數(shù)值計(jì)算復(fù)習(xí)要點(diǎn)

數(shù)值分析復(fù)習(xí)要點(diǎn)引論1數(shù)值計(jì)算研究的對象與特點(diǎn)計(jì)算方法研究的對象是專門研究各種數(shù)學(xué)問題的計(jì)算機(jī)解法(數(shù)值解法)，包括方法的構(gòu)造和求解過程的理論分析及軟件實(shí)現(xiàn)，包括方法的收斂性、穩(wěn)定性以及誤差分析等.計(jì)算方法即具有純數(shù)學(xué)的抽象性與嚴(yán)密性的特點(diǎn)，又具有應(yīng)用的廣泛性與實(shí)驗(yàn)的技術(shù)性特占八、、?2誤差的概念2.1誤差的來源模型誤差：數(shù)學(xué)模型的解與實(shí)際問題的解之間出現(xiàn)的誤差，稱為模型誤差.測量誤差：在測量具體數(shù)據(jù)時(shí)產(chǎn)生的誤差稱為測量誤差.截?cái)嗾`差：數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確解與數(shù)值方法的準(zhǔn)確解之間的誤差稱為截?cái)嗾`差舍入誤差：由于計(jì)算機(jī)字長的限制而產(chǎn)生的誤差，稱為舍入誤差.2.2誤差的度量.絕對誤差與絕對誤差限.相對誤差與相對誤差限.有效數(shù)字2.3誤差的傳播和、差的誤差限不超過各誤差限的和.積、商的相對誤差限不超過各相對誤差限的和.3數(shù)值計(jì)算的若干原則避免兩相近數(shù)相減和絕對值太小的除數(shù)、簡化計(jì)算步驟、使用數(shù)值穩(wěn)定的算法方程求根1二分法用二分法求方程f(x)=0的實(shí)根x*的近似值，其主要思想是:將含有根x*的隔離區(qū)間二分，通過判斷二分點(diǎn)與邊界點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào)，逐步對半縮小隔離區(qū)間，直到縮小到滿足精度要求為止,然后取最后二分區(qū)間的中點(diǎn)為根x*的近似值.2迭代法一般地，為了求一元非線性方程f(x)=0的根,可以先將其轉(zhuǎn)換為如下的等價(jià)形式x= )然后構(gòu)造迭代公式.x =^(x)k=0,1,2 k+1 k3收斂性和收斂速度(收斂性基本定理)的條件和結(jié)論收斂速度的快慢可用收斂階來衡量?收斂速度的快慢可用收斂階來衡量?(收斂階)設(shè)序列匕收斂到x*，并記誤差e=1x—x*I.若存在常數(shù)p>1和c豐0，使得：lim-krr=ckk 5epk則稱序列l(wèi)x 是p階收斂的，當(dāng)p=1時(shí),稱為線性收斂，當(dāng)p>1時(shí),稱為超線性收斂,kk=0當(dāng)p=2時(shí),稱為二次收斂或平方收斂.4牛頓迭代公式及其收斂性牛頓迭代公式xk+1=xk一樹k=0丄2…牛頓法的收斂性設(shè)x*是方程f(x)=0的單根，并且f〃(x)在x*的鄰域上連續(xù)，則牛頓迭代法(3.4.1)至少平方局部收斂.解線性方程組的直接法1高斯消去法消元過程為：對k=1,2,…,n—1逐次計(jì)算:l=a(k—1)/a(k—1),(i=k+1,?…，n)ikik kka(k)=a(k—1)—la(k—1),(i,j=k+1,…，n)ij ij kjb(k)=b(k—1)—lb(k—1),(i=k+1,…，n)i i ikk回代過程：逐步回代求得原方程組的解x=b(n—1)/a(n—1)n n nnx=(b(k—1)一工a(k—1)x)/a(k—1),(k=n一1,n一2,?…,1)kk kjjkkj=k+1高斯消去法的乘除法總計(jì)算量為：131261211321

n3+n2—n+n2+n=n3+n2—n3 2 52 23 32高斯一約當(dāng)消去法約當(dāng)消去法的計(jì)算過程為:對于k=1,2,…,n計(jì)算：a(k)=a(k—1)/a(k—i)(j=k+1,?…,n+1)kj kj kka(k)=a(k—1)一a(k—1)xa(k)(i=1,2,…,n且i豐k;j=k+1,k+2,…,n+1)Iij ij ik kj乘除法的總次數(shù)為：—n3+—n2.22它比高斯消去法的計(jì)算量大，但不需要回代過程3向量和矩陣的范數(shù)、條件數(shù)

