八年級(jí)初二數(shù)學(xué)-勾股定理測(cè)試試題含答案

八年級(jí)初二數(shù)學(xué)勾股定理測(cè)試試題含答案一、選擇題1．如圖，已知中，，，在BC邊上取一點(diǎn)P（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），使得成為等腰三角形，則這樣的點(diǎn)P共有（）．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．如圖，中，有一點(diǎn)在上移動(dòng)．若，則的最小值為()A．8 B．8.8 C．9.8 D．103．如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻壁，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為米，頂端距離地面米．若梯子底端位置保持不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面米，則小巷的寬度為（）A． B． C． D．4．如圖，已知，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若周長(zhǎng)的最小值是6，則的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．15．如果正整數(shù)a、b、c滿足等式，那么正整數(shù)a、b、c叫做勾股數(shù).某同學(xué)將自己探究勾股數(shù)的過程列成下表，觀察表中每列數(shù)的規(guī)律，可知的值為（）A．47 B．62 C．79 D．986．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b，若，大正方形的面積為13，則小正方形的面積為（）A．3 B．4 C．5 D．67．下列長(zhǎng)度的三條線段能組成直角三角形的是（）A．9，7，12 B．2，3，4 C．1，2， D．5，11，128．如圖，直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為3和4，以直角三角形的兩直邊為直徑作半圓，則陰影部分的面積是（

）A．6 B． C．2π D．129．已知一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別是5和13，要使這個(gè)三角形是直角三角形，則這個(gè)三角形的第三條邊可以是（）A．6 B．8 C．10 D．1210．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的三角形，如圖所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，設(shè)正方形ADOF的邊長(zhǎng)為，則（）A．12 B．16 C．20 D．24二、填空題11．將一副三角板按如圖所示擺放成四邊形ABCD，發(fā)現(xiàn)只要知道其中一邊的長(zhǎng)就可以求出其它各邊的長(zhǎng)，若已知AD＝，則AB的長(zhǎng)為__________．12．如圖，在中，，，，以為邊向外作等腰直角三角形，則的長(zhǎng)可以是__________．13．如圖，，，，，將邊沿翻折，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處；再將邊沿翻折，使點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)處，兩條折痕與斜邊分別交于點(diǎn)、，則的面積為______．14．如圖，等腰梯形中，，，平分，，則等于_________.15．在中，，以為斜邊作等腰直角，連接，若，，則的長(zhǎng)為______．16．如圖是“趙爽弦圖”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四個(gè)全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝13，EF＝7，那么AH等于_____．17．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分線交BC于F，交AC于E，交BA的延長(zhǎng)線于G，若EG＝3，則BF的長(zhǎng)是______．18．已知、、是△ABC三邊的長(zhǎng)，且滿足關(guān)系式，則△ABC的形狀為___________19．如圖，在矩形ABCD中，AD＞AB，將矩形ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為MN，連接CN．若△CDN的面積與△CMN的面積比為1：3，則的值為______________．20．如圖所示，四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，把△ACD沿AC折疊到△ACD′，AD′與BC交于點(diǎn)E，若AD＝4，DC＝3，求BE的長(zhǎng)．三、解答題21．如圖，△ABC和都是等邊三角形，求:（1）AE長(zhǎng)；（2）∠BDC的度數(shù)：（3）AC的長(zhǎng)．22．如圖，一架長(zhǎng)25米的梯子，斜靠在豎直的墻上，這時(shí)梯子底端離墻7米．（1）此時(shí)梯子頂端離地面多少米？（2）若梯子頂端下滑4米，那么梯子底端將向左滑動(dòng)多少米？23．如圖，是等邊三角形，為上兩點(diǎn)，且，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接．（1）如圖1，當(dāng)兩點(diǎn)重合時(shí)，求證：；（2）延長(zhǎng)與交于點(diǎn)．①如圖2，求證：；②如圖3，連接，若，則的面積為______________．24．（1）如圖1，在中，，，平分.求證：.小明為解決上面的問題作了如下思考：作關(guān)于直線的對(duì)稱圖形，∵平分，∴點(diǎn)落在上，且，.因此，要證的問題轉(zhuǎn)化為只要證出即可.