探索勾股定理 省賽獲獎(jiǎng)

初中數(shù)學(xué)八年級(jí)——勾股定理勾股定理探索與驗(yàn)證

這是我們中國古代的一道數(shù)學(xué)問題，它的求解，將要涉及今天我們開始學(xué)習(xí)的新的一章《勾股定理》的知識(shí)。創(chuàng)設(shè)情境，揭示問題湖靜浪平六月天，荷花半尺出水面；忽來一陣狂風(fēng)急，吹倒荷花水中偃；湖面之上不復(fù)見，入秋漁翁始發(fā)現(xiàn)；殘花離根二尺遠(yuǎn)，試問水深尺若干。

勾股定理有著悠久的歷史。古巴比倫的人和古代中國人看出了這個(gè)關(guān)系；古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派首先證明了這個(gè)關(guān)系。很多具有古老文化的民族和國家都會(huì)說：我們首先認(rèn)識(shí)的數(shù)學(xué)定理是勾股定理。人類一直想要弄清其他星球是否存在著“人”，并試圖與“他們”取得聯(lián)系。那么我們?cè)鯓硬拍芘c“外星人”接觸呢？我們?cè)谩肮垂啥ɡ怼钡膱D來作為與“外星人”聯(lián)系的信號(hào)。

勾股定理有著悠久的歷史。古巴比倫的人和古代中國人看出了這個(gè)關(guān)系；古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派首先證明了這個(gè)關(guān)系。很多具有古老文化的民族和國家都會(huì)說：我們首先認(rèn)識(shí)的數(shù)學(xué)定理是勾股定理。人類一直想要弄清其他星球是否存在著“人”，并試圖與“他們”取得聯(lián)系。那么我們?cè)鯓硬拍芘c“外星人”接觸呢？我們?cè)谩肮垂啥ɡ怼钡膱D來作為與“外星人”聯(lián)系的信號(hào)。

現(xiàn)在我們大家來試一試：我們可不可以發(fā)現(xiàn)勾股定理！溫故知新三角形按邊分類按角分類探索研究，學(xué)習(xí)新知直角邊1直角邊2斜邊1：342：68快樂之旅試一試請(qǐng)你用刻度尺和直角三角尺畫圖：1、用直角三角板畫出直角；2、用刻度尺畫出兩條直角邊，一條長(zhǎng)3厘米，另一條為4厘米。3、畫出斜邊，并度量出斜邊的長(zhǎng)度。4、再用相同的方法畫出直角邊為6、8的直角三角形，量出斜邊的長(zhǎng)度，并將各邊的長(zhǎng)度填入下表（不清楚操作過程的看老師在黑板上的操作）510

你想一想：這直角三角形三邊之間有沒有一定的等量關(guān)系？1.在方格紙上畫一個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上的直角三角形ABC，使兩直角邊分別為3cm和4cm，如圖3-79所示，試量出它的斜邊c的長(zhǎng)度.探究b=4ACc=?我量的為5cm.Ba=3（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）abcACB9個(gè)單位面積9個(gè)單位面積18個(gè)單位面積直角邊a2+直角邊b2=斜邊c2

在下面的直方格圖中，有一個(gè)等腰直角三角形，并分別以三邊為邊長(zhǎng)作出了正方形，請(qǐng)你觀察并思考：

（1）你能用三角形的邊長(zhǎng)表示正方形的面積嗎？（2）你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長(zhǎng)度之間存在什么關(guān)系嗎？與同伴進(jìn)行交流。觀察思考：ABC（單位面積）ABC我們也可以采用計(jì)算的方法,找出直角三角形三邊的關(guān)系此處是如何計(jì)算出C的面積的?ABC圖1-3反思:注意分割的方法,分割成若干個(gè)直角邊為整數(shù)的三角形（面積單位）問題:如果不是等腰直角三角形,是否同樣具有其相同的性質(zhì)呢?我們注意觀察右圖:

SA+SB=SC即：兩條直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形的面積

勾股定理（gou-gutheorem)

如果直角三角形兩直角邊分別為a、b,斜邊為c，那么即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。abc勾股弦在西方又稱畢達(dá)哥拉斯定理！概括:

