第02章 信號分析基礎

第二章信號分析基礎本章內容：

信號與測試系統(tǒng)信號的分類與描述周期信號與離散頻譜瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜隨機信號描述測試技術基礎典型振動測試系統(tǒng)方框圖§2.1信號與測試系統(tǒng)信號定義：§2.1信號與測試系統(tǒng)---信號定義

物理角度，數學角度，工程角度。信號就是承載某種或某些信息的物理量的變化歷程。信號就是函數，就是某一變量隨時間或頻率或其他變量而變化的函數。信號表現為一組數據或波形，這組數據通常是由某一檢測儀器，如傳感器，從某一物理系統(tǒng)上檢測得到，以數據的形式記錄在紙上，或存儲在某種磁性介質上，或以波形形式顯示在儀器的顯示屏上。心電圖：利用儀器從人體上獲得的心臟跳動的數據，通常顯示在儀器上供醫(yī)生診斷之用，或記錄在紙上作為病人病例記錄?！?.1信號與測試系統(tǒng)---信號定義

飛機上黑匣子：將各種傳感器采集下來的有關飛機飛行狀態(tài)、發(fā)動機工作狀態(tài)等數據記錄下來，以備將來事故分析之用?！?.1信號與測試系統(tǒng)---信號定義

噪聲的定義：噪聲也是一種信號，任何干擾對信號的感知和解釋的現象稱為噪聲。信號表現形式噪聲干擾圖象恢復§2.1信號與測試系統(tǒng)---信號與噪聲

通常表現為隨時間變化的物理量，如：聲、光、電、力等。第二章信號分析基礎本章內容：

信號與測試系統(tǒng)

信號的分類與描述周期信號與離散頻譜瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜隨機信號描述測試技術基礎

信號分類主要是依據信號波形特征來劃分。信號波形：被測信號的幅度隨時間變化的歷程稱為信號波形。信號波形電容傳聲器§2.2信號的分類與描述常見標準信號波形§2.2信號的分類與描述

為深入理解信號的物理實質，將其進行分類研究。從不同角度觀察，信號可分為：從信號描述上-確定性信號與非確定性信號；從信號幅值和能量--能量信號與功率信號；從連續(xù)性--連續(xù)信號與離散信號；從可實現性--物理可實現信號與物理不可實現信號?！?.2信號的分類

與描述-分類1確定性信號與非確定性信號

可以用明確數學關系式描述的信號稱為確定性信號。不能用數學關系式描述的信號稱為非確定性信號?！?.2信號的分類與描述-分類周期信號：經過一定時間可以重復出現的信號簡單周期信號復雜周期信號§2.2信號的分類描述-分類b)非周期信號：再不會重復出現的信號。

準周期信號:由多個周期信號合成，但各信號頻率不成公倍數。如：瞬態(tài)信號:持續(xù)時間有限的信號如§2.2信號的分類與描述-分類c)非確定性信號：不能用數學式描述，其幅值、相位變化不可預知，所描述物理現象是一種隨機過程。

噪聲信號(平穩(wěn))統(tǒng)計特性變異噪聲信號(非平穩(wěn))§2.2信號的分類與描述-分類2能量信號與功率信號

一般持續(xù)時間有限的瞬態(tài)信號是能量信號。a)能量信號

在所分析的區(qū)間,能量為有限值的信號稱為能量信號，即滿足條件：§2.2信號的分類與描述-分類b)功率信號

在所分析的區(qū)間（-∞，∞），能量不是有限值。但信號的平均功率為有限值，即一般持續(xù)時間無限的信號都屬于功率信號?！?.2信號的分類與描述-分類3連續(xù)信號與離散信號

