專題02一元二次函數(shù)方程與不等式（知識串講熱考題型專題訓練）（解析版）

專題02一元二次函數(shù)、方程與不等式知識1等式性質與不等式性質1、作差法比較大??；；.2、不等式的基本性質（1）（對稱性）（2）（傳遞性）（3）（可加性）（4）（可乘性）；（5）（同向可加性）（6）（正數(shù)同向可乘性）（7）（正數(shù)乘方法則）知識點2基本不等式1、重要不等式：,（當且僅當時取號）.變形公式：2、基本不等式：,（當且僅當時取到等號）.變形公式：；用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要滿足條件:“一正.二定.三相等”.知識點3二次函數(shù)與一元二次方程.不等式1、二次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對應關系對于一元二次方程的兩根為且，設，它的解按照，，可分三種情況，相應地，二次函數(shù)的圖像與軸的位置關系也分為三種情況.因此我們分三種情況來討論一元二次不等式或的解集.判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(x1<x2)有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??2、解一元二次不等式的步驟第一步：先看二次項系數(shù)是否為正，若為負，則將二次項系數(shù)化為正數(shù)；第二步：寫出相應的方程，計算判別式：①時，求出兩根，且（注意靈活運用因式分解和配方法）；②時，求根；③時，方程無解第三步：根據(jù)不等式，寫出解集.3、含參數(shù)的一元二次不等式討論依據(jù)（1）對二次項系數(shù)進行大于0，小于0，等于0分類討論；（2）當二次項系數(shù)不等于0時，再對判別式進行大于0，小于0，等于0的分類討論；（3）當判別式大于0時，再對兩根的大小進行討論，最后確定出解集?？键c1不等式的性質與應用【例1】（2022·全國·高一期中）若，下列命題正確的是（）A．若，則B．，若，則C．若，則D．，，若，則【答案】C【解析】對于A，當時，，故A錯誤；對于B，當時，，故B錯誤；對于C，若，則，故C正確；對于D，當時，，故D錯誤，故選：C.【變式1-1】（2022·四川成都·高一期末（理））已知實數(shù)a，b，c滿足，，那么下列選項中一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為實數(shù)a，b，c滿足，，所以，對于A，因為，所以，因為，所以，所以A錯誤，對于B，若，則，因為，所以，所以B錯誤，對于C，因為，所以，所以C正確，對于D，因為，所以，因為，所以，所以D錯誤，故選：C【變式1-2】（2022·全國·高一課時練習）已知，下列命題正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【解析】對于A，當時不成立；對于B，當時，顯然不成立；對于C，當時不成立；對于D，因為，所以有，即成立.故選：D．【變式1-3】（2022·江蘇省如皋高一開學考試）（多選）已知，下列命題為真命題的是()A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】BCD【解析】對于選項A，若，則，故A錯誤；對于選項B，若，∵，∴，故B正確；對于選項C，若，則，故，故C正確；對于選項D，若，則，故D正確．故選：BCD．【變式1-4】（2022·全國·高一課時練習）（多選）已知，則下列命題正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】BD【解析】當時，如，時成立，A錯；若則一定有，所以時，一定有，B正確；，但，C錯；，則，D正確．故選：BD．【變式1-5】（2022·全國·高一課時練習）（多選）若a，b，，則下列命題正確的是（）A．若，則B．若a，，則C．若，，則D．若，則【答案】ABC【解析】對于A，因為，所以，即，故A正確；對于B，，故，B正確；對于C，若，，則，即，故C正確；對于D，當，時，滿足，但，故D不正確．故選：ABC．考點2利用不等式求代數(shù)式的取值范圍【例2】（2020·陜西·榆林市第十高二期中）若，，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，則，所以，，又因為，因此，.故選：B.【變式2-1】（2022·湖北·沙市高一階段練習）已知，，則的取值范圍為_________【答案】【解析】令，則，所以，可得，故，而，故.故答案為：【變式2-2】（2022·河南省葉縣高級高一階段練習）已知，，則的取值范圍為__________．【答案】【解析】根據(jù)題意，，，∴，即的取值范圍為．故答案為：.