巖土工程模糊可靠度中隸位函數(shù)的選取

巖土工程模糊可靠度中隸位函數(shù)的選取

0不確定性和模糊不確定性長(zhǎng)期以來，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性一直是巖石工程研究的重要課題之一。在結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析中存在著大量的不確定性因素,主要包括隨機(jī)不確定性和模糊不確定性。例如土體的重度與內(nèi)摩擦角等都可以看作是隨機(jī)變量,結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)則可以看作是隨機(jī)過程。結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性也是一個(gè)模糊概念,在失穩(wěn)與穩(wěn)定之間存在著一個(gè)模糊過渡區(qū)。因此將結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)看作是一個(gè)模糊概率事件,并同時(shí)考慮其隨機(jī)性和模糊性兩種不確定性因素,利用概率理論與模糊數(shù)學(xué)建立分析巖土工程中結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的方法,更符合客觀實(shí)際。1結(jié)構(gòu)失穩(wěn)失效概率f結(jié)構(gòu)的負(fù)荷能力、適用性能、耐久性能等統(tǒng)稱為結(jié)構(gòu)功能。結(jié)構(gòu)功能通常以極限狀態(tài)為標(biāo)志,結(jié)構(gòu)到達(dá)它不能完成預(yù)定功能之前的一種特殊狀態(tài),即臨界狀態(tài),稱為結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)。極限狀態(tài)可用結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)予以精確表達(dá)。Z=g(R,S)(1)對(duì)于功能函數(shù)的這一表達(dá)式,不同的情況可以取不同的具體形式。這里不妨取這種簡(jiǎn)單的形式:Z=R-S(2)式中功能函數(shù)Z表達(dá)了結(jié)構(gòu)抗力對(duì)荷載的富裕程度,故有時(shí)稱為安全裕量。其值大于0時(shí)結(jié)構(gòu)處于可靠狀態(tài),小于0時(shí),處于失效和破壞狀態(tài),等于0時(shí)結(jié)構(gòu)處于極限狀態(tài)。在結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析中,R為抗滑力、S為滑動(dòng)力。在計(jì)算分析中,結(jié)構(gòu)功能函數(shù)為非線性函數(shù)。對(duì)于結(jié)構(gòu)功能函數(shù)Z=g(X1,X2,…,Xn),若基本隨機(jī)變量Xi(i=1,2,…,n)均服從正態(tài)分布,Xi～N(μXi,σ2Xi),(i=1,2,…,n),且諸Xi相互獨(dú)立,將Z在平均值處按泰勒級(jí)數(shù)展開,僅保留線性項(xiàng),有Ζ≈g(μX1,μX2,,μXn)+n∑i=1?g?Xi|μXi(Xi-μXi)(3)Z≈g(μX1,μX2,,μXn)+∑i=1n?g?Xi∣∣∣μXi(Xi?μXi)(3)即可得平均值和標(biāo)準(zhǔn)差的近似公式為:μZ≈g(μX1,μX2,…,μXn)(4)σΖ=√n∑i=1[(?g?Xi)μσXi]2(5)σZ=∑i=1n[(?g?Xi)μσXi]2????????????????√(5)式中:μXi為Xi的平均值;(?g?Xi)μ(?g?Xi)μ表示各偏導(dǎo)數(shù)均在μXi(i=1,2,…,n)處取值。根據(jù)可靠指標(biāo)定義,有β=μΖσΖ≈g(μX1,μX2,?,μXn)√n∑i=1[(?g?Xi)2μ?σ2Xi](6)β=μZσZ≈g(μX1,μX2,?,μXn)∑i=1n[(?g?Xi)2μ?σ2Xi]√(6)結(jié)構(gòu)失效概率可表示為:Ρf=f(Ζ＜0)=∫Ff(z)dz=Φ(-β)(7)Pf=f(Z＜0)=∫Ff(z)dz=Φ(?