a)連續(xù)信號:在所有自變量處都有定義

b)離散信號:在若干自變量取值處有定義采樣信號§2.2信號的分類與描述-分類若自變量為時間：連續(xù)時間信號與離散時間信號

時間幅值連續(xù)離散連續(xù)模擬信號量化信號離散被采樣信號數字信號§2.2信號的分類與描述-分類4物理可實現信號與物理不可實現信號物理可實現信號：又稱單邊信號，滿足條件：即信號在時間小于零的一側全為零。時,§2.2信號的分類與描述-分類b)物理不可實現信號：在事件發(fā)生前(t<0)就預知信號?！?.2信號的分類與描述-分類時域描述與頻域描述時域描述：直接觀測或記錄到的信號，以時間為獨立變量，為信號的時域描述。§2.2信號的分類與描述-描述時域描述與頻域描述頻域描述：采用傅立葉變換等方法將時域信號變換為頻域信號，從而幫助人們從另一個角度來了解信號的特征?！?.2信號的分類與描述-描述mskHz

時域波形頻譜

時域分析只能反映信號的幅值隨時間的變化情況，除單頻率分量的簡諧波外，很難明確揭示信號的頻率組成和各頻率分量大小。

圖例：受噪聲干擾的多頻率成分信號

§2.2信號的分類與描述-描述時域分析：以時間作為參照來觀察動態(tài)世界的方法，如，股票的走勢、氣壓變化、汽車的軌跡等。頻域分析：以頻率作為參照來觀察事物的方法。音樂的時域分析：一個隨著時間變化的振動音樂的頻域分析：樂譜§2.2信號的分類與描述-描述第二章信號分析基礎本章內容：

信號與測試系統(tǒng)信號的分類與描述

周期信號與離散頻譜瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜隨機信號描述測試技術基礎§2.3周期信號與離散頻譜

在有限區(qū)間，一個周期信號當滿足狄里赫里條件時，可展開成傅里葉級數。傅里葉級數的三角函數展開式為：１、傅立葉級數三角函數展開式其中，—周期—圓頻率—傅立葉系數1）

第一項

為周期信號的常值或直流分量；2）從第二項依次向下分別稱信號的基波或一次諧波、二次諧波、三次諧波、……、

次諧波；3）將信號的角頻率

作為橫坐標，可分別畫出信號幅值

和相角

隨頻率

變化的圖形，分別稱之為信號的幅頻譜和相頻譜圖。

4）由于

為整數，各頻率分量僅在

的頻率處取值，因而得到的是關于幅值

和相角

的離散譜線?！?.3周期信號與離散頻譜變?yōu)槠渲兄芷谛盘枙r域描述與頻域描述關系圖解§2.3周期信號與離散頻譜周期信號是由一個或幾個、乃至無窮多個不同頻率的諧波疊加而成。解：例2-1信號在它的一個周期中的表達式為：§2.3周期信號與離散頻譜周期方波信號的傅里葉級數表達式：幅頻譜相頻譜§2.3周期信號與離散頻譜周期信號可以用傅里葉級數中的某幾項之和來逼近，且所取的項數越多，亦即越大，近似的精度越高?！?.3周期信號與離散頻譜諧波分量幅度諧波次數§2.3周期信號與離散頻譜周期信號頻譜的特點：周期信號的頻譜是離散的。(離散性)每條譜線只出現在基波頻率的整倍數上，基波頻率是諸分量頻率的公約數。（諧波性）各個頻率分量的譜線高度表示該諧波分類的幅值或相位角，且幅值呈衰減性。（收斂性）§2.3周期信號與離散頻譜§2.3

信號的頻域分析正弦波疊加為矩形波的過程：隨著疊加階次的增加,所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線不斷變陡,而正弦波中下降的部分，又抵消了上升到最高處時的超出部分，使其變?yōu)樗骄€。無窮多個正弦波疊加起來才能形成一個標準的矩形波?！?.3