【變式2-3】（2022·江蘇·南京市中華高一階段練習）已知，.（1）分別求a，c的取值范圍；（2）求的取值范圍.【答案】（1），；；（2）．【解析】（1）設，，則，，，，由，則，，則的取值范圍是，的取值范圍是；（2），由，，則，，則.【變式2-4】（2022·全國·高一課時練習）已知，，求的取值范圍．【答案】【解析】令，解得，∴，∵，∴①，∵，∴②，①②，得，∴．考點3解一元二次不等式【例3】（2022·全國·高一專題練習）不等式的解集為_________．【答案】【解析】由，得，由解得，所以不等式的解集為.故答案為：【變式3-1】（2022·全國·高一專題練習）不等式的解集是_____.【答案】【解析】由，得，解得，所以不等式的解集為.故答案為：【變式3-2】（2022·全國·高一專題練習）解不等式：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1），原不等式可化為：，所以原不等式的解集為．（2），故，解得.所以原不等式的解集為.【變式3-3】（2022·全國·高一課時練習）解不等式：．【答案】答案見解析【解析】且．當時，且且，此時原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，且且或，此時原不等式的解集為或．綜上可知，當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為或．【變式3-4】（2022·廣東·深圳市第二高級高一開學考試）解下列關于x的不等式：（1）；（2）【答案】（1）；（2）見解析【解析】（1）當時，，原不等式變形為，解得，故不等式的解集為，當時，，原不等式變形為，解得，故不等式的解集為，綜上所述，不等式的解集為；（2）當時，則，解得，故不等式的解集為；當時，不等式因式分解可得，當時，則，解得，故不等式的解集為；當時，，解得，故不等式的解集為；當，即時，化為，解得或，故不等式的解集為；當，即時，化為，解得或，故不等式的解集為；綜上所述，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.【變式3-5】（2022·全國·高一專題練習）關于的不等式的解集中恰有1個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【解析】由得，若，則不等式無解；若，則不等式的解為，此時要使不等式的解集中恰有1個整數(shù)解，則此時1個整數(shù)解為，則；若，則不等式的解為，此時要使不等式的解集中恰有1個整數(shù)解，則此時1整數(shù)解為，則．綜上，滿足條件的的取值范圍是．故答案為：.考點4三個“二次”之間的關系【例4】（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)（）的最小值為0，若關于x的不等式的解集為，則實數(shù)c的值為（）A．9B．8C．6D．4【答案】D【解析】∵函數(shù)（）的最小值為0，∴，∴，∴函數(shù)，其圖像的對稱軸為．∵不等式的解集為，∴方程的根為m，，∴，解得，，又∵，∴．故A，B，C錯誤.故選：D．【變式4-1】（2022·陜西·榆林市第十高一階段練習）已知關于x的不等式的解集為，則不等式的解集是___________．【答案】【解析】關于x的不等式的解集為則方程的兩個分別為：，且由韋達定理得：所以不等式轉化為：，整理得即，解得：所以不等式的解集為：.故答案為：.【變式4-2】（2022·江蘇省如皋高一開學考試）已知關于的不等式的解集為或，則關于不等式的解集為_________.【答案】【解析】由關于的不等式的解集為或，可知，且和是方程的兩根，故由根與系數(shù)的關系得，，又故關于不等式等價為，即，即，解得，故答案為：【變式4-3】（2022·全國·高一專題練習）已知不等式的解是，則_____．【答案】【解析】依題意不等式的解是，所以，解的.故答案為：【變式4-4】（2022·湖南·株洲高一開學考試）已知不等式的解集為，求不等式的解集.【答案】或【解析】依題意，和是方程的兩根，法1：由韋達定理，，解得，法2：直接代入方程得，，解得，不等式為，即：，解得：或，不等式的解集為或.考點5一元二次不等式恒成立與有解問題【例5】（2022·陜西·榆林市第十高一階段練習）若關于x的不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為()A．B．C．D．或【答案】B【解析】當a＝0時，不等式變?yōu)椋?＜0恒成立，故a＝0滿足題意；當a≠0時，若恒成立，則，即，解得．綜上，．故選：B．【變式5-1】（2022·江蘇省如皋高一開學考試）命題“”為假命題，則實數(shù)的取值范圍是（）A．或B．C．D．