瞬時功率譜的定義和性質(zhì)

瞬時功率譜的定義和性質(zhì)

一、瞬時功率譜的定義在過去10年中，隨著機振動信號理論及其應(yīng)用的研究成果越來越少，但大多數(shù)研究僅限于穩(wěn)定的隨機振動信號。而實際中存在著很多隨機振動信號,其實質(zhì)是一種非平穩(wěn)隨機振動信號。這種非平穩(wěn)隨機振動信號處理的理論還很不成熟,特別是對非平穩(wěn)隨機振動信號的瞬時功率譜目前還沒有統(tǒng)一的認識。眾所周知,功率譜是平穩(wěn)隨機振動信號最重要,也是最有用的頻域統(tǒng)計量。非平穩(wěn)隨機振動信號是否也存在著類似的功率譜?這正是許多學(xué)者致力于研究的問題。1986年,Mark提出,一個理想的非平穩(wěn)隨機振動信號瞬時功率譜應(yīng)當(dāng)滿足如下四個條件:1.具有明確的物理意義,應(yīng)能被解釋成是每一時刻的瞬時功率在頻域的分布密度。在不同時刻這種分布密度一般是不相同的,故是一種瞬時功率譜。2.應(yīng)包含平穩(wěn)隨機振動信號的功率譜。3.對于線性振動系統(tǒng),輸出信號的瞬時功率譜和輸入信號的瞬時功率譜之間存在著確定的關(guān)系。4.能夠推廣至任意隨機振動信號。Mark還認為:在現(xiàn)有的非平穩(wěn)隨機振動信號瞬時功率譜中,還沒有一種能夠同時滿足以上四點要求,其中Wigner譜和Physical譜可以部分滿足以上條件。二、當(dāng)前績效評估的評論1.wiger譜的定義和主要性質(zhì)Wigner譜最早是由物理學(xué)家Wigner在1932年提出的一個量子力學(xué)概念,1954年由Ville引用作信號分析。80年代以來,由于語音信號處理的需要,Wigner譜得到了更廣泛的應(yīng)用。1976年和1986年,Mark多次在非平穩(wěn)隨機振動的信號處理中應(yīng)用了Wigner譜。文給出了Wigner譜的定義和若干主要性質(zhì)。定義設(shè)x(t)是一非平穩(wěn)隨機振動信號,其二維時間相關(guān)函數(shù)為令式中:ω=2πf,f是角頻率,τ、t、t1和t2都是時間變量,j是虛數(shù)單位,E表示對樣本求平均。Wx(t,ω)就是非平穩(wěn)隨機振動信號x(t)的Wigner譜,它具有如下主要性質(zhì):性質(zhì)1:Wx(t,ω)是實數(shù),但可能是正實數(shù),也可能是負實數(shù)。性質(zhì)2:Wigner譜和瞬時功率Rx(t,t)之間存在著如下關(guān)系性質(zhì)2說明了Wigner譜的物理意義。如果對于任意的t和ω,都有Wx(t,ω)≥0,那么Wiginer譜的物理意義就是很明確了,它就表示瞬時功率Rx(t,t)在頻域的分布密度。但由于實際上Wx(t,ω)可能出現(xiàn)負值,而這種負值與分布密度的物理意義是相矛盾的。這是Wigner譜的主要缺陷之處。2.physity譜的主要性質(zhì)Physical譜是在語音信號處理中用得最多的另外一種功率譜,文給出了它的定義和主要基本性質(zhì)。定義設(shè)x(t)是一非平穩(wěn)隨機振動信號,b(t)是一確定性的窗函數(shù),令Px(t,ω)就是x(t)的Physical譜,它具有如下主要性質(zhì):性質(zhì)1:對于任意的t和ω,Px(t,ω)都是正實數(shù)。性質(zhì)2:Physical譜和瞬時功率Rx(t,t)之間存在著如下關(guān)系從以上性質(zhì)可以看出:Px(t,ω)確實描述了一種功率在頻域的分布密度,但這種功率并不是非平穩(wěn)隨機振動信號的瞬時功率,而是瞬時功率的某種加權(quán)平均。這種加權(quán)平均的結(jié)果取決于窗函數(shù),而如何選擇窗函數(shù),目前還沒有統(tǒng)一的認識,具有很大的隨意性。這是Physical譜的主要缺陷之處。另外文還證明了Physical譜和Wigner譜之間存在著如下關(guān)系式中上式說明:Physical譜實質(zhì)上只是Wigner譜的一種加權(quán)平均值。三、瞬時功率譜的性質(zhì)針對現(xiàn)有瞬時功率譜的缺點,本文提出了非平穩(wěn)隨機振動信號的一種新型瞬時功率譜。定義設(shè)x(t)是一非平穩(wěn)隨機振動信號,令Gx(t,ω)是非平穩(wěn)隨機振動信號x(t)在時域區(qū)間(一∞,t]內(nèi)的能量譜。這種能量譜是隨時間t而變化的,其隨時間的變化率記為本文定義Sx(t,ω)是非平穩(wěn)隨機振動信號x(t)的新型瞬時功率譜。這種新型瞬時功率譜具有以下性質(zhì):性質(zhì)1:對于任意的t和ω,Sx(t,ω)都是實數(shù),但可能是正實數(shù),也可能是負實數(shù)。