請(qǐng)根據(jù)小明的思考，寫出該問題完整的證明過程.（2）參照（1）中小明的思考方法，解答下列問題：如圖3，在四邊形中，平分，，，，求的長(zhǎng).25．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，把△ABC沿直線DE折疊，使△ADE與△BDE重合．(1)若∠A＝35°，則∠CBD的度數(shù)為________；(2)若AC＝8，BC＝6，求AD的長(zhǎng)；(3)當(dāng)AB＝m(m>0)，△ABC的面積為m＋1時(shí)，求△BCD的周長(zhǎng)．(用含m的代數(shù)式表示)26．如圖1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD:AD:CD＝2:3:4，（1）試說明△ABC是等腰三角形；（2）已知S△ABC＝40cm2，如圖2，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)以每秒2cm的速度沿線段BA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1cm速度沿線段AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)都停止.設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒），①若△DMN的邊與BC平行，求t的值；②若點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，問在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過程中，△MDE能否成為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說明理由．圖1圖2備用圖27．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB經(jīng)過點(diǎn)C（a，a），且交x軸于點(diǎn)A（m，0），交y軸于點(diǎn)B（0，n），且m，n滿足＋（n﹣12）2＝0．（1）求直線AB的解析式及C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)C作CD⊥AB交x軸于點(diǎn)D，請(qǐng)?jiān)趫D1中畫出圖形，并求D點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)E（0，﹣2），點(diǎn)P為射線AB上一點(diǎn)，且∠CEP＝45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．28．閱讀下列一段文字，然后回答下列問題．已知在平面內(nèi)有兩點(diǎn)、，其兩點(diǎn)間的距離，同時(shí)，當(dāng)兩點(diǎn)所在的直線在坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，兩點(diǎn)間距離公式可化簡(jiǎn)為或.（1）已知、，試求A、B兩點(diǎn)間的距離______.已知M、N在平行于y軸的直線上，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為4，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為-1，試求M、N兩點(diǎn)的距離為______；（2）已知一個(gè)三角形各頂點(diǎn)坐標(biāo)為、、，你能判定此三角形的形狀嗎?說明理由．（3）在（2）的條件下，平面直角坐標(biāo)系中，在x軸上找一點(diǎn)P，使的長(zhǎng)度最短，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及的最短長(zhǎng)度．29．如圖1，點(diǎn)是正方形邊上任意一點(diǎn)，以為邊作正方形，連接，點(diǎn)是線段中點(diǎn)，射線與交于點(diǎn)，連接．（1）請(qǐng)直接寫出和的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．（2）把圖1中的正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，此時(shí)點(diǎn)恰好落在線段上，如圖2，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立，請(qǐng)說明理由．（3）把圖1中的正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，此時(shí)點(diǎn)、恰好分別落在線段、上，連接，如圖3，其他條件不變，若，，直接寫出的長(zhǎng)度．30．如圖,在△ABC中,D是邊AB的中點(diǎn),E是邊AC上一動(dòng)點(diǎn),連結(jié)DE,過點(diǎn)D作DF⊥DE交邊BC于點(diǎn)F(點(diǎn)F與點(diǎn)B、C不重合),延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,使DG=DF,連結(jié)EF、AG.已知AB=10,BC=6,AC=8.(1)求證:△ADG≌△BDF；(2)請(qǐng)你連結(jié)EG,并求證:EF=EG；(3)設(shè)AE=,CF=,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍；(4)求線段EF長(zhǎng)度的最小值.【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、選擇題1．B解析：B【分析】在BC邊上取一點(diǎn)P（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），使得成為等腰三角形，分三種情況分析：、、；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分別對(duì)三種情況逐個(gè)分析，即可得到答案．