數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入》內(nèi)容擴(kuò)充數(shù)信學(xué)院2010級研究生學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）謝蘇理2010120029"實數(shù)"、"虛數(shù)"這兩個詞是由法國數(shù)學(xué)家笛卡爾在1637年率先提出來的。而用i表示虛數(shù)的單位是18世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家歐拉的功績。后來的人在這兩個成果的基礎(chǔ)上，把實數(shù)和虛數(shù)結(jié)合起來，記成a+bi形式，稱為復(fù)數(shù)。在本專題中，我們將了解數(shù)系擴(kuò)充的過程以及復(fù)數(shù)的在某些領(lǐng)域的應(yīng)用，學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的一些基本知識，體會復(fù)數(shù)解題的數(shù)學(xué)思想．一、 開設(shè)意義數(shù)系擴(kuò)充的過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，同時體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的客觀需求，復(fù)數(shù)的引入是中學(xué)階段數(shù)系的又一次擴(kuò)充，體會實際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾（數(shù)的運算規(guī)則、方程求根）在數(shù)系擴(kuò)充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系．二、 內(nèi)容與要求了解數(shù)系的擴(kuò)充過程。理解復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)相等的充要條件．了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算，了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義．三、 復(fù)數(shù)的應(yīng)用在復(fù)數(shù)集中出現(xiàn)了“虛數(shù)”一詞，給人一種“虛無縹緲”的感覺，教材上則引用了萊布尼茨的話：“虛數(shù)是奇妙的人類精神寄托，它好像是存在與不存在間的一種兩棲動物?！逼鋵?，虛數(shù)一點也不虛，用處還非常大。我們先從一個古老的傳說說起。（一） 一個有趣的故事從前有個叫巴達(dá)的年輕人在他祖父的遺囑中發(fā)現(xiàn)了一張精致的紙片，上面記載了祖父的遺產(chǎn)的埋藏的地方：“乘船至xx島，即可在該島找到一大片草地。草地上有一株橡樹和一株松樹，還有一間草房，那間草房是我們在島上休息的地方。從草房走到橡樹并記住走了多少步，到了橡樹向右拐個直角再走這么多步，并在這里做個記號。然后回到草房，再朝松樹走去，同時記住所走的步數(shù)，到了松樹向左拐個直角再走這么多步，在這里也做個記號，在兩個記號的正當(dāng)中挖掘，就可找到埋藏的遺產(chǎn)。”這份遺囑說得很清楚，于是巴達(dá)便與自己的三個兄弟一起來到這座小島，找到了橡樹和松樹，但使他大失所望的是，由于長時間的風(fēng)吹日曬雨淋，草房早已腐爛不見，連一點痕跡也看不出來了。巴達(dá)決定在小島上探尋，他們挖了三天三夜，結(jié)果一無所獲。地方實在太大了，一切的努力都是徒勞的。（二） 用復(fù)數(shù)知識幫幫巴達(dá)很遺憾，由于巴達(dá)他們不懂得復(fù)數(shù)的知識，沒能找到遺產(chǎn)的正確位置，致使遺產(chǎn)仍被深埋地下。現(xiàn)在我們來幫他找找看，讓這份遺產(chǎn)重見光明。在幫巴達(dá)找遺產(chǎn)之前，我們來補(bǔ)充一些復(fù)數(shù)的相關(guān)知識：兩個復(fù)數(shù)的差的模就是復(fù)平面內(nèi)與這兩個復(fù)數(shù)對應(yīng)的兩點間的距離。即如圖示，OA-OB二AB一個復(fù)數(shù)乘土i的幾何意義：一個非零復(fù)數(shù)乘虛數(shù)單位i的幾何意義，就是將該復(fù)數(shù)所對應(yīng)的向量逆時針旋轉(zhuǎn)900。同理一個非零復(fù)數(shù)乘-i的幾何意義是將該復(fù)數(shù)所對應(yīng)的向量順時針旋轉(zhuǎn)900?，F(xiàn)在我們一起來尋找故事中埋藏遺產(chǎn)的地點。我們以橡樹和松樹兩個樹干的接地點（分別用M,N表示）所在直線為實軸（x軸），以MN的中垂線為虛軸（y軸），在小島上建立復(fù)平面。