福建省南平市高三上學(xué)期第一次綜合質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)（文）試題及答案

試卷第=page22頁，總=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat23頁福建省南平市高三上學(xué)期第一次綜合質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)（文）試題及答案一、單選題1．設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】先求集合的補(bǔ)集，再進(jìn)行交集運(yùn)算，即可得答案.【詳解】因?yàn)榧?，所以，所?故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查集合的基本運(yùn)算，即補(bǔ)集和交集，考查基本運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】對得復(fù)數(shù)進(jìn)行除法運(yùn)算，再利用純虛數(shù)的概念，求得的值.【詳解】因?yàn)?，所?故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及純虛數(shù)的概念，考查基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3．已知，，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），則（）A． B．C． D．【答案】C【解析】引入中間變量0和1，易得，即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，則；因?yàn)椋瑒t；因?yàn)?，則；所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較式子的大小，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.4．已知平面向量與滿足，，且，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】對式子進(jìn)行平方，再將已知條件代入計算求解，即可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所?故選：C【點(diǎn)睛】本題考查向量的模的計算、向量數(shù)量積、向量垂直關(guān)系，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力.5．一個盒子中裝有個大小、形狀完全相同的小球，其中個白球，個紅球，個黃球，若從中隨機(jī)取出個球，記下顏色后放回盒子，均勻攪拌后，再隨機(jī)取出個球，則兩次取出小球顏色不同的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】列出所有等可能結(jié)果，計算兩次取出小球顏色不同事件所含的基本事件總數(shù)，再利用古典概型概率計算公式求解.【詳解】記白球?yàn)?，紅球?yàn)?，3，黃球?yàn)?，則試驗(yàn)的基本事件總數(shù)有：共16個基本事件，則兩次取出小球顏色不同的基本事件有：共10個基本事件，所以兩次取出小球顏色不同的概率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率計算，考查基本運(yùn)算求解能力，求解時注意區(qū)分有放回和無放回的區(qū)別.6．已知橢圓：過點(diǎn)，橢圓的離心率為，則橢圓的焦距為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】將點(diǎn)代入橢圓方程得，結(jié)合離心率及，求得的值，即可得到答案.【詳解】因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以，又，解得：，所以焦距為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率及焦距的概念，考查基本運(yùn)算求解能力，求解時注意焦距是而不是.7．已知函數(shù)，把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象．下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（）A．在上是減函數(shù) B．在區(qū)間上值域?yàn)镃．函數(shù)是奇函數(shù) D．其圖象關(guān)于直線對稱【答案】D【解析】先通過平移得到，再一一對照選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，即可得到答案.【詳解】對A，因?yàn)椋?，所以的遞減區(qū)間為，不是遞減區(qū)間的子區(qū)間，故A錯誤；對B，因?yàn)椋?，利用單位圓三角函數(shù)線可得，函數(shù)的值域?yàn)?，故B錯誤；對C，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，故C錯誤；對D，當(dāng)時，，故D正確；故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的平移、三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性，考查邏輯推理能力和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，求解時注意左右平移是針對自變量而言的.8．宋元時期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問題：“松長六尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松長？”下圖是解決此問題的一個程序框圖，其中為松長、為竹長，則輸出的（）A． B． C． D．2【答案】C【解析】根據(jù)的輸入值分別為，，執(zhí)行程序中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，從而得到輸出值.【詳解】由題意得：的輸入值分別為，，，，，此時，終止循環(huán)，輸出.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)文化與程序框圖的交會，考查閱讀理解能力和有條理思考問題的能力，求解時注意根據(jù)判斷框的條件，得到何時終止循環(huán).9．函數(shù)在上的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】先根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，排除B,C選項(xiàng)，再根據(jù)函數(shù)值的正負(fù)，排除選項(xiàng)，從而得到正確答案.【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，故排除B,C選項(xiàng)；當(dāng)時，，所以，故排除D；故選：A【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)解析式挖掘函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，求解時要充分利用選項(xiàng)中的圖象，提取有用的信息，并利用排除法得到正確選項(xiàng).10．