單調(diào)性與最大（小）值2

函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲担ǖ谝徽n時(shí)）

如圖為我市某天24小時(shí)內(nèi)的氣溫變化圖．觀察這張氣溫變化圖：問題1：說出氣溫在哪些時(shí)段內(nèi)是逐步升高的或下降的？問題2：怎樣用數(shù)學(xué)語言來刻畫上述時(shí)段內(nèi)“隨著時(shí)間的增大氣溫逐漸升高”這一特征？t1t2f(t1)f(t2)xyoxyoabab[a，b]上，函數(shù)

y

隨x

的增大而減小在[a，b]上，函數(shù)

y隨x

的增大而增大——單調(diào)遞增性——單調(diào)遞減性通俗定義問題3：如何用數(shù)學(xué)語言來精準(zhǔn)地描述函數(shù)的這種增減性呢？一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D

I．如果對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)值x1、x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＜f(x2)，那么就說y＝f(x)在區(qū)間D上是單調(diào)增函數(shù)，D稱為y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間．

單調(diào)增函數(shù)xyoabf（x1）x1x2f（x2）問題4：類比單調(diào)增函數(shù)概念，你能給出單調(diào)減函數(shù)的概念嗎？f（x1）x1x2f（x2）Oxy一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D

I．如果對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)值x1、x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說y＝f(x)在區(qū)間D上是單調(diào)減函數(shù)，D稱為y＝f(x)的單調(diào)減區(qū)間．

單調(diào)減函數(shù)說明（1）函數(shù)的單調(diào)性也叫函數(shù)的增減性；（2）函數(shù)的單調(diào)性是對某個(gè)區(qū)間而言的，它是個(gè)局部概念。這個(gè)區(qū)間是定義域的子集。（3）單調(diào)區(qū)間：針對自變量x

而言的。若函數(shù)在此區(qū)間上是增函數(shù)，則區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間若函數(shù)在此區(qū)間上是減函數(shù)，則區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間yxoy=kx+b(k>0)yxoy=kx+b(k<0)1.一次函數(shù)的單調(diào)性結(jié)論：2.二次函數(shù)的單調(diào)性xyO練習(xí)：3.反比例函數(shù)的單調(diào)性yOx例1.如圖是定義在閉區(qū)間[-5,5]上的函數(shù)y=f(x)的圖象，根據(jù)圖象說出y=f(x)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，y=f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)。在區(qū)間[-2,1),[3,5]上是增函數(shù)。答：函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5],其中y=f(x)在區(qū)間[-5,-2),[1,3)上是減函數(shù)，證：在區(qū)間（－∞，0）上任意取兩個(gè)值，且，

∵∴

即∴例2.證明：函數(shù)在區(qū)間（－∞，0）上是單調(diào)減函數(shù)．∴

在區(qū)間（－∞，0）上是單調(diào)減函數(shù)．取值作差變形定號判斷則證：在區(qū)間[－1，＋∞）上任意取兩個(gè)值，且，練習(xí).證明：函數(shù)在區(qū)間［－1，＋∞）上是單調(diào)增函數(shù)．∴

在區(qū)間[－1，＋∞）上是單調(diào)增函數(shù)．∴

即∴∵取值作差變形定號判斷則１．討論函數(shù)的單調(diào)性必須在定義域內(nèi)進(jìn)行，即函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集．因此討論函數(shù)的單調(diào)性，必須先確定函數(shù)的定義域；2.函數(shù)的單調(diào)性是針對給定區(qū)間而言的.3．根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟是：(1)取值且x1<x2；(2)作差f(x1)－f(x2)；并將此差式變形(要注意變形的程度)；(3)判斷f(x1)－f(x2)的正負(fù)(要注意說理的充分性)；（定號）(4)下結(jié)論。

①圖象判斷②定義證明要求：課堂小結(jié)2.討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.提升訓(xùn)練2、若定義在R上的單調(diào)減函數(shù)滿足，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍嗎？1、定義在R上的單調(diào)函數(shù)滿足，那么函數(shù)是R上的單調(diào)增函數(shù)還是單調(diào)減函數(shù)？請思考下列問題:0函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲担ǖ诙n時(shí)）圖象上有一個(gè)最低點(diǎn)（0,0），即對于任意的，都有圖象沒有最低點(diǎn)。yx觀察一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：（1）對于任意的，都有；（2）存在，使得那么，我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值（maximumvalue）。你能給出函數(shù)最小值的定義嗎？函數(shù)的最大（?。┲店P(guān)于函數(shù)最大（小）值的幾點(diǎn)說明:1.一個(gè)函數(shù)不一定有最值，例如2.若函數(shù)有最大(或最小)值，則一定唯一的,但取最值時(shí)的自變量卻可以有多個(gè).例如:例1.求函數(shù)y=x2-2x+3分別在下列范圍上的最值.（1）R（2）[2,4]（3）[-2,0]（4）[-2,4]X=1Oxy24-2例2、“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一.制造時(shí)一般是期望在它達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂.如果在距地面高度hm與時(shí)間ts之間的關(guān)系為:h(t)=-4.9t2+14.7t+18

，那么煙花沖出后什么時(shí)候是它的爆裂的最佳時(shí)刻？這時(shí)距地面的高度是多少（精確到1m）解：作出函數(shù)h(t)=-4.9t2+14.7t+18的圖象(如圖).顯然，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)就是煙花上升的最高點(diǎn)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是煙花爆裂的最佳時(shí)刻，縱坐標(biāo)就是這時(shí)距地面的高度.

由于二次函數(shù)的知識，對于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我們有:

于是，煙花沖出后1.5秒是它爆裂的最佳時(shí)刻,這時(shí)距地面的高度為29m.例3.求函數(shù)在區(qū)間[2，6]上的最大值和最小值．

解：設(shè)x1,x2是區(qū)間[2,6]上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1<x2,則由于2<x1<x2<6,得x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是所以，函數(shù)是區(qū)間[2,6]上的減函數(shù).

因此,函數(shù)在區(qū)間[2,6]上的兩個(gè)端點(diǎn)上分別取得最大值和最小值，即在點(diǎn)x=2時(shí)取最大值，最大值是2，在x=6時(shí)取最小值，最小值為0.4.

求函數(shù)的最大（?。┲档姆椒?.利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值;2.利用圖象求函數(shù)的最大（?。┲?3.利用函數(shù)單調(diào)性的求函數(shù)的最大（?。┲?

鞏固練習(xí)1、函數(shù)f(x)=x2+4ax+2在區(qū)間(-∞，6]內(nèi)遞減，則a的取值范圍是()A、a≥3B、a≤3C、a≥-3D、a≤-3D2、在已知函數(shù)f(x)=4x2-mx+1,在(-∞，-2]上遞減，在[-2,+∞)上遞增，則f(x)在[1,2]上的值域____________.[21,49]3、分別在下列各范圍上求函數(shù)y=x2+2x－3的最值.(1)RO-2xy2-1(2)-1≤x≤2(3)－2≤x≤2（1）函