如果以兩樹接地點之間的距離的一半作為單位長度，那么橡樹M位于實軸上的點-1處，松樹N則在點+1處。在這個復(fù)平面中，設(shè)原來的草房的位置所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=a+bi（a,beR），對應(yīng)的向量為oz。如圖示下面進(jìn)行復(fù)數(shù)運算。從草房Z走到橡樹M,對應(yīng)的向量是ZM，對應(yīng)的復(fù)數(shù)是-1-a-bi.到了橡樹M后向右拐個直角再走這么多步到達(dá)記號(設(shè)為M1)處，對應(yīng)向量MM],對應(yīng)的復(fù)數(shù)為：—ZMxi——(—1—a—bi)xi=—b+(a+1)i，則M】對應(yīng)的復(fù)數(shù)是—1—b+(1+a)i從草房Z走到松樹N,對應(yīng)的向量是ZN，對應(yīng)的復(fù)數(shù)是1-a-bi.到了松樹N后向左拐個直角再走這么多步到達(dá)記號(設(shè)為ni)處，對應(yīng)向量NN1，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為：—ZNx(—i)——(1—a—bi)x(—i)—b+(1—a)i，則N對應(yīng)的復(fù)數(shù)是1+b+(1—a)i.1由于埋藏的遺產(chǎn)在兩個記號的正當(dāng)中，故只要求出復(fù)數(shù)-1-b+(1+a)i與1+b+(1—a)i之和的一半就可以了。事實上：{[—1—b+(1+a)i]+[1+b+(1—a)i]}一2—i從而可知，埋藏的遺產(chǎn)在這個復(fù)平面上的復(fù)數(shù)i所對應(yīng)的點處。這說明，我們無須知道草房所在的位置，就可以找到埋藏的遺產(chǎn)。復(fù)數(shù)在實際生產(chǎn)生活中的應(yīng)用建立了復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點和向量之間的一一對應(yīng)關(guān)系后，復(fù)數(shù)就不僅在數(shù)學(xué)上吸引人，而且在實際生產(chǎn)生活中也是極其有用的。如復(fù)數(shù)可以表示力、位移、速度和電場強(qiáng)度等向量。復(fù)數(shù)的第一次精彩的科學(xué)應(yīng)用是由斯泰因米茨實現(xiàn)的，他發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)在涉及交流電的高效率計算中發(fā)揮了重要作用。19世紀(jì)以后，復(fù)數(shù)在流體力學(xué)、熱力學(xué)等方面有著很多應(yīng)用。20世紀(jì)以來，復(fù)變函數(shù)理論在被廣泛應(yīng)用于理論物理，彈性理論，天體力學(xué)等方面。今天，沒有哪個電氣工程師可以離開復(fù)數(shù)，搞空氣動力學(xué)、流體力學(xué)也是這樣。愛因斯坦的相對論中也用到了復(fù)數(shù)，即把空間三個維數(shù)看作實數(shù)，而把時間維數(shù)看作虛數(shù)。四、 內(nèi)容補(bǔ)充(一)數(shù)與數(shù)系的擴(kuò)充1.擴(kuò)充歷史簡介數(shù)是我們生活中表示數(shù)量關(guān)系的尺度，從遠(yuǎn)古時期以繩打結(jié)，刻痕的記數(shù)方式到復(fù)數(shù)的產(chǎn)生，經(jīng)歷了漫長的歷程。數(shù)與數(shù)系擴(kuò)張的主要途徑是解方程。遠(yuǎn)古時期以繩打結(jié)等記數(shù)方式，說明人們已經(jīng)有了樸素的數(shù)的概念，這就是數(shù)的萌芽時期，隨著社會的發(fā)展，由于經(jīng)濟(jì)生活的需要，使人類在長期生產(chǎn)實踐中積累了大量的數(shù)學(xué)知識，逐漸形成了正整數(shù)的概念，并產(chǎn)生了數(shù)的運算。隨著方程論的進(jìn)展，數(shù)的概念得以逐漸的擴(kuò)張。由解形如X+a=0（a>0）這種方程，將自然數(shù)擴(kuò)張到了整數(shù)：由解ax-b=0（b不能被a整除）的方程將整數(shù)擴(kuò)張到了分?jǐn)?shù)，從而產(chǎn)生了有理數(shù)。又由解形如x2二a（a>o）的方程，得出x二土、払，從而定義出無理數(shù)（當(dāng)然在幾何作圖方面也發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)）。有理數(shù)和無理數(shù)合起來構(gòu)成了實數(shù)系。在此之后的一個重大突破是由解形如x2+1=0的方程將實數(shù)系擴(kuò)張到了復(fù)數(shù)系。