人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)02 教學(xué)設(shè)計(jì)-相似三角形判定定理的證明

《相似三角形判定定理的證明》教學(xué)設(shè)計(jì)了解相似三角形判定定理.會(huì)證明相似三角形判定定理.相似三角形判定定理.掌握推理證明的方法，發(fā)展演繹推理能力.多媒體課件復(fù)習(xí)導(dǎo)入問題：相似三角形的判定方法有哪些？①兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似.②兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等,兩三角形相似.③三邊對(duì)應(yīng)成比例,兩三角形相似.在上一節(jié)中，我們探索了三角形相似的條件，本節(jié)課我們將對(duì)它們進(jìn)行證明。探究新知（1）判定定理1：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似．用數(shù)學(xué)符號(hào)表示：∵∠A=∠A'，∠B=∠B'∴ΔABC∽ΔA'B'C'證明相似三角形的判定定理1已知：如圖，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'.求證：△ABC∽△A'B'C'．分析：根據(jù)證明兩三角形相似的定義，需要三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩三角形相似.證明：在△ABC的邊AB（或它的延長線）上截取AD=A'B'，過點(diǎn)D作BC的平行線，交AC于點(diǎn)E，則∠1=∠B，∠2=∠C，過點(diǎn)D作AC的平行線,交BC于點(diǎn)F,∵DE∥BC,DF∥AC,∴四邊形DFCE是平行四邊形．∴DE=CF.而∠1=∠B，∠DAE=∠BAC，∠2=∠C，∴△ADE∽△ABC.∵∠A=∠A'，∠ADE=∠B=∠B'，AD=A'B'，∴△ADE≌△A'B'C'．∴△ABC∽△A'B'C.例1.已知:如圖，ΔABC中，∠ACB=90°，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，EF⊥AB．求證：ΔCDF∽ΔECF．證明∵F是Rt△ABC斜邊的中點(diǎn)∴CF==BF∴∠B=∠BCF∵∠ACB=90°∴∠ACF+∠BCF=90°∵EF⊥AB∴∠B+∠E=90°∴∠DCF=∠E又∠DFC=∠CFE∴△CDF∽△ECF（兩角對(duì)應(yīng)相等,兩三角形相似）練習(xí)：如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于點(diǎn)E.求證：△ABD∽△CBE.證明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.又∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE（2）判定定理2：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似．用數(shù)學(xué)符號(hào)表示：∵∠A=∠A',∴ΔABC∽ΔA'B'C'證明相似三角形的判定定理2如圖，在△ABC與△A′B′C′中，已知∠A=∠A′,,求證：△A′B′C′∽△ABC.證明：在△A′B′C′的邊A′B′上截取點(diǎn)D,使A′D=AB．過點(diǎn)D作DE∥B′C′,交A′C′于點(diǎn)E.∵DE∥B′C′,∴△A′DE∽△A′B′C′.∵A′D=AB，∴A′E=AC.又∠A′=∠A.∴△A′DE∽△ABC，∴△A′B′C′∽△ABC.例2.如圖，∠B=90°，AB=BE=EF=FC=1。求證：ΔAEF∽ΔCEA．證明：∵AB=BE=EF=FC=1，

∵∠B=90°，

∴在直角三角形ABE中，由勾股定理得AE=∵，∴且∠AEF=∠CEA．

∴△AEF∽△CEA．如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，點(diǎn)P在BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D方向移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P移到離點(diǎn)B多遠(yuǎn)時(shí)，△APB和△CPD相似？解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠D=90°，時(shí)，△APB和△CPD相似解得：所以當(dāng)△APB和△CPD相似.（3）判定定理3：三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似．用數(shù)學(xué)符號(hào)表示：∵證明相似三角形的判定定理3如圖，在△ABC與△A′B′C′中，已知，求證.證明：在△A′B′C′的邊A′B′上截取點(diǎn)D,使A′D=AB．過點(diǎn)D作DE∥B′C′,交A′C′于點(diǎn)E.∵DE∥B′C′,∴△A′DE∽△A′B′C′.∵又∵A′D=AB∴△A′DE≌△ABC，∴△A′B′C′∽△ABC.例3：如圖，在△ABC和△ADE中，，點(diǎn)B,D,E在一條直線上，能否得到△ABD∽△ACE呢？解：能；理由是：∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE∴∠BAD=∠CAE∴△ABD∽△ACE練習(xí)：如圖，在等邊三角形ABC中，D,E,F分別是三邊上的點(diǎn)，AE=BF=CD,那么△ABC與△DEF相似嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論？提示：由AE=BF=CD,得BE=CF=AD,可證△ADE≌△BEF≌△CFD,從而DE=EF=FD,所以△DEF是等邊三角形，因此△ABC∽△DEF.解：∵△ABC是等邊三角形∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA∵AE=BF=CD∴BE=CF=AD∴△ADE≌△BEF≌△CFD∴DE=EF=FD∴△DEF是等邊三角形∴△ABC∽△DEF拓展提高1.如圖，在正方形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，EF⊥AE．求證:AE2=AD·AF．證明：∵∠ADE=∠FCE=90°,又AE⊥EF,∴∠AED+∠FEC=180°-∠AEF=90°,又∠EFC+∠FEC=90°,∴∠EFC=∠AED,∴△ADE∽△ECF；

∵∠D=∠AEF=90o

∴⊿ADE∽⊿AEF

∴AE2=AD·AF2.已知:如圖，CE是RtΔABC的斜邊AB上的高，BG⊥AP．求證:CE2=ED·EP．證明：∵CE是Rt△ABC的斜邊AB上的高，∴△ACE∽△CBE，∴，即CE2=AE·BE．

∵CE是Rt△ABC的斜邊AB上的高，BG⊥AP，∴∠P+∠PAE=90°，∠DBE+∠PAE=90°，∴∠P=∠DBE，

又∵∠AEP=∠DEB=90°，

∴△AEP∽△DEB；

∴，即AE·BE=ED·EP，

又∵CE2=AE·BE，

∴CE2=ED·EP3.如圖，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s;動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/s.如果P,Q兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么何時(shí)△QBP與△ABC相似？提示：設(shè)同時(shí)運(yùn)動(dòng)ts時(shí)這兩個(gè)三角形相似，此時(shí)BQ=4tcm,BP=（8-2t）cm.△QBP相似于△ABC,需進(jìn)行分類討論，對(duì)應(yīng)邊不同相應(yīng)的對(duì)應(yīng)比也就不一樣.解：設(shè)同時(shí)運(yùn)動(dòng)ts時(shí)這兩個(gè)三角形相似，此時(shí)BQ=4tcm,BP=（8-2t