從Sx(t,ω)的定義式(12)不難證明這一點。表面看來,和Wigner譜一樣,Sx(t,ω)也可能出現(xiàn)負值,但此時的物理意義是很明確的:若Sx(t,ω)>0,說明能量譜Gx(t,ω)在時刻t有增加的趨勢。若Sx(t,ω)=0,說明能量譜Gx(t,ω)在時刻t取得極大值或極小值。性質(zhì)2:Sx(t,ω)也具有瞬時功率Rx(t,t)在頻域分布密度的物理意義,即由巴塞伐等式,可得等式兩邊同時對時間t求導(dǎo)數(shù),可得這就證明了性質(zhì)2。性質(zhì)2說明:新型瞬時功率譜Sx(t,ω)具有雙重物理意義。從Sx(t,ω)隨時間的變化規(guī)律來看,它描述了每一頻率的能量譜隨時間的變化規(guī)律;從Sx(t,ω)隨頻率的變化規(guī)律來看,它描述了每一時刻的瞬時功率在頻域的分布情況。性質(zhì)3:從二維時間相關(guān)函數(shù)Rx(t1,t2)可以計算出新型瞬時功率譜Sx(t,ω),即證明這就證明了性質(zhì)3。性質(zhì)4:從新型瞬時功率譜Sx(t,ω)可以計算出二維時間相關(guān)函數(shù)Rx(t1,t2),即證明由性質(zhì)3可得令從上式不難驗證:,即是偶函數(shù),這時可得根據(jù)富氏變換理論,可得當(dāng)0≤τ≤t時,有令而當(dāng)t1≤t2時,由二維時間相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)可知這就證明了性質(zhì)4。性質(zhì)3和性質(zhì)4說明:非平穩(wěn)隨機振動信號的二維時間相關(guān)函數(shù)和新型瞬時功率譜之間是可以互相轉(zhuǎn)換的,但這種轉(zhuǎn)換關(guān)系與常規(guī)富氏變換是有差別的。性質(zhì)5:Sx(t,ω)包含了平穩(wěn)隨機振動信號的功率譜。證明當(dāng)x(t)是平穩(wěn)隨機振動信號時,其二維時間自相關(guān)函數(shù)具有如下特點則式中是平穩(wěn)隨機振動信號的自關(guān)函數(shù)和自功率譜。這就證明了性質(zhì)5。這個性質(zhì)說明:如果x(t)是平穩(wěn)隨機振動信號,那么瞬時功率譜Sx(t,ω)一定不隨時間而變化。性質(zhì)6:線性振動系統(tǒng)的輸入信號x(t)和輸出信號y(t)的新型瞬時功率譜Sx(t,ω)和Sy(t,ω)之間存在著確定的關(guān)系。證明設(shè)h(t)是線性振動系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù),根據(jù)一般理論,可得由性質(zhì)3可得由性質(zhì)4可得由以上三式即可得Sy(t,ω)和Sx(t,ω)之間的確定性關(guān)系式,但這種關(guān)系式是比較復(fù)雜的。四、新型瞬時功率譜的特征下面通過一個具體例子對新型瞬時功率譜和Wigner譜進行比較分析。設(shè)有一隨機振動信號x(t)式中xm是一個隨機變量,E[xm]=0,,ω0和σ2是確定性常數(shù)。這時,E[x(t)]=0,E[x2(t)]=σ2·sin2ω0t因為E[x2(t)]是隨時間t變化的,故x(t)是非平穩(wěn)隨機振動信號。顯然此信號中有一個主要的頻率成分ω0,要研究的是能否從瞬時功率譜中識別出這個主要的頻率成分。首先計算x(t)的二維時間自相關(guān)函數(shù)由二維時間自相關(guān)函數(shù)計算Wigner譜為圖1和圖2示出了當(dāng)σ2=1,ω0=5(Hz)時兩種瞬時功率譜隨時間和頻率的變化規(guī)律。從中可以看出,這兩種瞬時功率譜的相同之處和不同之處。1.相同之處在于:當(dāng)ω=ω0=5(Hz)時,兩種瞬時功率譜都存在著明顯的峰值,這說明從Wx(t,ω)和Sx(t,ω)中,都能反映出非平穩(wěn)隨機振動信號的主要頻率成分。2.不同之處在于:Wx(t,ω)在ω=0和ω=5(Hz)都存著明顯的峰值,并且ω=一0時的峰值更大,但在非平穩(wěn)隨機振動信號x(t)中實際上并沒有此頻率成分。這說明Wigner譜的峰值并不能與非平穩(wěn)隨機振動信號中的主要頻率成分一一對應(yīng)。而Sx((t,ω)只在ω=5Hz時才有明顯的峰值,這樣就比較容易識別非平穩(wěn)隨機振動信號中的主要頻率成分。這就初步證實了:本文提出的新型瞬時功率譜具有更明確的物理意義。3.從Mark的四個基本條件來看,Wigner譜可以滿足第2、3、4個條件,但不能滿足第1個條件。而新型瞬時功率譜的性質(zhì)1和性質(zhì)2說明它滿足第1個條件;性質(zhì)5說明它滿足第2個條件;性質(zhì)3、性質(zhì)4和性質(zhì)6則說明它滿足第3個條件;另外從新型瞬時功率譜的