等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

2.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和(1)慈利三中高一數(shù)學(xué)備課組（一）知識(shí)回顧：

2.通項(xiàng)公式：

3.等比數(shù)列的主要性質(zhì)：

②在等比數(shù)列{}中，若則()

①

成等比數(shù)列

(G,a,b≠0)1.等比數(shù)列的定義：

（常數(shù)）

（）64個(gè)格子1223344551667788你想得到什么樣的賞賜？陛下，賞小人一些麥粒就可以。OK請(qǐng)?jiān)诘谝粋€(gè)格子放1顆麥粒請(qǐng)?jiān)诘诙€(gè)格子放2顆麥粒請(qǐng)?jiān)诘谌齻€(gè)格子放4顆麥粒請(qǐng)?jiān)诘谒膫€(gè)格子放8顆麥粒

依次類推……你認(rèn)為國王有能力滿足上述要求嗎？每個(gè)格子里的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里麥粒數(shù)的2倍且共有64格子麥粒總數(shù)?由剛才的例子可知：實(shí)際上就是一個(gè)以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列的前64項(xiàng)的求和問題，即：

……

①

把上式左右兩邊同乘以2

得：……②16+由②-①得：=18446744073709551615≈1.84錯(cuò)位相減法

所以當(dāng)人們把一袋一袋的麥子搬來開始計(jì)數(shù)時(shí)，國王才發(fā)現(xiàn)：就是把全印度甚至全世界的麥粒全拿來，也滿足不了他的要求。其實(shí)，人們估計(jì)，全世界一千年也難以生產(chǎn)這么多麥子!

假定千粒麥子的質(zhì)量為40g,那么麥粒的總質(zhì)量超過了7000億噸。一般地，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和=?=?即“請(qǐng)你用錯(cuò)位相減法或者其他方法在這兩個(gè)式子中任選一個(gè)進(jìn)行研究．”已知：等比數(shù)列{}，公比為，

……，如何用

來表示

解：……①兩邊同時(shí)乘以q得：……②①-②得：當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)說明：這種求和方法稱為錯(cuò)位相減法等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式：或：注（1）公式中涉及五個(gè)量

“知三求二”

(方程思想)

（2）選擇合適的公式，簡化運(yùn)算過程

q≠1時(shí)，已知首項(xiàng)和公比，用已知首項(xiàng)和末項(xiàng)，用方法二：Sn=a1+a2+···+an=a1+a1q+a1q2+···+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+···+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn–an)∴(1–q)Sn=a1–qan∴當(dāng)q≠1時(shí)Sn

a1(1–qn)1-q==

a1-anq1-q當(dāng)q＝1時(shí)Sn=na1方法三：∵…∴當(dāng)q≠1時(shí)Sn

a1(1–qn)1-q==

a1-anq1-q當(dāng)q＝1時(shí)Sn=na1解:由得：

（1）范例講解例3、如圖，為了估計(jì)函數(shù)y=9–x

2在第一象限的圖像與x軸、y軸圍成的區(qū)域的面積X，把x軸上的區(qū)間[0，3]分成n等份，從各分點(diǎn)作y軸的平行線與函數(shù)的圖像相交，再從各交點(diǎn)向左作x軸的平行線，構(gòu)成（n–1）個(gè)矩形。下面的程序用來計(jì)算這（n–1）個(gè)矩形的面積的和S。

閱讀程序，回答下列問題：（1）程序中的AN、SUM分別表示什么，為什么？（2）請(qǐng)根據(jù)程序分別計(jì)算當(dāng)n=6，11，16時(shí)，各個(gè)矩形的面積的和（不必計(jì)算機(jī)上運(yùn)行程序）。練習(xí)：2、求：（1）等比數(shù)列1，2，4，···從第5項(xiàng)到第16項(xiàng)的和。（1）a1=3、q=2、n=6；1、根據(jù)下列各題的條件，求相應(yīng)的等比數(shù)列

{an}的前n項(xiàng)和Sn：（2）a1=8、q=0.5、an=0.5。（2）等比數(shù)列從第3項(xiàng)到第7項(xiàng)和。189練習(xí)：1.根據(jù)下列條件，求相應(yīng)的等比數(shù)列的小結(jié)(q=1).(q≠1).1.已知?jiǎng)t(q=1).(q≠1).已知?jiǎng)t2.對(duì)含字母的題目一般要分別考慮q=1和q≠1兩種情況。填表數(shù)列 等差數(shù)列 等比數(shù)列

前n

項(xiàng)和公式

推導(dǎo)方法 SS【注意】在應(yīng)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)考慮

.倒序相加錯(cuò)位相減公比是否為1新時(shí)代的豬八戒不再是貪吃膽小懶做，而是堂堂正正的企業(yè)大老板——八戒養(yǎng)豬集團(tuán)公司，有一天，他要擴(kuò)大業(yè)務(wù)，出現(xiàn)資金周轉(zhuǎn)不足，于是他就去找當(dāng)年的大師兄孫猴子幫忙

哈哈，我是CEO了……西游記后傳周轉(zhuǎn)不靈……西游記后傳西游記后傳Noproblem！我每天給你投資100萬元，連續(xù)一個(gè)月(30天)，但有一個(gè)條件：猴哥,能不能幫幫我……第一天返還1元，第二天返還