【詳解】根據(jù)題意，使得成為等腰三角形，分、、三種情況分析：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P位置再分兩種情況分析：第1種：點(diǎn)P在點(diǎn)O右側(cè)，于點(diǎn)O∴設(shè)∴∵∴∴∴∴，不符合題意；第2種：點(diǎn)P在點(diǎn)O左側(cè)，于點(diǎn)O設(shè)∴∴∴∴，點(diǎn)P存在，即；當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)P存在；當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)P和點(diǎn)C重合，不符合題意；∴符合題意的點(diǎn)P共有：2個(gè)故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形、勾股定理、一元一次方程的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形、勾股定理、一元一次方程的性質(zhì)，從而完成求解．2．C解析：C【分析】由AP+CP=AC得到=BP+AC，即計(jì)算當(dāng)BP最小時(shí)即可，此時(shí)BP⊥AC，根據(jù)三角形面積公式求出BP即可得到答案.【詳解】∵AP+CP=AC，∴=BP+AC，∴BP⊥AC時(shí)，有最小值，設(shè)AH⊥BC，∵∴BH=3，∴,∵，∴,∴BP=4.8，∴=AC+BP=5+4.8=9.8，故選：C.【點(diǎn)睛】此題考查等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，勾股定理，最短路徑問題，正確理解時(shí)點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵.3．D解析：D【分析】先根據(jù)勾股定理求出梯子的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可得出小巷的寬度．【詳解】解：如圖，由題意可得：AD2=0.72+2.42=6.25，在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，BC=1.5米，BC2+AB2=AC2，AD=AC，∴AB2+1.52=6.25，∴AB=±2，∵AB＞0，∴AB=2米，∴小巷的寬度為：0.7+2=2.7（米）．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．4．D解析：D【分析】作點(diǎn)A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)E，AE交OM于點(diǎn)D，連接BE、OE，BE交OM于點(diǎn)C，此時(shí)△ABC周長(zhǎng)最小，根據(jù)題意及作圖可得出△OAD是等腰直角三角形，OA=OE=3，，所以∠OAE=∠OEA=45°，從而證明△BOE是直角三角形，然后設(shè)AB=x，則OB=3+x，根據(jù)周長(zhǎng)最小值可表示出BE=6－x，最后在Rt△OBE中，利用勾股定理建立方程求解即可.【詳解】解：作點(diǎn)A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)E，AE交OM于點(diǎn)D，連接BE、OE，BE交OM于點(diǎn)C，此時(shí)△ABC周長(zhǎng)最小，最小值=AB+AC+BC=AB+EC+BC=AB+BE，∵△ABC周長(zhǎng)的最小值是6，∴AB+BE=6，∵∠MON=45°，AD⊥OM，∴△OAD是等腰直角三角形，∠OAD=45°，由作圖可知OM垂直平分AE，∴OA=OE=3，∴∠OAE=∠OEA=45°，∴∠AOE=90°，∴△BOE是直角三角形，設(shè)AB=x，則OB=3+x，BE=6－x，在Rt△OBE中，，解得：x=1，∴AB=1.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了利用軸對(duì)稱求最值，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握作圖技巧，正確利用勾股定理建立出方程是解題的關(guān)鍵.5．C解析：C【分析】依據(jù)每列數(shù)的規(guī)律，即可得到，進(jìn)而得出的值.【詳解】解：由題可得：……當(dāng)故選C【點(diǎn)睛】本題為勾股數(shù)與數(shù)列規(guī)律綜合題；觀察數(shù)列，找出規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵.6．C解析：C【詳解】如圖所示，∵（a+b）2=21∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面積為13，2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面積為13﹣8=5．故選C．考點(diǎn)：勾股定理的證明．7．C解析：C【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．最長(zhǎng)邊所對(duì)的角為直角．由此判定即可．【詳解】解：A、因?yàn)?2+72≠122，所以三條線段不能組成直角三角形；B、因?yàn)?2+32≠42，所以三條線段不能組成直角三角形；C、因?yàn)?2+2=22，所以三條線段能組成直角三角形；D、因?yàn)?2+112≠122，所以三條線段不能組成直角三角形．故選C．【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理逆定理的運(yùn)用，注意數(shù)據(jù)的計(jì)算．8．