2=4y二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)有零點(diǎn)，則的取值范圍是___________.14．下列說法中，正確的有_________（填序號(hào)）.①“”是“方程表示橢圓”的必要而不充分條件；②若：，則：；③“，”的否定是“，”；④若命題“”為假命題，則命題一定是假命題；⑤是直線：和直線：垂直的充要條件.15．已知，命題p：，；命題q：，，且為真命題，則a的取值范圍為______16．點(diǎn)到直線的距離為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓F：經(jīng)過點(diǎn)且離心率為，直線和是分別過橢圓F的左、右焦點(diǎn)的兩條動(dòng)直線，它們與橢圓分別相交于點(diǎn)A、B和C、D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB和直線CD相交于M．記直線的斜率分別為，且（1）求橢圓F標(biāo)準(zhǔn)方程（2）是否存在定點(diǎn)P，Q，使得為定值．若存在，請(qǐng)求出P、Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由18．（12分）某種機(jī)械設(shè)備隨著使用年限的增加，它的使用功能逐漸減退，使用價(jià)值逐年減少，通常把它使用價(jià)值逐年減少的“量”換算成費(fèi)用，稱之為“失效費(fèi)”．某種機(jī)械設(shè)備的使用年限（單位：年）與失效費(fèi)（單位：萬元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：使用年限（單位：年）1234567失效費(fèi)（單位：萬元）2.903.303.604.404.805.205.90（1）由上表數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明；（精確到0.01）（2）求出關(guān)于的線性回歸方程，并估算該種機(jī)械設(shè)備使用8年的失效費(fèi)參考公式：相關(guān)系數(shù)線性回歸方程中斜率和截距最小二乘估計(jì)計(jì)算公式：，參考數(shù)據(jù)：，，19．（12分）某工廠為了解甲、乙兩條生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量，分別從甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取了1000件產(chǎn)品，并對(duì)所抽取產(chǎn)品的某一質(zhì)量指數(shù)進(jìn)行檢測(cè)，根據(jù)檢測(cè)結(jié)果按分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，若該工廠認(rèn)定產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)不低于6為優(yōu)良級(jí)產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)在內(nèi)時(shí)為優(yōu)等品.（1）用統(tǒng)計(jì)有關(guān)知識(shí)判斷甲、乙兩條生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量哪一條更好，并說明理由（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）用分層抽樣的方法從該工廠樣品的優(yōu)等品中抽取6件產(chǎn)品，在這6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件，求抽取到的2件產(chǎn)品都是甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的概率.20．（12分）如圖，在三棱柱中，＝2，且，⊥底面ABC．E為AB中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求平面與平面CEB夾角的余弦值21．（12分）求適合下列條件的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）中心在原點(diǎn)，實(shí)軸在軸上，一個(gè)焦點(diǎn)在直線上的等軸雙曲線；（2）橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率等于，且它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)；（3）經(jīng)過點(diǎn)拋物線22．（10分）已知圓C的圓心為，且圓C經(jīng)過點(diǎn)（1）求圓C的一般方程；（2）若圓與圓C恰有兩條公切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)即可求解.【詳解】為等比數(shù)列，，，，；為等差數(shù)列，，，，，∴.故選：B.2、B【解析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式求出的首項(xiàng)和公差，即可求出.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則解得：，所以.故選：B.3、A【解析】先將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，再根據(jù)雙曲線漸近線方程求解即可.【詳解】解：將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，所以，所以其漸近線方程為：，即.