我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的邊稱為股，斜邊稱為弦。在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為"勾"，下半部分稱為"股"。我國古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長(zhǎng)的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.勾股數(shù)學(xué)醫(yī)院a2+b2=c2是勾股定理的基本表達(dá)式,你可以寫出那些它基本的變化形式呢?把你的想法寫在草稿上,與同學(xué)交流一下.a2+b2=c2a2=c2-b2b2=c2-a2平方形式:abc表達(dá)形式1、判斷：(1)已知a、b、c是三角形的三邊，則a2+b2=c2()(2)在直角三角形中兩邊的平方和等于第三邊的平方。（）(3)在直角三角形ABC中,,則a2+b2=c2

（）2、填空：在直角三角形ABC中，∠C=900（1）如果a=3，b=4，則c=（2）如果a=6，C=10，則b2=

舉手發(fā)言×××564勾股定理的故事美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話．

美國總統(tǒng)能證明勾股定理，我們也能證明勾股定理！1876年、周末、傍晚、美國首都華盛頓的郊外、俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德、散步，欣賞黃昏的美景．一個(gè)小石凳上，有兩個(gè)小孩正在爭(zhēng)論．只見一個(gè)小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個(gè)直角三角形．伽菲爾德問他們?cè)诟墒裁?？小男孩頭也不抬地說：“請(qǐng)問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那么斜邊長(zhǎng)為多少呢？”伽菲爾德答到：“是5呀．”小男孩又問道：“如果兩條直角邊分別為5和7，那么這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)又是多少？”伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又說道：“先生，你能說出其中的道理嗎？”伽菲爾德語塞，無法解釋，心理很不是滋味。于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題。他經(jīng)過反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡(jiǎn)潔的證明方法。

我們將利用拼圖法來證明勾股定理：cab

請(qǐng)大家相互合作，用準(zhǔn)備好的四個(gè)直角三角形紙板拼成一個(gè)正方形，拼一拼看，你們能拼出幾種正方形？

根據(jù)你拼的正方形，你能否就你拼出的圖說明a2+b2=c2？勾股定理的證明合作探究cabcabcabcabcabcabcabcabcabcabcab∵(a+b)2=

c2+4?ab/2a2+2ab+b2=

c2+2ab∴a2+b2=c2

大正方形的面積可以表示為________；也可以表示為________.(a+b)2c2+4?ab/2想一想：我們?nèi)绾卫蒙厦娴膱D形建立關(guān)于直角三角形的三邊關(guān)系呢？指點(diǎn)迷津

1.將圖沿中間的小正方形的對(duì)角線剪開，得到如圖所示的梯形.利用此圖的面積表示式驗(yàn)證勾股定理.

2.如圖，分別以直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外作正方形，然后分別以三個(gè)正方形的中心為圓心、正方形邊長(zhǎng)的一半為半徑作圓.試探索三個(gè)圓的面積之間的關(guān)系.

3.如圖，已知直角三角形ABC的三邊分別為6、8、10，分別以它的三邊為直徑向上作三個(gè)半圓，求圖中陰影部分的面積.4.如圖，以Rt△ＡＢＣ的三邊為直徑分別向外作三個(gè)半圓，試探索三個(gè)半圓的面積之間的關(guān)系．反思:我們用面積方法驗(yàn)證了勾股定理,我們也可以用勾股定理考察面積關(guān)系.對(duì)比思考下列各題小小測(cè)驗(yàn)感受新知cabcabcabcab

請(qǐng)你根據(jù)左邊的拼圖，驗(yàn)證勾股定理。

驗(yàn)證：小正方形的面積可以表示為(a-b)2；也可以表示為c2-4?ab/2.

∵(a-b)2=c2-4?ab/2a2-2ab+b2=c2-2ab

∴a2+b2=c2學(xué)幾何的人都知道勾股定理．它是幾何中一個(gè)比較重要的定理，應(yīng)用十分廣泛．迄今為止，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種．你要了解更多的有關(guān)勾股定理的知識(shí)嗎？請(qǐng)上網(wǎng)查一查吧！本節(jié)課你有什么收獲？1、用數(shù)直方格的方法，利用面積相等，探索了勾股定