A解析：A【分析】分別求出以AB、AC、BC為直徑的半圓及△ABC的面積，再根據(jù)S陰影=S1+S2+S△ABC-S3即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖所示：∵∠BAC=90°，AB=4cm，AC=3cm，BC=5cm，∴以AB為直徑的半圓的面積S1=2π（cm2）；以AC為直徑的半圓的面積S2=π（cm2）；以BC為直徑的半圓的面積S3=π（cm2）；S△ABC=6（cm2）；∴S陰影=S1+S2+S△ABC-S3=6（cm2）；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵．9．D解析：D【分析】此題要分兩種情況：當(dāng)5和13都是直角邊時(shí)；當(dāng)13是斜邊長(zhǎng)時(shí)；分別利用勾股定理計(jì)算出第三邊長(zhǎng)即可求解．【詳解】當(dāng)5和13都是直角邊時(shí)，第三邊長(zhǎng)為：；當(dāng)13是斜邊長(zhǎng)時(shí)，第三邊長(zhǎng)為：；故這個(gè)三角形的第三條邊可以是12．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，當(dāng)已知條件中沒有明確哪是斜邊時(shí)，要注意討論，一些學(xué)生往往忽略這一點(diǎn)，造成丟解．10．D解析：D【分析】設(shè)正方形ADOF的邊長(zhǎng)為x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立關(guān)于x的方程，整理方程即可．【詳解】解：設(shè)正方形ADOF的邊長(zhǎng)為x，由題意得：BE＝BD＝4，CE＝CF＝6，∴BC＝BE＋CE＝BD＋CF＝10，在Rt△ABC中，AC2＋AB2＝BC2，即（6＋x）2＋（x＋4）2＝102，整理得，x2＋10x﹣24＝0，∴x2＋10x＝24，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．【分析】利用勾股定理求出AC=6，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，得到，再利用勾股定理得到，即可求出AB.【詳解】在Rt△ACD中，CD=AD=，∴AC=，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴，∵，∴,解得AB=，負(fù)值舍去，故答案為：.【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理，直角三角形30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，正確理解勾股定理的三邊的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.12．或或【分析】在中計(jì)算AB，情況一：作于E，計(jì)算AE，DE，CE，可得CD；情況二：作于E，計(jì)算BE，CE，DE，可得CD；情況三：作，計(jì)算，可得CD．【詳解】∵，，∴，情況一：當(dāng)時(shí)，作于E∴，即，∴∴情況二：當(dāng)時(shí)，作于E，∴，即，∴∴情況三：當(dāng)時(shí)，作，作于E∴，∵為等腰直角三角形∴∴∴故答案為：或或【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的探索，勾股定理的計(jì)算等，熟知以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．13．【分析】將△B′CF的面積轉(zhuǎn)化為求△BCF的面積，由折疊的性質(zhì)可得CD＝AC＝6，∠ACE＝∠DCE，∠BCF＝∠B′CF，CE⊥AB，可證得△ECF是等腰直角三角形，EF＝CE，∠EFC＝45°，由等面積法可求CE的長(zhǎng)，由勾股定理可求AE的長(zhǎng)，進(jìn)而求得BF的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，CD＝AC＝6，∠ACE＝∠DCE，∠BCF＝∠B′CF，CE⊥AB，∴∠DCE＋∠B′CF＝∠ACE＋∠BCF，∵∠ACB＝90°，∴∠ECF＝45°，且CE⊥AB，∴△ECF是等腰直角三角形，∴EF＝CE，∠EFC＝45°，∵S△ABC＝AC?BC＝AB?CE，∴AC?BC＝AB?CE，∵根據(jù)勾股定理求得AB＝10，∴CE＝，∴EF＝，∵AE＝＝，∴BF＝AB?AE?EF＝10－－＝，∴S△CBF＝×BF×CE＝××＝，∴S△CB′F＝，故填：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了翻折變換，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，根據(jù)折疊的性質(zhì)求得相等的角是解決本題的關(guān)鍵．14．3【分析】由，平分，易證得是等腰三角形，即可求得，又由四邊形是等腰梯形，易證得，然后由，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余，即可求得，則可求得的值，繼而求得的值.【詳解】解：∵，，∴，，∵平分，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∵三角形內(nèi)角和為180°，∴，∴，∴，∴.故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)勾股定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．15．6或2.【分析】由于已知沒有圖形，當(dāng)Rt△ABC固定后，根據(jù)“以BC為斜邊作等腰直角△BCD”可知分兩種情況討論：①當(dāng)D點(diǎn)在BC上方時(shí)，如圖1，把△ABD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCE，證明A、C、E三點(diǎn)共線，在等腰Rt△ADE中，利用勾股定理可求AD長(zhǎng)；②當(dāng)D點(diǎn)在BC下方時(shí)，如圖2，把△BAD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CED，證明過程類似于①求解．