向量范數(shù):1范數(shù) 卜II=￡|x| 2范數(shù) ||x||=（￡|x|）12 3范數(shù) ||x||二max|x1 i 2 i 3 1<i<n'i=1 i=1矩陣的范數(shù)設(shè)x為n維向量，A為n階方陣，則算子范數(shù)：llAll=max A的行范數(shù)。3 1<i<n’ijj=1llAll=max A的列范數(shù)。1 1<j<ni=ij設(shè)A為n階可逆矩陣,則稱數(shù)Cond（A）=||a』?||a||為條件數(shù)：Cond(ACond(A)=||a|-||A-i||3 3Cond(A)=IIa!」A-i||1 i iCond(A)=IIaI-I|a-1||2 2 2分別稱為A的3-條件數(shù),1-條件數(shù)，2-條件數(shù)解線性方程組的迭代法1雅克比迭代法的迭代公式:X(k+1)iaX(k+1)iaiiI厶ax(k)+bijJij=1，j主i 丿矩陣形式：X(k+1)=BjX(k)+fBJ=I—D-1A，打=D-1b2高斯一賽德爾迭代法迭代公式為:X(k+1)iX(k+1)i1aiiIy—Jax(k+1)—

ijjv j=1Max(k)+bijjij=i+1 丿G=1,2, ,n)B=(D-AuG-B=(D-AuG-S=(D-L)-1bx(k)—x(k-1)||x(k)-x*||<IIBIkx⑴一x（0）成矩陣形式x(k+1)=B x(k)+fG-S JG-S3迭代法的收斂性判斷（迭代法收斂的基本定理）設(shè)有n階方程組x=Bx+f,對于任意初始向量x（0）和右端項(xiàng)f，迭代法收斂的充分必要條件是迭代矩陣的譜半徑p（B）<1.（迭代法收斂的充分條件）若IIBII<1，則由迭代公式（5.1.3）所產(chǎn)生的向量序列斂于方程組x=Bx+f的精確解x*,且有誤差估計(jì)式(充分條件)若線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對角占優(yōu)或不可約弱對角占優(yōu)矩陣，則雅克比和高斯一賽德爾迭代法收斂。函數(shù)插值1插值的基本概念包括線性插值、拋物插值和多項(xiàng)式插值的存在惟一性。2拉格朗日插值X一Xj)y.X一X一Xj)y.X一X.

iji=0j=0j豐i3插值余項(xiàng)與誤差估計(jì)若f(X)在［a,b］上的插值多項(xiàng)式為L(X)，則稱R(X)=f(x)-L(x)為L(x)的插值余項(xiàng)n n n n(也稱誤差)。設(shè)f(X)在［a,b］上的n+1階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，記為f(x)eC"+i［a,b］且f(x)在互異節(jié)點(diǎn)(z=0,1,2,…，n)a<x0<X1<???<x<b的函數(shù)值為y0,yi(z=0,1,2,…，n)0 1 n 0 1 n nz z的插值多項(xiàng)式為L(x)，則對Vxe[a,b]有：nnnt+f (x-Xj)=fn+f-n+1(x)nnj=0其中a<g<b，w.(x)=A(x一x)n+1 jj=04牛頓插值Nn(x)=f(x0)+f(x0,x1)(x-x0)+…+f(x0,X],…,xn)(x-x0)(x-X]”?(x-xn一])數(shù)值積分1代數(shù)精度的概念及其求法。若數(shù)值求積公式對被積函數(shù)f(X)=1,X,…,xm都能精確成立，而對被積函數(shù)f(X)=xm+1不能精確成立，則稱求積公式具有m次代數(shù)精度。2牛頓一柯特斯公式I(f)J"/(x)dx=(b一a)工C〉n)f(x.)a i=0C(n)=(T"Jnn(t-j)dti n-i!(n-i)!0j=0j*i