故選：A.4、D【解析】由直線與垂直得到的斜率，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系即可得到答案.【詳解】因?yàn)橹本€與垂直，且，所以，解得，設(shè)的傾斜角為，，所以.故選：D5、A【解析】利用空間向量加減法法則直接運(yùn)算即可.【詳解】根據(jù)向量的加法、減法法則得.故選：A.6、D【解析】根據(jù)題目所給條件可得阿基米德三角形的面積，再利用三角形面積公式即可求解.【詳解】由題意可知，當(dāng)過焦點(diǎn)的弦垂直于x軸時(shí)，即時(shí)，，即，故選：D7、C【解析】求導(dǎo)，根據(jù)題意可得，從而可得出答案.【詳解】解：，因?yàn)楹瘮?shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以，即.所以ABD正確，C錯(cuò)誤.故選：C.8、B【解析】根據(jù)題意可知圓心，又由于線外一點(diǎn)到已知直線的垂線段最短，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，圓心，所以圓心到的距離為，所以的最小值為.故選：B.9、D【解析】分別求出兩橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率、焦距，即可判斷【詳解】解：曲線表示焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)10，短軸長(zhǎng)為6，離心率為，焦距為8曲線表示焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，離心率為，焦距為8對(duì)照選項(xiàng)，則正確故選：【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題10、A【解析】?jī)芍本€垂直，斜率之積為，曲線與直線相切，聯(lián)立方程令.【詳解】法一：直線，所以，所以切線的，設(shè)切線的方程為，聯(lián)立方程，所以，令，解得，所以切線方程為.法二：直線，所以，所以切線的，，所以令，所以，帶入曲線方程得切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以切線方程為，化簡(jiǎn)得.故選：A.11、D【解析】利用給定的通項(xiàng)公式直接計(jì)算即得.【詳解】因數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則有，所以.故選：D12、B【解析】由題意設(shè)拋物線方程為y2=2px（p＞0），結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)求得p，則答案可求【詳解】由題意可設(shè)拋物線方程為y2=2px（p＞0），由焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），得，即p=2∴拋物的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=4x故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記拋物線的幾何性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的最小值，要使函數(shù)有零點(diǎn)，只要，求得函數(shù)的最小值，即可得解.【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以，因?yàn)楹瘮?shù)有零點(diǎn)，所以，解得.故答案為：.14、①【解析】根據(jù)橢圓方程的結(jié)構(gòu)特征可判斷①；注意到分式不等式分母不等于0可判斷②；由全稱命題的否定可判斷③；根據(jù)復(fù)合命題的真假可判斷④；由直線垂直的充要條件可判斷⑤.【詳解】①中，當(dāng)時(shí)，方程為，表示圓，若方程表示橢圓，則，解得或，故①正確；②中，，故為：，而，故②不正確；③中，“，”的否定應(yīng)為“，”，故③不正確；④中，若命題“”為假命題，有可能為真或?yàn)榧?，故④不正確；⑤中，，解得或，故是直線：和直線：垂直的充分不必要條件，故⑤不正確.故答案為：①15、【解析】先求出命題p,q為真命題時(shí)的a的取值范圍，根據(jù)為真可知p,q都是真命題,即可求得答案.【詳解】命題p：，為真時(shí)，有，命題q：，為真時(shí)，則有，即，故為真命題時(shí)，且，即，故a的取值范圍為，故答案為：16、【解析】利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出【詳解】利用點(diǎn)到直線的距離可得：故答案為:三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）存在點(diǎn)，使得為定值.【解析】（1）設(shè)，，，結(jié)合條件即求；（2）由題可設(shè)直線方程，利用韋達(dá)定理法可得，再結(jié)合條件可得點(diǎn)的軌跡方程為，然后利用橢圓的定義即得結(jié)論.