給出下列四個命題：①，使得；②是恒成立的充分條件；③函數(shù)在點(diǎn)處不存在切線；④函數(shù)存在零點(diǎn)．其中正確命題個數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】對①，存在成立；對②，求出使恒成立的的取值范圍，再根據(jù)子集關(guān)系判斷；對③，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切線方程；對④，利用零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)存在性.【詳解】對①，當(dāng)時，顯然成立，故①正確；對②，當(dāng)恒成立時，或解得：，因?yàn)橥撇怀?，所以不是恒成立的充分條件，故②錯誤；對③，因?yàn)椋?，所以切線方程為，故③錯誤；對④，因?yàn)?，所以函?shù)在存在零點(diǎn)，故④正確；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷、簡易邏輯知識的運(yùn)用、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、零點(diǎn)存在定理，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力.11．在中，，是線段上的點(diǎn)，，若的面積為，則的最大值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】將的面積分成兩個小三角形面積和，得到關(guān)于的方程，再利用基本不等式求最值.【詳解】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋?，等號成立?dāng)且僅當(dāng).故選：B【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積公式、基本不等式的應(yīng)用，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時注意等號成立的條件.12．已知定義在R上的連續(xù)函數(shù)滿足，且，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，有，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在的單調(diào)性，再根據(jù)對稱性得到的圖象特征，將不等式化為：或即可得到答案.【詳解】，，在單調(diào)遞增，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，又，當(dāng)時，，當(dāng)時，，又滿足，圖象關(guān)于直線對稱，當(dāng)時，，當(dāng)時，，不等式等價于或解得：.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)不等式的求解，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解的關(guān)鍵是根據(jù)題目所給的不等式構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究所構(gòu)造函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而求解不等式.二、填空題13．已知，則__________．【答案】【解析】∵∴，即∴∴故答案為.14．已知函數(shù)是公差為等差數(shù)列，若，，成等比數(shù)列，則________；【答案】【解析】利用等比中項(xiàng)性質(zhì)得，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，進(jìn)而得到的值.【詳解】因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，所以，解得：，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查基本量法的運(yùn)用.15．已知直三棱柱的高為，，，則該三棱柱外接球的表面積為________；【答案】【解析】根據(jù)三棱柱的特征，先確定其外接球球心的位置，再列出關(guān)于外接球半徑的方程，解方程即可得到答案.【詳解】設(shè)上下底面的外心分別為，則球心為的中點(diǎn)，則，因?yàn)榈酌嫱饨訄A半徑為外接球的半徑所以外接球的表面積為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理、正弦定理的應(yīng)用、柱體體積、球的表面積計算公式、三棱柱與其外接球的關(guān)系，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力.16．已知點(diǎn)，分別為雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，為直線與雙曲線的一個交點(diǎn)，若點(diǎn)在以為直徑的圓上，則雙曲線的離心率為________．【答案】【解析】求出點(diǎn)，再由點(diǎn)在以為直徑的圓上得，接著利用向量數(shù)量積為0，從而得到關(guān)于的方程，進(jìn)而得到離心率.【詳解】設(shè)，代入化簡得，由已知得，則.因?yàn)樗?，又，整理得：，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時注意平面幾何知識的應(yīng)用及向量知識的應(yīng)用.三、解答題17．國家大力提倡科技創(chuàng)新，某工廠為提升甲產(chǎn)品的市場競爭力，對生產(chǎn)技術(shù)進(jìn)行創(chuàng)新改造，使甲產(chǎn)品的生產(chǎn)節(jié)能降耗．以下表格提供了節(jié)能降耗后甲產(chǎn)品的生產(chǎn)產(chǎn)量(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗(噸)的幾組對照數(shù)據(jù)．（噸）（噸）（1）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；（，）（2）已知該廠技術(shù)改造前生產(chǎn)噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為噸，試根據(jù)（1）求出的線性回歸方程，預(yù)測節(jié)能降耗后生產(chǎn)噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低多少噸？【答案】（1）（2）1.75噸.【解析】（1）直接利用最小二乘法求回歸直線方程；（2）將代入回歸方程可預(yù)測相應(yīng)的生產(chǎn)能耗，從而求得生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低的噸數(shù).【詳解】(1),則所求的方程為(2)把代入回歸方程可預(yù)測相應(yīng)的生產(chǎn)能耗是，噸，所以，預(yù)測生產(chǎn)8噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低1.75噸.【點(diǎn)睛】本題考查回歸直線方程的求解，考查數(shù)據(jù)處理能力和運(yùn)算求解能力.18．