梯形求積公式I(f)-T=上衛(wèi)f(a)+f(b)]21拋物線求積公式或辛普生求積公式 I(f)-S=口6梯形公式的截?cái)嗾`差R/f)=f⑴Jb(x-a)(x-b)dx=-f"")(b-a)3，neC,b)2 a 123復(fù)合梯形求積公式將la,b〕區(qū)間n等分，記分點(diǎn)為x.=a+ih, (h=-~—,i=0,1,—,n)1 n并在每個(gè)小區(qū)間L,x]上應(yīng)用梯形公式得:ii+1\bf\bf(x)dx=藝Jxi+if(x)dx?藝|[f(x)+f(x.書)]i=0i=0f(a)+2燈f(x.)+f(b)i=1復(fù)合梯形公式的截?cái)嗾`差 R復(fù)合梯形公式的截?cái)嗾`差 R(f)=-nb12ah2廣'(1) ，ne(a,b)4復(fù)合辛普生求積公式在每個(gè)小區(qū)間lx,x]上，用辛普生公式得:ii+1S=-f(a)+&f(xJ+2藝f(x.)+f(b)i=0i+i=0i+2i=1其中x 為[x,x]的中點(diǎn)，即x=x+hii+1 .丄 ii+ z+225高斯求積公式若有一組節(jié)點(diǎn)xo,再,…,xe[-1,1],使插值型求積公式(8.5.1)具有2n+1次代數(shù)精度，則稱此組0 1 n節(jié)點(diǎn)為高斯點(diǎn)，并稱相應(yīng)的求積公式為高斯型求積公式。常微分方程初值問題的數(shù)值解法1歐拉公式包括顯式、隱式、兩步、改進(jìn)的歐拉公式和梯形公式。歐拉公式y(tǒng) =y+hf(x,y)n+1n nn隱式歐拉公式y(tǒng)n+1=yn+hf(J，兒+1)為梯形公式y(tǒng)n+1=yn+j[f(xn,兒)+f(i+1,兒+1)]改進(jìn)的歐拉公式y(tǒng)n+1=yn+2[f(xn'兒)+f(3+1,打+hf(S'打))]

兩步歐拉公式y(tǒng) =y +2hf(x,y)n+1 n—1 nn2單步法的局部截?cái)嗾`差和方法的階設(shè)y(x)是微分方程的精確解，則T+1=y(Xn+1)—y(Xn)— (Xn，"n+1，y(Xn)，y(S+1)，h稱為單步法的局部截?cái)嗾`差。如果求微分方程數(shù)值方法的局部截?cái)嗾`差是T=O(hp+1)，其中p>1為整數(shù)，則稱該方法n+1是p階的，或該方法具有p階精度。p越大，方法的精度越高。含hp+1的項(xiàng)，稱為該方法的局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)。歐拉公式是一階方法，其截?cái)嗾`差主項(xiàng)為聖y〃(x)。2n隱式歐拉公式也是一階方法，它的主項(xiàng)是—竺y〃(x)2n梯形公式是二階方法，其局部截?cái)嗾`差為—h3y'"(x).12n可以證明，改進(jìn)的歐拉方法也為二階方法。3四階龍格一庫塔方法hy=y+-(k+2k+2k+k)

，n+1 ，n6'1 2 3 47k=f(x,y)4階經(jīng)典R—K方法形式為:4階經(jīng)典R—K方法形式為:k2=f(xn+2,yn+2k1)k=f(x+—,y+—k)3 n2n2 2k4=f(xn+h,yn+hk3)4單步法的收斂性和穩(wěn)定性若求微分方程的一種數(shù)值方法對于任意固定的x=x+nh,當(dāng)hT0(同時(shí)n)時(shí),有n0yTy(x),則稱該方法是收斂的。n nEuler方法是收斂的梯形公式是收斂的改進(jìn)的Euler方法也是收斂的若用某一數(shù)值方法計(jì)算y時(shí)，所得到的實(shí)際計(jì)算結(jié)果為~，且由擾動(dòng)5=|y—~|引起n n nnn以后各節(jié)點(diǎn)y(m>n)的擾動(dòng)為5，如果總有15|<|5|,則稱該方法是穩(wěn)定的。m m mn單步法的穩(wěn)定區(qū)間方法Euler方法Euler法—2<hX<0改進(jìn)的Euler法4改進(jìn)的Euler法4階R—K法1+”人+血+血+辿2! 3! 4!—2<—0—2.7