信號的頻域分析正弦波疊加為矩形波的過程：§2.3

信號的頻域分析正弦波疊加為矩形波的過程：§2.3

信號的頻域分析正弦波疊加為矩形波的過程：§2.3

信號的頻域分析正弦波疊加為矩形波的過程：§2.3

信號的頻域分析時域周期矩形波的傅里葉分析-諧波的疊加性§2.3

信號的頻域分析時域周期矩形波的傅里葉分析-離散頻譜§2.3

信號的頻域分析例已知周期信號x(t)的傅立葉級數展開式為：求直流分量及1-5次諧波的幅值，并作出幅頻譜。由歐拉公式可知：代入式傅立葉級數三角表達式，有：§2.3周期信號與離散頻譜2、傅立葉級數復指數展開式令則或§2.3周期信號與離散頻譜

是離散頻率

的函數，稱為周期函數

的離散頻譜。

一般為復數，故可寫為求傅里葉級數的復系數且有§2.3周期信號與離散頻譜傅里葉級數兩種展開式頻譜圖的對比

三角：單邊；復指數：雙邊；雙邊頻譜中各諧波的幅值為單邊頻譜中對應諧波幅值的一半

§2.3周期信號與離散頻譜解：由傅立葉級數復指數展開式得例2求周期矩形脈沖的頻譜，設周期矩形脈沖的周期為，脈沖寬度為

，如圖所示?！?.3周期信號與離散頻譜定義

則變?yōu)榭傻玫街芷诰匦蚊}沖信號的傅里葉級數展開式為

由于，代入上式得§2.3周期信號與離散頻譜

周期矩形脈沖的頻譜(T=4τ)

§2.3周期信號與離散頻譜

通常將這段頻率范圍稱周期矩形脈沖信號的帶寬，用符號表示：

考慮當周期矩形脈沖信號的周期和脈寬改變時它們的頻譜變化的情形?！?.3周期信號與離散頻譜信號脈沖寬度與頻譜的關系

脈沖寬度愈窄，信號的帶寬愈大，從而使得頻帶中包含的頻率分量愈多。另外，當信號周期不變而脈寬減小時，信號頻譜幅值也越小?！?.3周期信號與離散頻譜

信號的脈沖寬度相同而周期不同時，其頻譜變化情形：信號周期與頻譜的關系

周期愈大，信號譜線的間隔便愈小。若周期無限增大，亦即趨于無限大，原來的周期信號變成非周期信號．此時，譜線變得越來越密集，最終譜線間隔趨近于零，整個譜線便成為一條連續(xù)的頻譜。當周期增大而脈寬不變時，各頻率分量幅值相應變小?！?.3周期信號與離散頻譜周期矩形脈沖信號特點周期增大時，譜線變密，幅度減??；脈寬減小時，帶寬增加，幅度減小。周期

脈寬（脈沖寬度）帶寬

譜線密度

幅度決定§2.3周期信號與離散頻譜第二章信號分析基礎本章內容：

信號與測試系統(tǒng)信號的分類與描述周期信號與離散頻譜

瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜隨機信號描述測試技術基礎§2.4瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜

設為區(qū)間上的一個周期函數。它可表達為傅里葉級數的形式式中代入得§2.4.1傅立葉變換

當時，區(qū)間變成，頻率間隔變?yōu)闊o窮小量，離散頻率變成連續(xù)頻率。得到將上式中括號中的積分記為：它是變量的函數?！?.4.1傅立葉變換重新代入得：

將稱為的傅里葉變換，而將稱為的逆傅里葉變換，記為：§2.4.1傅立葉變換

但上述條件并非必要條件。因為當引入廣義函數概念之后，許多原本不滿足絕對可積條件的函數也能進行傅里葉變換。

非周期函數存在有傅里葉變換的充分條件是在區(qū)間上絕對可積，即§2.4.1傅立葉變換

若將上述變換公式中的角頻率用頻率來替代，則由于，得§2.4.1傅立葉變換

由于一般為實變量的復函數，可將其寫為

將上式中的(或,當變量為時)稱非周期信號的幅值譜，或稱的相位譜。小結由傅立葉變換變換式，一個非周期函數可分解成頻率f連續(xù)變化的諧波的疊加。式中是諧波的系數，決定著信號的振幅和相位。