【詳解】解：分兩種情況討論：①當(dāng)D點(diǎn)在BC上方時(shí)，如圖1所示，把△ABD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCE，則∠ABD=∠ECD，CE=AB=2，AD=DE，且∠ADE=90°在四邊形ACDB中，∠BAC+∠BDC=90°+90°=180°，∴∠ABD+∠ACD=360°-180°=180°，∴∠ACD+∠ECD=180°，∴A、C、E三點(diǎn)共線．∴AE=AC+CE=4+2=6在等腰Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，即2AD2=（6）2，解得AD=6②當(dāng)D點(diǎn)在BC下方時(shí)，如圖2所示，把△BAD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CED，則CE=AB=2，∠BAD=∠CED，AD=AE且∠ADE=90°，所以∠EAD=∠AED=45°，∴∠BAD=90°+45°=135°，即∠CED=135°，∴∠CED+∠AED=180°，即A、E、C三點(diǎn)共線．∴AE=AC-CE=4-2=2在等腰Rt△ADE中，2AD2=AE2=8，解得AD=2．故答案為：6或2.【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理，解決這類等邊（或共邊）的兩個(gè)三角形問題，一般是通過旋轉(zhuǎn)的方式作輔助線，轉(zhuǎn)化線段使得已知線段于一個(gè)特殊三角形中進(jìn)行求解．16．【分析】根據(jù)面積的差得出a+b的值，再利用a-b=7，解得a，b的值代入即可．【詳解】∵AB＝13，EF＝7，∴大正方形的面積是169，小正方形的面積是49，∴四個(gè)直角三角形面積和為169﹣49＝120，設(shè)AE為a，DE為b，即，∴2ab＝120，a2+b2＝169，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝169+120＝289，∴a+b＝17，∵a﹣b＝7，解得：a＝12，b＝5，∴AE＝12，DE＝5，∴AH＝12﹣7＝5．故答案為：5．【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理的證明，關(guān)鍵是應(yīng)用直角三角形中勾股定理的運(yùn)用解得ab的值．17．4【分析】根據(jù)線段垂直平分線得出AE=EC，∠AEG=∠AEF=90°，求出∠B=∠C=∠G=30°，根據(jù)勾股定理和含30°角的直角三角形性質(zhì)求出AE和EF，即可求出FG，再求出BF=FG即可【詳解】∵AC的垂直平分線FG，∴AE=EC，∠AEG=∠AEF=90°，∵∠BAC=120°，∴∠G=∠BAC-∠AEG=120°-90°=30°，∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=（180°-∠BAC）=30°，∴∠B=∠G，∴BF=FG，∵在Rt△AEG中，∠G=30°，EG=3，∴AG=2AE，即（2AE）2=AE2+32，∴AE=（負(fù)值舍去）即CE=，同理在Rt△CEF中，∠C=30°，CF=2EF，（2EF）2=EF2+（）2，∴EF=1（負(fù)值舍去），∴BF=GF=EF+CE=1+3=4，故答案為4．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，含30°角的直角三角形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．18．等腰直角三角形【解析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的意義，由，可知，a=b，可知此三角形是等腰直角三角形.故答案為：等腰直角三角形.點(diǎn)睛：此題主要考查了三角形形狀的確定，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，可分別得到關(guān)系式，然后結(jié)合勾股定理的逆定理知是直角三角形，然后由a-b=0得到等腰直角三角形，比較容易，關(guān)鍵是利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)系式.19．12【解析】如圖，過點(diǎn)N作NG⊥BC于點(diǎn)G，連接CN，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)有：MA=MC，NA=NC，∠AMN=∠CMN.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以AD∥BC，所以∠ANM=∠CMN.所以∠AMN=∠ANM，所以AM=AN.所以AM=AN=CM=CN.因?yàn)椤鰿DN的面積與△CMN的面積比為1：3，所以DN:CM=1:3.設(shè)DN=x，則CG=x，AM=AN=CM=CN=3x，由勾股定理可得NG=，所以MN2=，BM2=.所以=12.枚本題應(yīng)填12.點(diǎn)睛：矩形中的折疊問題，其本質(zhì)是軸對(duì)稱問題，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，找到對(duì)應(yīng)的線段和角，也就找到了相等的線段和角，矩形中的折疊一般會(huì)伴隨著等腰三角形(也就是基本圖形“平行線+角平分線→等腰三角形”)，所以常常會(huì)結(jié)合等腰三角形，勾股定理來列方程求解.20．【解析】試題分析：根據(jù)矩形性質(zhì)得AB=DC=6，BC=AD=8，AD∥BC，∠B=90°，再根據(jù)折疊性質(zhì)得∠DAC=∠D′AC，而∠DAC=∠ACB，則∠D′AC=∠ACB，所以AE=EC，設(shè)BE=x，則EC=4-x，AE=4-x，然后在Rt△ABE中利用勾股定理可計(jì)算出BE的長(zhǎng)即可．