β)(7)式中:F為結(jié)構(gòu)的失效域;f(z)為結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的概率密度函數(shù)。由于事物本身存在著中間過渡現(xiàn)象及對(duì)事物劃分標(biāo)準(zhǔn)邊界的不清晰,一個(gè)元素只是在一定程度上屬于一個(gè)集合,描述這種程度的就是模糊數(shù)學(xué)中的隸屬函數(shù)。當(dāng)考慮結(jié)構(gòu)由“完全失穩(wěn)”到“完全穩(wěn)定”之間的中介過渡性時(shí),引入可以表征結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的隸屬函數(shù)μA(z)。工程中常用的隸屬函數(shù)的形式有半梯形分布、二次拋物線形分布、半正態(tài)分布、嶺型分布等。由于結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)既具有模糊性又具有隨機(jī)性,為一模糊隨機(jī)事件,根據(jù)模糊數(shù)學(xué)的理論,其發(fā)生的概率為:?Ρf=∫+∞-∞f(z)μA(z)dz(8)P?f=∫+∞?∞f(z)μA(z)dz(8)當(dāng)μA表示失效程度時(shí),μA接近于0時(shí),失效的可能性小;當(dāng)μA=0.5時(shí),處于最模糊狀態(tài),可作為傳統(tǒng)分析時(shí)的極限平衡狀態(tài);當(dāng)μA=1時(shí),失效的可能性大。分別用表征結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的三種隸屬函數(shù)進(jìn)行分析比較。降半梯形分布:μA(z)={0z≥bb-zb-a?a＜z＜b1?z≤a(9)μA(z)=?????0z≥bb?zb?a?a＜z＜b1?z≤a(9)二次拋物線形分布:μA(z)={0z≥b(b-zb-a)2a＜z＜b1?z≤a(10)μA(z)=?????0z≥b(b?zb?a)2a＜z＜b1?z≤a(10)嶺形分布:μA(z)={0?z≥b12-12sinπb-a(z-b+a2)a＜z＜b1z≤a(11)μA(z)=???????0?z≥b12?12sinπb?a(z?b+a2)a＜z＜b1z≤a(11)由于結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)具有隨機(jī)性,可用其均值進(jìn)行模擬。由式(2)得:E(Z)=E(R)-E(S)(12)式中:E(Z)為功能函數(shù)均值;E(R)為抗滑力均值;E(S)為滑動(dòng)力均值。當(dāng)結(jié)構(gòu)處于極限平衡狀態(tài)時(shí),E(Z)=0,即E(R)=E(S),此時(shí)μA(z)=0.5;一般結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定安全系數(shù)K取為1.5,可認(rèn)為當(dāng)K≥2時(shí),μA(z)=0,此時(shí)E(R)=2E(S),E(Z)=E(R)-E(S)=E(S)。將Z用均值E(Z)模擬,代入(9)、(10)、(11)中分別可得:μA(z)={0z≥E(S)E(S)-z2E(S)?-E(S)＜z＜E(S)1?z≤-E(S)(13)μA(z)={0z≥E(S)(E(S)-z2E(S))2-E(S)＜z＜E(S)1?z≤-E(S)(14)μA(z)=???????0z≥E(S)E(S)?z2E(S)??E(S)＜z＜E(S)1?z≤?E(S)(13)μA(z)=?????????0z≥E(S)(E(S)?z2E(S))2?E(S)＜z＜E(S)1?z≤?E(S)(14)μA(z)={0z≥E(S)12-12sinπE(S)-(-E(S))(z-E(S)+(-E(S))2)-E(S)＜z＜E(S)1z≤-E(S)(15)μA(z)=?????????0z≥E(S)12?12sinπE(S)?(?E(S))(z?E(S)+(?E(S))2)?E(S)＜z＜E(S)1z≤?E(S)(15)在計(jì)算分析中,若視結(jié)構(gòu)的幾何尺寸為常量,將土體的重度γ及抗剪指標(biāo)c,φ等作為隨機(jī)正態(tài)變量,簡(jiǎn)化假設(shè)R,S也服從正態(tài)分布,則Z近似服從正態(tài)分布,其概率密度函數(shù)為:f(z)=1√2πσzexp[-12(z-E(Ζ)σz)2](16)f(z)=12π√σzexp[?12(z?E(Z)σz)2](16)將式(13)、(14)、(15)、(16)分別代入式(8)即可求得結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的模糊概率?pp?f,結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的模糊可靠度為:?