或為的連續(xù)頻譜?！?.4.1傅立葉變換

例5圖示為一矩形脈沖(又稱窗函數或門函數)，用符號表示：

矩形脈沖函數求該函數的頻譜。解：§2.4.1傅立葉變換

矩形脈沖函數的頻譜其幅頻譜和相頻譜分別為：

可以看到，窗函數的頻譜是一個正或負的實數，正、負符號的變化相當于在相位上改變一個弧度。

矩形脈沖函數與sinc函數之間是一對傅里葉變換對，若用表示矩形脈沖函數則有：§2.4.1傅立葉變換對稱性（亦稱對偶性）線性尺度變換性

奇偶性時移性頻移性（亦稱調制性）卷積

時域微分和積分頻域微分和積分§2.4.2傅立葉變換的性質對稱性(亦稱對偶性)若有則有2.線性如果有則和§2.4.2傅立葉變換的性質3.尺度變換性如果有則對于實常數

，有

若信號在時間軸上被壓縮至原信號的，則其頻譜函數在頻率軸上將展寬倍，而其幅值相應地減至原信號幅值的。（尺度變換性或時頻展縮性）信號的持續(xù)時間與信號占有的頻帶寬成反比?！?.4.2傅立葉變換的性質

窗函數的尺度變換(=3)3.尺度變換性§2.4.2傅立葉變換的性質4.

奇偶性(4)為時間的虛函數(3)傅立葉變換的反轉性(為實函數):

為時間的實偶函數()，為的實偶函數；

為時間的實奇函數()，為的虛奇函數;§2.4.2傅立葉變換的性質5.時移性如果有則例8求下圖矩形脈沖函數的頻譜?！?.4.2傅立葉變換的性質

5.時移性解：該函數的表達式可寫為

可視為一個中心位于坐標原點的矩形脈沖時移至點位置所形成。幅頻譜和相頻譜分別為則§2.4.2傅立葉變換的性質時移矩形脈沖函數的幅頻和相頻譜圖

幅頻譜不因為有時移而有任何改變，時移產生的效果僅僅是相位譜增加了一個隨頻率呈線性變化的項?！?.4.2傅立葉變換的性質6.頻移性(亦稱調制性)如果有則

——常數。

時間信號經過調制后的頻譜等于將調制前原信號的頻譜進行頻移，使得原信號頻譜的一半的中心位于

處，另一半位于處?！?.4.2傅立葉變換的性質

的頻譜6.頻移性(亦稱調制性)§2.4.2傅立葉變換的性質7.卷積頻域卷積如果有則時域卷積如果有則式中

表示

與

的卷積?！?.4.2傅立葉變換的性質卷積圖解§2.4.2傅立葉變換的性質證明：（時域卷積）根據卷積積分的定義有其傅里葉變換為由時移性知，代入上式得§2.4.2傅立葉變換的性質時域微分和積分 如果有 則

條件是。 證明：(1)

階微分的傅里葉變換公式：§2.4.2傅立葉變換的性質

(2)設函數

為其傅里葉變換為

。由于根據微分特性得

或亦即§2.4.2傅立葉變換的性質9.頻域微分和積分 如果有 則 進而可擴展為 和

式中 若，則有§2.4.2傅立葉變換的性質§2.4.3典型信號的頻譜1.單位脈沖函數

在Δ時間內激發(fā)有一矩形脈沖pΔ(t)的幅值為1/Δ，面積為1。當Δ→0時，該矩形脈沖pΔ(t)的極限便稱為單位脈沖函數或δ函數。性質：(1)(2)1由δ函數的兩條性質，可得 其中x(t)在t=t0時是連續(xù)的。單位脈沖函數δ(t)的傅里葉變換： 即δ(t)及其傅里葉變換§2.4.3典型信號的頻譜1時移單位脈沖函數δ(t-t0)的傅里葉變換對：常數1的傅里葉變換對：§2.4.3典型信號的頻譜單位脈沖函數δ(t)與任一函數x(t)的卷積證明：推廣可得§2.4.3典型信號的頻譜2.余弦函數