試題解析：∵四邊形ABCD為矩形，∴AB=DC=3，BC=AD=4，AD∥BC，∠B=90°，∵△ACD沿AC折疊到△ACD′，AD′與BC交于點(diǎn)E，∴∠DAC=∠D′AC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠D′AC=∠ACB，∴AE=EC，設(shè)BE=x，則EC=4﹣x，AE=4﹣x，在Rt△ABE中，∵AB2+BE2=AE2，∴32+x2=（4﹣x）2，解得x=，即BE的長(zhǎng)為．三、解答題21．（1）；（2）150°；（3）．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可利用SAS證明△BCD≌△ACE，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即得結(jié)果；（2）在△ADE中，根據(jù)勾股定理的逆定理可得∠AED＝90°，進(jìn)而可求出∠AEC的度數(shù)，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即得答案；（3）過C作CP⊥DE于點(diǎn)P，設(shè)AC與DE交于G，如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理可得PE與CP的長(zhǎng)，進(jìn)而可得AE＝CP，然后即可根據(jù)AAS證明△AEG≌△CPG，于是可得AG＝CG，PG＝EG，根據(jù)勾股定理可求出AG的長(zhǎng)，進(jìn)一步即可求出結(jié)果．【詳解】解：（1）∵△ABC和△EDC都是等邊三角形，∴BC＝AC，CD＝CE＝DE＝2，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝∠ACE，在△BCD與△ACE中，∵BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，CD＝CE，∴△BCD≌△ACE，∴AE＝BD＝；（2）在△ADE中，∵，∴DE2+AE2＝＝AD2，∴∠AED＝90°，∵∠DEC＝60°，∴∠AEC＝150°，∵△BCD≌△ACE，∴∠BDC＝∠AEC＝150°；（3）過C作CP⊥DE于點(diǎn)P，設(shè)AC與DE交于G，如圖，∵△CDE是等邊三角形，∴PE＝DE＝1，CP＝，∴AE＝CP，在△AEG與△CPG中，∵∠AEG＝∠CPG＝90°，∠AGE＝∠CGP，AE＝CP，∴△AEG≌△CPG，∴AG＝CG，PG＝EG＝，∴AG＝，∴AC＝2AG＝．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理及其逆定理等知識(shí)，熟練掌握上述知識(shí)、靈活應(yīng)用全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（1）梯子頂端離地面24米（2）梯子底端將向左滑動(dòng)了8米【解析】試題分析：（1）構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，根據(jù)勾股定理可求解出梯子頂端離地面的距離；（2）構(gòu)建直角三角形，然后根據(jù)購(gòu)股定理列方程求解即可.試題解析：（1）如圖，∵AB=25米，BE=7米，梯子距離地面的高度AE==24米．答：此時(shí)梯子頂端離地面24米；（2）∵梯子下滑了4米，即梯子距離地面的高度CE=（24﹣4）=20米，∴BD+BE=DE===15，∴DE=15﹣7=8（米），即下端滑行了8米．答：梯子底端將向左滑動(dòng)了8米．23．（1）見解析；（2）①見解析；②2．【分析】（1）當(dāng)D、E兩點(diǎn)重合時(shí)，則AD=CD，然后由等邊三角形的性質(zhì)可得∠CBD的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)可得∠F的度數(shù)，于是可得∠CBD與∠F的關(guān)系，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）①過點(diǎn)E作EH∥BC交AB于點(diǎn)H，連接BE，如圖4，則易得△AHE是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和已知條件可得EH=CF，∠BHE=∠ECF=120°，BH=EC，于是可根據(jù)SAS證明△BHE≌△ECF，可得∠EBH=∠FEC，易證△BAE≌△BCD，可得∠ABE=∠CBD，從而有∠FEC=∠CBD，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠BGE=∠BCD，進(jìn)而可得結(jié)論；②易得∠BEG=90°，于是可知△BEF是等腰直角三角形，由30°角的直角三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)易求得BE和BF的長(zhǎng)，過點(diǎn)E作EM⊥BF于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CN⊥EF于點(diǎn)N，如圖5，則△BEM、△EMF和△CFN都是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)和30°角的直角三角形的性質(zhì)可依次求出BM、MC、CF、FN、CN、GN的長(zhǎng)，進(jìn)而可得△GCN也是等腰直角三角形，于是有∠BCG=90°，故所求的△BCG的面積=，而BC和CG可得，問題即得解決．