【答案】C【解析】由題意得：為真命題，當時，，滿足要求，當時，要滿足，解得：，綜上：實數(shù)的取值范圍是，故選：C【變式5-2】（2022·全國·高一專題練習）不等式的解集為R，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】當時，原不等式為滿足解集為R；當a≠2時，根據(jù)題意得，且，解得．綜上，的取值范圍為．故選：B．【變式5-3】（2022·全國·高一單元測試）已知，恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，恒成立，可得在上恒成立，即即.故選：D.【變式5-4】（2022·河南·濮陽一高高一期中（理））已知當時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】恒成立，即，對任意得恒成立，令，，當時，，不符題意，故，當時，函數(shù)在上遞增，則，解得或（舍去），當時，函數(shù)在上遞減，則，解得或（舍去），綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選：D.【變式5-5】（2022·全國·高一課時練習）若對于任意，都有成立，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題可得對于恒成立，即解得:.故選：B.【變式5-6】（2022·湖北黃石·高一期末）若關于x的不等式在上有實數(shù)解，則a的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由不等式在上有實數(shù)解，等價于不等式在上有實數(shù)解，因為函數(shù)在上單調遞減，在單調遞增，又由，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故選：A.【變式5-7】（2022·全國·高一課時練習）若關于的不等式在有解，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，其對稱軸為，關于的不等式在有解，當時，有，，即，可得或．故選：B．考點6利用基本不等式求最值【例6】（2022·福建省永泰縣第一高一開學考試）（1）已知，且，求的最大值.（2）已知a，b是正數(shù)，且滿足，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為，即，由基本不等式可得，即當且僅當時，即，等號成立.所以的最大值為（2）由基本不等式，可得當且僅當，即當時，等號成立，所以的最小值為【變式6-1】（2022·黑龍江·肇州縣第二高一階段練習）已知，且滿足．（1）若，求的值；（2）求：的最大值與最小值．【答案】（1）或；（2）最大值為，最小值為．【解析】（1），，，是方程的兩根，或（2）令，由已知得：，兩邊同時乘以，得，，當且僅當時取等號，，整理得：，解得，即的最大值為，最小值為．【變式6-2】（2022·江蘇省如皋高一開學考試）（1）求函數(shù)的最小值.（2）已知，，且，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】（1），，，當且僅當時，即時，函數(shù)有最小值；（2）由題意，，又，，，當且僅當，即是等號成立，結合，知時，有最小值為.【變式6-3】（2022·全國·高一課時練習）下列結論正確的是（）A．當時，B．當時，C．當時，的最小值是D．當時，的最小值為1【答案】B【解析】當時，，當且僅當，即時等號成立，但已知條件中，故A錯誤；當時，，當且僅當，即時等號成立，故B正確；當時，，當且僅當，即時等號成立，但已知條件中，等號不成立，故C錯誤；當時，，當且僅當，即時等號成立，但已知條件中，等號不成立，故D錯誤．故選：B.【變式6-4】（2022·江蘇省如皋高一開學考試）（多選）下列命題中，真命題的是（）A．，都有B．，使得C．任意非零實數(shù)，都有D．函數(shù)的最小值為【答案】AB【解析】對于A，，所以，都有成立，故為真命題.對于B，顯然當時，成立，故為真命題.對于C，當時，則，故不成立，為假命題.對于D，，當且僅當時，取等號，即，顯然無解，即取不到最小值，故不成立，為假命題.故選:AB.考點7基本不等式恒成立問題【例7】（2022·湖北·沙市高一階段練習）若兩個正實數(shù)滿足，若至少存在一組使得成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】至少存在一組使得成立，即，又由兩個正實數(shù)滿足，可得，當且僅當，即時，等號成立，，故有，解得，故，所以實數(shù)的取值范圍是故選：C.【變式7-1】（2022·江蘇·南京市中華高一階段練習）若命題“對任意的，恒成立”為假命題，則m的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】當原命題為真時，恒成立，即，由命題為假命題，則．故選：A.【變式7-2】（2022·全國·高一課時練習）已知正數(shù)、滿足，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為，，則，，所以，，所以，當且僅當時，即，時等號成立．又恒成立，所以．故選：C.【變式7-3】（2022·全國·高一專題練習）若不等式對滿足條件的恒成立，則實數(shù)k的最大值為（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】根據(jù)