歐拉公式： 余弦函數的頻譜： 正弦函數的頻譜：§2.4.3典型信號的頻譜4.單位階躍函數單位階躍函數可以根據符號函數表達為：可得單位階躍函數的頻譜：01t00§2.4.3典型信號的頻譜5.周期函數

周期函數x(t)的傅里葉級數形式：

一個周期函數的傅里葉變換由無窮多個位于x(t)的各諧波頻率上的單位脈沖函數組成。x(t)的傅三立葉變換為：式中§2.4.3典型信號的頻譜例12求單位脈沖序列的傅里葉變換解：將x(t)表達為傅里葉級數的形式于是有對兩邊作傅里葉變換得得亦即§2.4.3典型信號的頻譜一個周期脈沖序列的傅里葉變換仍為(在頻域中的)一個周期脈沖序列。單個脈沖的強度為f0=1/T0，且各脈沖分別位于各諧波頻率nf0=n/T0上，n=0,±1,±2,…。

周期脈沖序列函數及其頻譜§2.4.3典型信號的頻譜第二章信號分析基礎本章內容：

信號與測試系統(tǒng)信號的分類與描述周期信號與離散頻譜瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜

隨機信號描述測試技術基礎§2.5隨機信號描述（1）概述（2）隨機過程的主要特征參數（3）相關分析（4）功率譜分析§2.5.1概述★隨機信號特點：--具有不能被預測的瞬時值；--不能用解析的時域模型來加以描述；--能由它們的統(tǒng)計的和頻譜的特性來加以表征?！锩枋鲭S機信號必須采用概率統(tǒng)計的方法：--樣本函數：隨機信號按時間歷程所作的各次長時間的觀察，記作；

--樣本記錄：在有限時間區(qū)間上的樣本函數。

--隨機過程：同一試驗條件下的全部樣本函數的集（總體），記為?！?.5.1概述---均值、均方值、方差、概率密度函數、概率分布函數和功率譜密度函數等。---均值：---均方值：★對隨機過程常用的統(tǒng)計特征參數：※這些特征參數均是按照集平均來計算的，即在集中的某個時刻對所有的樣本函數的觀測值取平均?！锓诸悾浩椒€(wěn)隨機過程；非平穩(wěn)過程?！?.5.1概述§2.5.1概述★隨機信號若各種集合平均值（如均值、方差、均方值等）不隨時間變化，則稱該信號為平穩(wěn)隨機信號。平穩(wěn)隨機信號可分為各態(tài)歷經和非各態(tài)歷信號。在平穩(wěn)隨機信號中，若任一個樣本函數的時間平均值（即對單個樣本按時間歷程作時間平均）等于信號的集合均值，則稱該平穩(wěn)隨機信號為各態(tài)歷經信號。在平穩(wěn)隨機信號中，若任一個樣本函數的時間平均值（即對單個樣本按時間歷程作時間平均）不等于信號的集合均值，則稱該平穩(wěn)隨機信號為非各態(tài)歷經信號?！艟?/p>

表示信號的常值分量?！?.5.2隨機過程的主要特征參數對于一個各態(tài)歷經過程，其均值定義為1、均值

——變量的數學期望值；

——樣本函數；

——觀測的時間。隨機信號的均方值

定義為

——變量

的數學期望值?！艟街得枋鲂盘柕哪芰炕驈姸?。

的平方根稱均方根值

。2、均方值§2.5.2隨機過程的主要特征參數◆方差表示隨機信號的波動分量，方差的平方根稱為標準偏差。隨機信號的方差定義為3、方差

、、之間的關系為§2.5.2隨機過程的主要特征參數4、概率密度函數---概率密度函數是指一個隨機信號的瞬時值落在指定區(qū)間內的概率對比值的極限值。--概率密度函數