【詳解】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，當(dāng)D、E兩點(diǎn)重合時(shí)，則AD=CD，∴，∵，∴∠F=∠CDF，∵∠F+∠CDF=∠ACB=60°，∴∠F=30°，∴∠CBD=∠F，∴；（2）①∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，過點(diǎn)E作EH∥BC交AB于點(diǎn)H，連接BE，如圖4，則∠AHE=∠ABC=60°，∠AEH=∠ACB=60°，∴△AHE是等邊三角形，∴AH=AE=HE，∴BH=EC，∵，CD=CF，∴EH=CF，又∵∠BHE=∠ECF=120°，∴△BHE≌△ECF（SAS），∴∠EBH=∠FEC，EB=EF，∵BA=BC，∠A=∠ACB=60°，AE=CD，∴△BAE≌△BCD（SAS），∴∠ABE=∠CBD，∴∠FEC=∠CBD，∵∠EDG=∠BDC，∴∠BGE=∠BCD=60°；②∵∠BGE=60°，∠EBD=30°，∴∠BEG=90°，∵EB=EF，∴∠F=∠EBF=45°，∵∠EBG=30°，BG=4，∴EG=2，BE=2，∴BF=，，過點(diǎn)E作EM⊥BF于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CN⊥EF于點(diǎn)N，如圖5，則△BEM、△EMF和△CFN都是等腰直角三角形，∴，∵∠ACB=60°，∴∠MEC=30°，∴，∴，，∴，∴，∴，∴∠GCF=90°=∠GCB，∴，∴△BCG的面積=．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形與等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、30°角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，涉及的知識(shí)點(diǎn)多、難度較大，正確添加輔助線、熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解①題的關(guān)鍵，靈活應(yīng)用等腰直角三角形的性質(zhì)和30°角的直角三角形的性質(zhì)解②題的關(guān)鍵．24．（1）證明見解析；（2）21.【分析】（1）只需要證明，再根據(jù)等角對(duì)等邊即可證明,再結(jié)合小明的分析即可證明；（2）作△ADC關(guān)于AC的對(duì)稱圖形,過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，則=BE．設(shè)=BE=x．在Rt△CEB和Rt△CEA中，根據(jù)勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題.【詳解】解：（1）證明：如下圖，作△ADC關(guān)于CD的對(duì)稱圖形△A′DC，∴A′D=AD，C

A′=CA，∠CA′D=∠A=60°，∵CD平分∠ACB，∴A′點(diǎn)落在CB上∵∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠A=30°，∴∠A′DB=∠CA′D-∠B=30°，即∠A′DB=∠B，∴A′D=A′B，∴CA+AD=CA′+A′D=CA′+A′B=CB.（2）如圖，作△ADC關(guān)于AC的對(duì)稱圖形△AD′C．∴D′A=DA=9，D′C=DC=10，∵AC平分∠BAD，∴D′點(diǎn)落在AB上，∵BC=10，∴D′C=BC，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，則D′E=BE，設(shè)D′E=BE=x，在Rt△CEB中，CE2=CB2-BE2=102-x2，在Rt△CEA中，CE2=AC2-AE2=172-（9+x）2．∴102-x2=172-（9+x）2，解得：x=6，∴AB=AD′+D′E+EB=9+6+6=21．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì).（1）中證明∠A′DB=∠B不是經(jīng)常用的等量代換，而是利用角之間的計(jì)算求得它們的度數(shù)相等，這有點(diǎn)困難，需要多注意；（2）中掌握方程思想是解題關(guān)鍵.25．（1）∠CBD=20°；（2）AD=；(3)△BCD的周長(zhǎng)為m+2【分析】（1）根據(jù)折疊可得∠1=∠A=35°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可以計(jì)算出∠ABC=55°，進(jìn)而得到∠CBD=20°；（2）根據(jù)折疊可得AD=DB，設(shè)CD=x，則AD=BD=8-x，再在Rt△CDB中利用勾股定理可得x2+62=（8-x）2，再解方程可得x的值，進(jìn)而得到AD的長(zhǎng)；（3）根據(jù)三角形ACB的面積可得，進(jìn)而得到AC?BC=2m+2，再在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，再把左邊配成完全平方可得CA+CB的長(zhǎng)，進(jìn)而得到△BCD的周長(zhǎng)．【詳解】（1）∵把△ABC沿直線DE折疊，使△ADE與△BDE重合，∴∠1=∠A=35°，∵∠C=90°，∴∠ABC=180°-90°-35°=55°，∴∠2=55°-35°=20°，即∠CBD=20°；（2）∵把△ABC沿直線DE折疊，使△ADE與△BDE重合，∴AD=DB，設(shè)CD=x，則AD=BD=8-x，在Rt△CDB中，CD2+CB2=BD2，x2+62=（8-x）2，解得：x=，AD=8-=；（3）∵△ABC的面積為m+1，∴AC?BC=m+1，∴AC?BC=2m+2，∵在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，∴CA2+CB2+2AC?BC=BA2+2AC?BC，∴（CA+BC）2=m2+4m+4=（m+2）2，∴CA+CB=m+2，∵AD=DB，∴CD+DB+BC=m+2．即△BCD的周長(zhǎng)為m+2．【點(diǎn)睛】此題主要考查了圖形的翻折變換，以及勾股定理，完全平方公式，關(guān)鍵是掌握勾股定理，以及折疊后哪些是對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)線段．26．（1）見詳解；（2）①t值為：s或6s；②t值為：4.5或5或．