在數(shù)系擴(kuò)張的過程中，三個有意義的發(fā)現(xiàn)是負(fù)數(shù)、無理數(shù)和虛數(shù)。七世紀(jì)印度的婆羅摩得多給出了負(fù)數(shù)的運算法則。印度1000一1500年間最突出的數(shù)學(xué)家婆什伽羅全面討論了負(fù)數(shù)，建立起了完移的負(fù)數(shù)概念。無理數(shù)最早是由希臘人發(fā)現(xiàn)的他們注意到了存在不可約通量，但卻是由印度數(shù)學(xué)家先使用了無理數(shù)。無理數(shù)的誕生幾經(jīng)磨難，它不但出現(xiàn)在解方程中，同時也出現(xiàn)在幾何問題中。有這樣一個傳說古希臘某地流行瘟疫，人們求助于太陽神，神說將他的正方形的供桌加大一倍，即可免去瘟疫。于是，人們馬上將供桌的各邊長加大了一倍。但瘟疫非但沒有免去，反而更猖撅了。無奈，人們求教于柏拉圖。柏拉圖說：“你們搞錯了，神要你們將供桌的面積增大一倍?！边@樣，當(dāng)桌子面積S=2（單位）時，桌子邊長x ，這便是一個無理數(shù)。我們知道，實數(shù)加上虛數(shù)就構(gòu)成了復(fù)數(shù)系。然而虛數(shù)概念的建立，過程更為漫長。古代時期人們已經(jīng)能解二次甚至更高次的方程，但對x2+1=0這種看起來很簡單的方程，使當(dāng)時許多數(shù)學(xué)家束手無策。一個數(shù)的平方可以為負(fù)嗎？數(shù)學(xué)界感到困惑不解。經(jīng)過長期的研究、探討，一些數(shù)學(xué)家終于沖破了傳統(tǒng)概念的束縛，引人了虛數(shù)單位，進(jìn)而建立了復(fù)數(shù)系。1945年，卡當(dāng)認(rèn)真地討論了虛數(shù)，給出了運算法則，并承認(rèn)它是方程的根。1637年，笛卡爾在《幾何學(xué)》中第一次給出了虛數(shù)的名稱：“imaginaires”（虛的）。1777年，歐拉在遞交給彼德堡科學(xué)院的論文《微分公式》中首先用i表示i-T。直到1801年高斯系統(tǒng)地用了這個符號后，才逐漸地通行于全世界。虛數(shù)的幾何表示發(fā)現(xiàn)之前，總給人以虛無縹緲的感覺。數(shù)學(xué)家凡里上首先意識到在直線上找不到虛數(shù)的幾何表示，而真正給出虛數(shù)合理解釋的是未塞爾。他用+1表示正方向的單位,+￡表示另一種單位，方向與前者垂直且有相同的原點，記=￡。除了復(fù)數(shù)單位的符號不同之外，和現(xiàn)代復(fù)平面的表示法一致復(fù)數(shù)的幾何解釋幫助人們直觀地理解它的真正意義——它可以看成一種平面向量。1806年，日內(nèi)瓦的阿工給出了復(fù)數(shù)的長度，稱之為模。至此，復(fù)數(shù)的概念基本上建立起來了。復(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)和其他科學(xué)中日益起著不可估量的作用，19世紀(jì)中葉以后發(fā)展成了一個龐大的數(shù)學(xué)分支——復(fù)變函數(shù)論。2.數(shù)系擴(kuò)充的方法數(shù)系擴(kuò)充的方法主要有兩種：一是添加新元素法，二是構(gòu)造法：1）添加新元素法從小學(xué)到現(xiàn)在，隨著學(xué)習(xí)的深入，我們遇到的數(shù)學(xué)知識的不斷積累，隨著問題難度的增加，我們經(jīng)歷了一次次數(shù)系的擴(kuò)充，以解方程為例，請看下表方程在自然數(shù)范圍在整數(shù)范圍在有理數(shù)范圍在實數(shù)范圍在復(fù)數(shù)范圍x+2二5x=3x+5二2無解x=—35x-1二0無解無解1x=—5x2一2=0無解無解無解x=±十'2X2+1=0無解無解無解無解x=±i為了使方程有解，我們在自然數(shù)集中添加“負(fù)數(shù)”，然后數(shù)系就擴(kuò)充到了整數(shù)集；在整數(shù)集中添加了“分?jǐn)?shù)”，數(shù)系就擴(kuò)充到了有理數(shù)；在有理數(shù)集中添加了“無理數(shù)”，數(shù)系就擴(kuò)充到了實數(shù)集；在實數(shù)集中添加了“虛數(shù)”，數(shù)系就擴(kuò)充到了復(fù)數(shù)集。這就是數(shù)系擴(kuò)充的一種方法——添加新元素法。2）構(gòu)造法構(gòu)造法是一種很科學(xué)的數(shù)系擴(kuò)充的方法。由一個集合A擴(kuò)充到另一個集合B,下面四個特點：i.AuB；（如NuQuRuC）A中不可能永遠(yuǎn)可行的運算在B中永遠(yuǎn)可行；（如在自然數(shù)集中減法不可能永遠(yuǎn)可行,但是在整數(shù)集中減法永遠(yuǎn)可行）B是A的最小擴(kuò)充；（擴(kuò)充的過程是一點一點擴(kuò)充過來的，不存在跳躍的可能性）A中某些性質(zhì)在B中會失去。