則定義為：§2.5.2隨機過程的主要特征參數4、概率密度函數§2.5.2隨機過程的主要特征參數4、概率密度函數

概率密度可以直接用來判斷設備的運行狀態(tài)。圖示為某一高速滾動軸承工作時振動加速度信號的幅值概率密度函數圖，其中蘭線為正常軸承的，紅線為故障軸承的。由于磨損、腐蝕等故障的出現，軸承振幅增大，諧波增多，反映到概率密度上則使之變得陡峭，同時兩旁展寬。因此，比較不同工況下的振動信號圖，就可以大致判斷設備運行狀態(tài)是否發(fā)生變化?！?.5.2隨機過程的主要特征參數§2.5.2隨機過程的主要特征參數正常設備的時域波形和概率密度齒輪打齒的時域波形和概率密度§2.5.2隨機過程的主要特征參數§2.5.3相關分析相關概念自相關函數和互相關函數相關分析的應用1、相關概念

相關：描述一個隨機過程自身在不同時刻的狀態(tài)間，或者兩個隨機過程在某個時刻狀態(tài)間線性依從關系的特征。圖2.x和y的相關性(a)精確相關(b)中等程度相關(c)不相關

§2.5.3相關分析2.互相關函數與自相關函數

對于各態(tài)歷經過程，可定義時間變量

與

的互協方差函數為式中稱

與

的互相關函數，自變量

稱為時移?！?.5.3相關分析當

時，得自協方差函數其中稱為

的自相關函數?！?.5.3相關分析(1)自相關函數是的偶函數，；而互相關函數通常不是自變量

的偶函數或奇函數，且

，但(2)當

時，自相關函數具有極大值，且等于信號的均方值。而互相關函數的極大值一般不在

處。自相關函數

和互相關函數

的性質：§2.5.3相關分析自相關函數

和互相關函數

的性質：(3)在整個時移域內，

的取值范圍為：

的取值范圍則為：(4)§2.5.3相關分析(5)互相關不等式：

定義相關系數(6)周期函數的自相關函數仍為周期函數，且兩者的頻率相同，但丟掉了相角信息．如果兩信號

和

具有同頻的周期成分，則它們的互相關函數中即使

也會出現該頻率的周期成分，不收斂。同頻相關，不同頻不相關?！?.5.3相關分析

典型的自相關函數和互相關函數曲線(a)自相關函數(b)互相關函數

相關函數描述了兩個信號間或信號自身不同時刻的相似程度，通過相關分析可以發(fā)現信號中許多有規(guī)律的東西§2.5.3相關分析例求正弦函數

的自相關函數。解：正弦函數

是一個均值為零的各態(tài)歷經隨機過程，其各種平均值可用一個周期內的平均值來表示。令

,則,由此得

正弦函數的自相關函數是一個與原函數具有相同頻率的余弦函數，它保留了原信號的幅值和頻率信息，但失去了原信號的相位信息。

自相關函數可用來檢測淹沒在隨機信號中的周期分量?！?.5.3相關分析(1)不同類別信號的辨識

典型信號的自相關函數窄帶隨機信號寬帶隨機信號具有無限帶寬的脈沖信號正弦信號周期信號與隨機信號疊加3.相關函數的工程意義及應用

§2.5.3相關分析

帶鋼測速系統(tǒng)3.相關函數的工程意義及應用

(2)相關測速和測距§2.5.3相關分析案例：自相關測轉速理想信號干擾信號實測信號自相關系數性質3，性質4：提取周期性轉速成分。3.相關函數的工程意義及應用

§2.5.3相關分析案例：地下輸油管道漏損位置的探測tt3.相關函數的工程意義及應用

§2.5.3相關分析1、自功率譜密度函數2、巴塞伐爾（Parseval）定理3、互功率譜密度函數4、自譜和互譜的估計5、工程應用§2.5.4功率譜分析

該自相關函數

滿足傅里葉變換的條件對其作傅里葉變換可得1、自功率譜密度函數其逆變換為

設

為一零均值的隨機過程，且

中無周期性分量，則其自相關函數

在當

時有§2.5.4功率譜分析單邊功率譜和雙邊功率譜稱為維納—辛欽(Wiener-Khi