β=?Φ-1(1-?pf)(17)常規(guī)的概率極限狀態(tài)設(shè)計(jì)對(duì)于結(jié)構(gòu)失效的認(rèn)識(shí)還是基于一種“點(diǎn)狀態(tài)”,而實(shí)際結(jié)構(gòu)中的“失效”是一個(gè)漸進(jìn)的過程。因此引入隸屬函數(shù)的模糊可靠度比常規(guī)可靠度更加符合客觀實(shí)際。2模糊性驗(yàn)證度北京某標(biāo)志性工程深基坑地下連續(xù)墻結(jié)構(gòu)示意圖見圖1。其中,每延米錨桿拉力F=2200kN/m,標(biāo)準(zhǔn)差σ1=22kN/m,土體重度γ=21kN/m3,標(biāo)準(zhǔn)差σ2=2.1kN/m3,內(nèi)摩擦角φ=30°,c=0,計(jì)算結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的模糊可靠度。土體的主動(dòng)土壓力可按規(guī)范法計(jì)算,查表可得主動(dòng)土壓力系數(shù)K0=0.33。1抗起毛作用靜止土壓力計(jì)算公式E0=12Κ0γΗ2(18)式中:E0為作用在每延米墻體上的靜止土壓力合力,kN/m;H為墻體高度,m。根據(jù)式(18)可分別計(jì)算出作用在墻體左右兩側(cè)土體靜止土壓力Ea=859.5kN/m及Eb=2964.5kN/m2功能函數(shù)z的平均值和離散度(1)墻體左0靜土壓力合力E(R)=F×cos15°×H3+Ea×x2=62843,kN式中:x2為墻體左側(cè)靜止土壓力合力作用點(diǎn)距墻體固端的距離,m;H3為錨桿拉力作用點(diǎn)距墻體固端的距離,m。(2)滑動(dòng)力平衡E(S)=Eb×x1=28905,kN式中:x1為墻體右側(cè)靜止土壓力作用點(diǎn)距墻體固端的距離,m。(3)功能函數(shù)的z平均值E(Z)=E(R)-E(S)=33939,kN(4)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的模糊可靠度計(jì)算由式(5)可得功能函數(shù)Z方差σZ=2512.8kN將計(jì)算結(jié)果分別代入式(16)、(13)、(14)、(15)及式(8)可得結(jié)構(gòu)的模糊概率分別為:?pf=∫+∞-∞f(z)μA(z)dz={0.3653×10-30.1078×10-40.2658×10-4,由式(17)并查表得,結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的模糊可靠度分別為:某重力式擋土墻,墻后用級(jí)配良好的砂礫料回填(見圖3),其中砌體重度γ1=24kN/m3,標(biāo)準(zhǔn)差σ1=2.4kN/m3;回填料重度γ2=20.6kN/m3,標(biāo)準(zhǔn)差σ2=2.06kN/m3,φ=32°,c=0;墻背平直,光滑。計(jì)算擋土墻穩(wěn)定性的模糊可靠度。不計(jì)墻前填土的被動(dòng)土壓力。墻后填土的主動(dòng)土壓力可按規(guī)范法計(jì)算,查表可得主動(dòng)土壓力系數(shù)K0=0.199。經(jīng)計(jì)算,結(jié)構(gòu)的模糊概率分別為:?pf=∫+∞-∞f(z)μA(z)dz={0.3540×10-30.3104×10-40.7540×10-4由式(17)并查表得,結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的模糊可靠度分別為:?β=?Φ-1(1-?pf)={3.33.93.83結(jié)構(gòu)模糊可靠度偏低選用了三種典型的隸屬函數(shù)以及常用的功能函數(shù),對(duì)巖土工程中常遇到的地下連續(xù)墻和擋土墻進(jìn)行了結(jié)構(gòu)模糊可靠度計(jì)算分析,結(jié)果表明:1)三種隸屬函數(shù)中,采用降半梯形隸屬函數(shù)計(jì)算所得的結(jié)果