（如在實數(shù)集中可以比較大小，但是在復(fù)數(shù)集中就不可以比較大小）（二）談?wù)剰?fù)數(shù)不能比較大小的原因在教材中有這樣一句話：“兩個實數(shù)可以比較大小，但是兩個復(fù)數(shù)，如果不全是實數(shù)，它們之間就不能比較大小，只能說相等或者不相等?！睂τ谶@一點，在講課的時候老師都會給學(xué)生說明復(fù)數(shù)集內(nèi)是不定義大小的?？墒菍W(xué)生卻常常不能理解，為什么復(fù)數(shù)就不能定義大小呢？有學(xué)生提出這樣的問題：因為(3+2i)—(1+2d)>0，所以(3+2d)>(1+2d).既然3+2i與1+2i都可以比較出大小，那么復(fù)數(shù)為什么就不能比較大小呢？當(dāng)然，這里學(xué)生把實數(shù)不等式的性質(zhì)a-b>0則a〉b錯誤的用到了復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，但是，學(xué)生提出這樣的疑問，如果教師不能給出一個合理的解釋，是很難讓學(xué)生信服的。有的教師解釋成復(fù)數(shù)對應(yīng)平面內(nèi)的點，所以不能比較大小，這樣不僅不能給學(xué)生一個正確的解答，還會給學(xué)生造成思維的混亂，不利于學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識。數(shù)集的結(jié)構(gòu)和數(shù)系的擴(kuò)充：人們通常在數(shù)集上建立兩種結(jié)構(gòu)：運算結(jié)構(gòu)與序結(jié)構(gòu)。比較大小就是研究序結(jié)構(gòu)。大小作為一種關(guān)系，通常要求滿足下面的兩個條件：對于集合中的任意兩個元a,b，下面三種關(guān)系必有一種成立且僅有一種成立：a〉b,a=b，a<b；如果a〉b,b〉c，則a〉c.為了使序結(jié)構(gòu)與運算結(jié)構(gòu)諧調(diào)，大小關(guān)系還要滿足下面的兩個條件：乘法的單調(diào)性：如果a〉b,c>0,則ac〉bc；加法的單調(diào)性：如果a〉b，則a+c〉b+c.在數(shù)系的擴(kuò)充過程中，如果在新的數(shù)系中定義運算關(guān)系與序關(guān)系，要使得原數(shù)系中的數(shù)仍然保持原有的運算與大小關(guān)系。復(fù)數(shù)集是有序集首先，把實數(shù)集上的大小關(guān)系擴(kuò)充到整個復(fù)數(shù)集上去，并且使之滿足順序律，這是毫無困難的，而且辦法還不止一種.例如，字典排序法：對任意的兩個復(fù)數(shù)a+bi與c+di，我們規(guī)定：若a<c，就算a+bi<c+di,若a=c，但b<d，就算a+bi<c+di.用語言敘述就是：兩個復(fù)數(shù)當(dāng)中實數(shù)部分大者，該復(fù)數(shù)就大;實數(shù)部分相等，而虛數(shù)部分的系數(shù)大者該復(fù)數(shù)就大.如此規(guī)定的復(fù)數(shù)之間的大小關(guān)系，就實數(shù)的情形來看，與原有的大小關(guān)系完全吻合，同時又一般地滿足所強(qiáng)調(diào)的順序律.復(fù)數(shù)集不是有序域(即不能在復(fù)數(shù)集上建立大小關(guān)系)但是，問題在于上述這種相當(dāng)自然的大小關(guān)系與復(fù)數(shù)運算之間的聯(lián)系已經(jīng)出現(xiàn)不夠和諧的現(xiàn)象.即已不可能維持所謂的單調(diào)性.這是很容易指出的.比如，按照這里的規(guī)定，對于i與0應(yīng)有0<i.于是，如果關(guān)于乘法具有單調(diào)性的話，那么就有這與已經(jīng)規(guī)定好的-1V0相矛盾.這就說明，上面規(guī)定的復(fù)數(shù)之間的相當(dāng)自然的大小關(guān)系不能保持關(guān)于乘法的單調(diào)性.其實，我們可以一般地證明，復(fù)數(shù)集上的任何一種大小關(guān)系（當(dāng)然是滿足順序律的大小關(guān)系）都必須放棄對單調(diào)性的要求.換句話說，在復(fù)數(shù)集上不存在滿足以下四個條件的大小系：1）對任意兩個復(fù)數(shù)與Q與0，下列三個關(guān)系有且只有一個成立：a<0,a=0,0<a2） 若a<0,0<Y,則a<y.3） 若a<0，丫為任意復(fù)數(shù)，則a+y<0+Y4） 若a<0,y>0，則ay<0y事實上，假如在復(fù)數(shù)集上能夠規(guī)定一個小于關(guān)系“<”，它同時滿足以上四個條件．我們考查0與i這兩個復(fù)數(shù).由