【分析】（1）設(shè)BD=2x，AD=3x，CD=4x，則AB=5x，由勾股定理求出AC，即可得出結(jié)論；（2）由△ABC的面積求出BD、AD、CD、AC；①當(dāng)MN∥BC時(shí)，AM=AN；當(dāng)DN∥BC時(shí)，AD=AN；得出方程，解方程即可；②根據(jù)題意得出當(dāng)點(diǎn)M在DA上，即2＜t≤5時(shí)，△MDE為等腰三角形，有3種可能：如果DE=DM；如果ED=EM；如果MD=ME=2t-4；分別得出方程，解方程即可．【詳解】解：（1）證明：設(shè)BD=2x，AD=3x，CD=4x，則AB=5x，在Rt△ACD中，AC=5x，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：由（1）知，AB=5x，CD=4x，∴S△ABC=×5x×4x=40cm2，而x＞0，∴x=2cm，則BD=4cm，AD=6cm，CD=8cm，AB=AC=10cm．由運(yùn)動(dòng)知，AM=10-2t，AN=t，①當(dāng)MN∥BC時(shí)，AM=AN，即10-2t=t，∴；當(dāng)DN∥BC時(shí)，AD=AN，∴6=t，得：t=6；∴若△DMN的邊與BC平行時(shí)，t值為s或6s．②存在，理由：Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)M在BD上，即0≤t＜2時(shí)，△MDE為鈍角三角形，但DM≠DE；Ⅱ、當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，不構(gòu)成三角形Ⅲ、當(dāng)點(diǎn)M在DA上，即2＜t≤5時(shí)，△MDE為等腰三角形，有3種可能．∵點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，∴DE=AC=5當(dāng)DE=DM，則2t-4=5，∴t=4.5s；當(dāng)ED=EM，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，∴t=5s；當(dāng)MD=ME=2t-4，如圖，過點(diǎn)E作EF垂直AB于F，∵ED=EA，∴DF=AF=AD=3，在Rt△AEF中，EF=4；∵BM=2t，BF=BD+DF=4+3=7，∴FM=2t-7在Rt△EFM中，（2t-4）2-（2t-7）2=42，∴t=．綜上所述，符合要求的t值為4.5或5或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的面積公式，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是分情況討論．27．（1）y＝－2x＋12，點(diǎn)C坐標(biāo)（4，4）；（2）畫圖形見解析，點(diǎn)D坐標(biāo)（－4，0）；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)（，）【分析】（1）由已知的等式可求得m、n的值，于是可得直線AB的函數(shù)解析式，把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入可求得a的值，由此即得答案；（2）畫出圖象，由CD⊥AB知可設(shè)出直線CD的解析式，再把點(diǎn)C代入可得CD的解析式，進(jìn)一步可求D點(diǎn)坐標(biāo)；（3）如圖2，取點(diǎn)F（－2，8），易證明CE⊥CF且CE＝CF，于是得∠PEC＝45°，進(jìn)一步求出直線EF的解析式，再與直線AB聯(lián)立求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，即為點(diǎn)P.【詳解】解：（1）∵＋（n﹣12）2＝0，∴m＝6，n＝12，∴A（6，0），B（0，12），設(shè)直線AB解析式為y＝kx＋b，則有，解得，∴直線AB解析式為y＝－2x＋12，∵直線AB過點(diǎn)C（a，a），∴a＝－2a＋12，∴a＝4，∴點(diǎn)C坐標(biāo)（4，4）．（2）過點(diǎn)C作CD⊥AB交x軸于點(diǎn)D，如圖1所示，設(shè)直線CD解析式為y＝x＋b′，把點(diǎn)C（4，4）代入得到b′＝2，∴直線CD解析式為y＝x＋2，∴點(diǎn)D坐標(biāo)（－4，0）．（3）如圖2中，取點(diǎn)F（－2，8），作直線EF交直線AB于P，圖2∵直線EC解析式為y＝x－2，直線CF解析式為y＝－x＋，∵×（－）＝－1，∴直線CE⊥CF，∵EC＝2，CF＝2，∴EC＝CF，∴△FCE是等腰直角三角形，∴∠FEC＝45°，∵直線FE解析式為y＝－5x－2，由解得，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）.【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)的綜合題，綜合考查了坐標(biāo)系中兩直線的垂直問題、兩條直線的交點(diǎn)問題和求特殊角度下的直線解析式，并綜合了勾股定理和等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知坐標(biāo)系中兩直線垂直滿足，一次函數(shù)的交點(diǎn)與對(duì)應(yīng)方程組的解的關(guān)系.其中，第（3）小題是本題的難點(diǎn)，尋找到點(diǎn)F（－2，8）是解題的突破口.28．（1）13，5；（2）等腰直角三角形，理由見解析；（3）當(dāng)P的坐標(biāo)為（）時(shí)，PD+PF的長(zhǎng)度最短，最短長(zhǎng)度為.【解析】【分析】（1）根據(jù)閱讀材料中A和B的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出答案；由于M、N在平行于y軸的直線上，根據(jù)M和N的縱坐標(biāo)利用公式即可求出MN的距離;（2）由三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別求出DE，DF，EF的長(zhǎng)，即可判定此三角形的形狀；（3）作F關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與x軸交于點(diǎn)P