，當且僅當時，取等號，化簡可得，因為，所以，，所以運用，可得，當且僅當，即時，取等號，又因為恒成立，所以，即k的最大值是4．故選：B．【變式7-4】（2022·全國·高一課時練習）對所有的正實數(shù)x、y恒成立，則實數(shù)a最大值是（）A．1B．C．D．【答案】B【解析】依題意可知，對所有的正實數(shù)，恒成立，當且僅當時取等號，當且僅當時取等號，，當且僅當時取等號，當且僅當時取等號，所以實數(shù)的最大值為故選：【變式7-5】（2022·全國·高一專題練習）若兩個正實數(shù)x，y滿足，且不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________.【答案】.【解析】當且僅當，即且時取等號.恒成立，則解得即故答案為：考點8基本不等式在實際中的應用【例8】（2022·全國·高一專題練習）如圖，某人計劃用籬笆圍成一個一邊靠墻（墻的長度沒有限制）的矩形菜園．設菜園的長為xm，寬為ym．（1）若菜園面積為72m2，則x，y為何值時，可使所用籬笆總長最??？（2）若使用的籬笆總長度為30m，求的最小值．【答案】（1）菜園的長x為12m，寬y為6m時，可使所用籬笆總長最??；（2）．【解析】（1）由已知可得xy＝72，而籬笆總長為x+2y．又∵x+2y≥224，當且僅當x＝2y，即x＝12，y＝6時等號成立．∴菜園的長x為12m，寬y為6m時，可使所用籬笆總長最?。?）由已知得x+2y＝30，又∵（）?（x+2y）＝55+29，∴，當且僅當x＝y(tǒng)，即x＝10，y＝10時等號成立．∴的最小值是．【變式8-1】（2022·全國·高一課時練習）某種商品原來毎件售價為元，年銷售萬件．（1）據(jù)市場調查，若價格毎提高元，銷售量將相應減少件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少？（2）為了擴大商品的影響力，提高年銷售量，公司決定明年對該商品進行全面技術革新和營銷策略改革，并提高價格到元，公司擬投入萬元作為技改費用，投入萬元作為固定宣傳費用，試問：該商品明年的銷售量至少達到多少萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和并求出此時每件商品的定價．【答案】（1）元；（2）改革后銷售量至少達到萬件，才滿足條件，此時定價為元件【解析】（1）設每件定價為元，則，整理得，要滿足條件，每件定價最多為元；（2）由題得當時：有解，即：有解．又，當且僅當時取等號，即改革后銷售量至少達到萬件，才滿足條件，此時定價為元件【變式8-2】（2022·湖南·高一課時練習）某商品進貨價為每件50元，經市場調查得知，當銷售單價（元）在區(qū)間時，每天售出的件數(shù)．若想每天獲得的利潤最大，銷售價格應定為每件多少元？【答案】60【解析】解析設銷售價格定為每件x(50≤x≤80)元，每天獲得利潤為y元，則y＝(x－50)·P＝，設x－50＝t，則0≤t≤30，所以y＝＝＝≤＝2500，當且僅當t＝10，即x＝60時，ymax＝2500．若想每天獲得的利潤最大，銷售價格應定為每件60元【變式8-3】（2022·全國·高一單元測試）如圖，長方形表示一張（單位：分米）的工藝木板，其四周有邊框（圖中陰影部分），中間為薄板.木板上一瑕疵（記為點P）到外邊框的距離分別為1分米，2分米.現(xiàn)欲經過點P鋸掉一塊三角形廢料，其中M，N分別在上.設的長分別為m分米，n分米.（1）求的值；（2）為使剩下木板的面積最大，試確定m，n的值；（3）求剩下木板的外邊框長度（的長度之和）的最大值及取得最大值時m，n的值.【答案】（1）1；（2）；（3）最大值為分米，此時.【解析】（1）過點分別作的垂線，垂足分別為，則，所以，則，整理可得；（2）要使剩下木板的面積最大，即要鋸掉的三角形廢料的面積最小，因為，則，可得，當且僅當，即時，等號成立，所以當時，剩下木板的面積最大；（3）要使剩下木板的外邊框長度最大，則鋸掉的邊框長度最小，則，當且僅當，即時等號成立，故此時剩下木板的外邊框長度的最大值為分米，此時.