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】（1）利用臨差法得到，再根據(jù)求得，從而求得數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）由題意得，再利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】（1）當(dāng)時，.當(dāng)時，,因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以滿足式，所以，即，因此等比數(shù)列的首項(xiàng)為1,公比為2,所以等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）知，則,即，所以,所以.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)相消法求和，考查方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時注意先對通項(xiàng)進(jìn)行改寫，再決定選用什么方法求和.19．如圖，在幾何體中，四邊形為矩形，且，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若平面平面，，，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（1）取A1B1中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)C1，證明CE∥C1F，即可證明線面平行；（2）根據(jù)三棱錐的等積法得，即可求得答案.【詳解】(1)證明如圖，取A1B1中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)C1，∵E為AB1中點(diǎn)，∴EF//A1A且EF=A1A，∵AA1∥CC1且AA1=2CC1，∴EF//CC1且EF=CC1，即四邊形EFC1C為平行四邊形，∴CE∥C1F.∵，，∴CE∥平面A1B1C1.(2)∵平面ABB1A1⊥平面ABC，交線為AB又矩形ABB1A1中AA1⊥AB，∴AA1⊥平面ABC，∵AA1∥CC1，∴CC1⊥平面ABC，∵BB1∥CC1，，，∴BB1∥，∴【點(diǎn)睛】本題考查線面平行判定定理、三棱錐體積的求解，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力，求解時注意等積法的應(yīng)用.20．已知拋物線：準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上位于第一象限的動點(diǎn)，直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）交于點(diǎn)，直線交拋物線于、兩點(diǎn)，為線段中點(diǎn)．（1）若，求直線的方程；（2）試問直線的斜率是否為定值，若是，求出該值；若不是，說明理由．【答案】（1）（2）是，定值0【解析】（1）由=5及拋物線定義得點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，求出直線OA的方程，進(jìn)而求得，利用點(diǎn)斜式方程即可得到直線的方程；（2）由已知直線OA的斜率存在，設(shè)直線OA的方程為，與準(zhǔn)線聯(lián)立解得；由為線段中點(diǎn)，得坐標(biāo)為，將直線OA的方程與拋物線方程聯(lián)立可得，計算直線的斜率即可得到答案.【詳解】（1）拋物線的準(zhǔn)線為，的焦點(diǎn)為，由及拋物線定義得點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，由點(diǎn)位于第一象限內(nèi)且在拋物線上得點(diǎn)坐標(biāo)為，于是=1，則直線OA的方程為，與準(zhǔn)線聯(lián)立解得，因此=，所以直線的方程為，即.（2）由已知直線OA的斜率存在，設(shè)直線OA的方程為，與準(zhǔn)線聯(lián)立解得，于是，由已知，故設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立并消去得，，其中.設(shè)，則，則，由于為線段中點(diǎn)，于是點(diǎn)坐標(biāo)為，直線OA的方程，與聯(lián)立解得，所以直線的斜率為0，綜上可知直線的斜率為定值0.【點(diǎn)睛】本題考查直線方程的求解、直線與拋物線中的定值問題，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解的關(guān)鍵是通過坐標(biāo)法思想，將點(diǎn)的坐標(biāo)及斜率轉(zhuǎn)化成用變量表示.21．已知函數(shù)，其中．（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，試證明：．【答案】（1）在區(qū)間上為減函數(shù)；在區(qū)間上為增函數(shù)．（2）證明見解析【解析】（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得，再對分成和兩種情況討論，從而得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）將不等式等價于，再對分成和兩種情況討論.【詳解】（1）由知：（i）若，，∴在區(qū)間上為增函數(shù)．（ii）若，∴當(dāng)時，有，∴在區(qū)間上為減函數(shù)．當(dāng)時，有，∴在區(qū)間上為增函數(shù)．綜上：當(dāng)時，在區(qū)間上為增函數(shù)；當(dāng)時，在區(qū)間上為減函數(shù)；在區(qū)間上為增函數(shù)．（2）若，則要證，只需證，即證：.（i）當(dāng)時，，而∴此時成立.（ii）當(dāng)時，令，，∵，設(shè)，則，∴∴當(dāng)時，單調(diào)遞增，∴，即∴在單調(diào)遞增，∴即，即，∴綜上：當(dāng)時，有成立.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、證明不等式，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想的應(yīng)用，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，屬于難題.22．在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），，為直線上距離為的兩動點(diǎn)，點(diǎn)為曲線上的動點(diǎn)且不在直線上．（1）求曲線的普通方程及直線的直角坐標(biāo)方程．（2）求面積的最大值．【答案】（1）直線的直角坐標(biāo)方程為,曲線的普通方程為（2）【解析】（1）直線的極坐標(biāo)方程利用兩角差的余弦公式展開，再利用公式，將方程化成普通方程形式；對曲線的參數(shù)進(jìn)行消參，從而得到普通方程；（2）設(shè)點(diǎn)，將點(diǎn)到直線的距離轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題.【詳解】（1）直線的極坐標(biāo)方程化成，，直線的直角坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程化成：.平方相加得，即（2）設(shè)點(diǎn)，則到直線的距離為：，當(dāng)時，，設(shè)的面積為，則.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程、普通方程、參數(shù)方程的互化、利用三角函數(shù)的值域求點(diǎn)到直線距離的