【小問1詳解】設(shè)，，，橢圓方程為：，橢圓過點(diǎn)，，解得t=1，所以橢圓F的方程是【小問2詳解】由題可得焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，當(dāng)直線AB或CD的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或，當(dāng)直線AB和CD的斜率都存在時(shí)，設(shè)斜率分別為，點(diǎn)，直線AB為，聯(lián)立，得則，，同理可得，，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得由題意，知，所以設(shè)點(diǎn)，則，所以，化簡(jiǎn)得，當(dāng)直線或的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或，也滿足此方程所以點(diǎn)在橢圓上，根據(jù)橢圓定義可知，存在定點(diǎn)，使得為定值【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用韋達(dá)定理法及題設(shè)條件求出點(diǎn)M的軌跡方程，再結(jié)合橢圓的定義，從而問題得到解決.18、（1）答案見解析；（2）；失效費(fèi)為6.3萬元【解析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式計(jì)算出相關(guān)系數(shù)可得結(jié)果；（2）根據(jù)公式求出和可得關(guān)于的線性回歸方程，再代入可求出結(jié)果.【詳解】（1）由題意，知，，∴結(jié)合參考數(shù)據(jù)知：因?yàn)榕c的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，所以與的線性相關(guān)程度相當(dāng)大，從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系（2）∵，∴∴關(guān)于的線性回歸方程為，將代入線性回歸方程得萬元，∴估算該種機(jī)械設(shè)備使用8年的失效費(fèi)為6.3萬元19、（1）甲更好，詳細(xì)見解析（2）【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算甲、乙兩條生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)，比較大小即可得答案；（2）由題意可知，甲、乙生產(chǎn)線的樣品中優(yōu)等品件數(shù)，利用分層抽樣可得從甲生產(chǎn)線的樣品中抽取的優(yōu)等品有件件，記為，從乙生產(chǎn)線的樣品中抽取的優(yōu)等品有件，記為；列出抽取到的2件產(chǎn)品的所有基本事件，根據(jù)古典概型計(jì)算即可.【小問1詳解】解：甲生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)為：＝3×0.05×2+5×0.15×2+7×0.2×2+9×0.1×2＝6.4；乙生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)為：＝3×0.15×2+5×0.1×2+7×0.2×2+9×0.05×2＝5.6因?yàn)?，所以甲生產(chǎn)線生產(chǎn)產(chǎn)品質(zhì)量的平均水平高于乙生產(chǎn)線生產(chǎn)產(chǎn)品質(zhì)量的平均水平，故甲生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量更好.【小問2詳解】由題意可知，甲生產(chǎn)線的樣品中優(yōu)等品有件，乙生產(chǎn)線的樣品中優(yōu)等品有件，從甲生產(chǎn)線的樣品中抽取的優(yōu)等品有件件，記為，從乙生產(chǎn)線的樣品中抽取的優(yōu)等品有件，記為；從這6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件的情況有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，E），（a，F(xiàn)），（b，c），（b，d），（b，E），（b，F(xiàn)），（c，d），（c，E），（c，F(xiàn)），（d，E），（d，F(xiàn)），（E，F(xiàn)），共15種；其中符合條件的情況有：（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共6種.故抽取到的2件產(chǎn)品都是甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的概率為：20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）連接與交于點(diǎn)O，連接OE，得到，再利用線面平行的判定定理證明即可；（2）根據(jù)，底面，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量，再根據(jù)底面，得到平面一個(gè)法向量，然后由夾角公式求解.【小問1詳解】如圖所示：連接與交于點(diǎn)O，連接OE，如圖，由分別為的中點(diǎn)所以，又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】由，底面，故底面建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為：，則，即，令，則，則，因?yàn)榈酌?，所以為平面一個(gè)法向量，所以所以平面與平面CEB夾角的余弦值為.21、（1）（2）（3）或【解析】（1）由已知求得，再由等軸雙曲線的性質(zhì)可求得則，由此可求得雙曲線的方程；（2）由已知求得拋物線的焦點(diǎn)為，得出橢圓的，再根據(jù)橢圓的離心率求得，由此可得出橢圓的方程；（3）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：或，代入點(diǎn)求解即可.【小問1詳解】解：對(duì)于直線，令，得，所以，則，所以，所以中心在原點(diǎn)，實(shí)軸在軸上，一個(gè)焦點(diǎn)在直線上的等軸雙曲線的方程為；【小問2詳