【變式8-4】（2022·全國·高一）浙江某物流公司準備建造一個倉庫，打算利用其一側原有墻體，建造一間墻高為4米，底面積為16平方米，且背面靠墻的長方體形狀的物流倉庫.由于其后背靠墻，無需建造費用，因此，甲工程隊給出的報價如下:屋子前面新建墻體的報價為每平方米150元，左右兩面新建墻體的報價為每平方米75元，屋頂和地面以及共他報價共計4800元，設屋子的左右兩面墻的長度均為米.（1）當左右兩面墻的長度為4米時，求甲工程隊的報價；（2）現(xiàn)有另一工程隊乙工程隊也參與此倉庫建造競標，其給出的整體報價為元.若無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊都能竟標成功（價低者為成功），求的取值范圍.【答案】（1）9600元；（2）【解析】（1）剩余一面墻的長度為（米），則報價為（元）（2）由題意可知，，，，，即，設，所以，由對勾函數(shù)的性質得函數(shù)在單調遞增，所以當時，.又，所以.1．（2022·遼寧·新民市第一高級高一期末）已知，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，不妨取.對于A：，故不成立；對于B：，故不成立；對于C：，故不成立；對于D：因為，所以，所以，即.故選：D2．（2022·貴州遵義·高一期末）負實數(shù)，滿足，則的最小值為（）A．0B．C．D．【答案】A【解析】根據(jù)題意有，故，當且僅當，時取等號.故選：A3．（2022·全國·高一課時練習）若，，則的最小值是（）A．16B．18C．20D．22【答案】C【解析】因為，，所以當且僅當時，等號成立，所以的最小值是20.故選：C4．（2022·全國·高一課時練習）已知，則的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于，所以所以，當且僅當，即時取等號.故選：A.5．（2022·全國·高一專題練習）已知為實數(shù)，且，則下列命題錯誤的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】C【解析】對于A，由基本不等式可知當時，，當且僅當時取等號，所以A正確，對于B，因為，，所以，且，所以，當且僅當時取等號，所以B正確，對于C，若，則，所以C錯誤，對于D，因為，，所以，且，所以，，所以且，所以D正確，故選：C6．（2022·浙江浙江·高一期中）已知正數(shù)，滿足，則的最小值為（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】根據(jù)題意可得，由，所以，由，可得，即，，當且僅當，時取等號，所以的最小值為.故選：B.7．（2022·河南·濮陽一高高一期中（文））已知正數(shù)滿足，則的最小值是A．18B．16C．8D．10【答案】A【解析】當且僅當，即，時，取得最小值故選.8．（2021·安徽合肥·高一期末）已知，，且，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為，，且，所以，當且僅當時，等號成立；又不等式恒成立，所以只需，即，解得.故選：A.9．（2021·廣東深圳·高一期末）已知，若不等式恒成立，則的最大值為（）A．13B．14C．15D．16【答案】D【解析】因為，所以，所以恒成立，只需因為，所以，當且僅當時，即時取等號.所以.即的最大值為16.故選：D10．（2019·湖南·華容縣教育科學研究室高一期末）不等式的解集是（）A．全體實數(shù)B．空集C．正實數(shù)D．負實數(shù)【答案】B【解析】所以不等式的解集為空集．故選：B．11．（2022·陜西漢中·高一期末）若關于x的不等式的解集是R，則m的取值范圍是（）A．（1，+∞）B．（0，1）C．（1，1）D．[1，+∞）【答案】A【解析】當時，，得，不合題意，當時，因為關于x的不等式的解集是R，所以，解得，綜上，m的取值范圍是（1，+∞），故選：A12．（2022·貴州畢節(jié)·高一期末）已知不等式的解集為，則a，b的值是（）A．，B．，C．6，3D．3，6【答案】B【解析】由題意知得：和是方程的兩個根可得：，，即，解得：，，故選：B13．（2022·河南開封·高一期末）關于的不等式的解集為，且，則（）A．3B．C．2D．【答案】A【解析】由不等式的解集為，得，不等式對應的一元二次方程為，方程的解為，由韋達定理，得，，因為，所以，即，整理，得.故選：A14．（2022·全國·高一課時練習）某大型廣場計劃進行升級改造．改造的重點工程之一是新建一個矩形音樂噴泉綜合體，該項目由矩形核心噴泉區(qū)（陰影部分）和四周的綠化帶組成．規(guī)劃核心噴泉區(qū)的面積為，綠化帶的寬分別為2m和5m（如圖所示）．當整個項目占地面積最小時，核心噴泉區(qū)的邊的長度為（）A．20mB．50mC．mD．100m【答案】B【解析】設，則，所以，當