論文 例談構(gòu)造函數(shù)法解題

2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文例談構(gòu)造函數(shù)法解題摘要：構(gòu)造函數(shù)法是一種非常重要的解題方法，在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用非常普遍，對(duì)于解決復(fù)雜的導(dǎo)數(shù)題，它無疑是一把利器.總結(jié)常見的構(gòu)造函數(shù)的技巧和題型，把握問題科的核心素養(yǎng).關(guān)鍵詞：構(gòu)造函數(shù)法，導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性，不等式質(zhì)來解題，進(jìn)而起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.那么在處理這些導(dǎo)數(shù)問題時(shí)，應(yīng)該如何構(gòu)造函數(shù)呢？構(gòu)造函數(shù)法在解題中又有哪些常見的應(yīng)用呢？利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則或者根據(jù)式子結(jié)構(gòu)特征來構(gòu)造函數(shù)是常見的手段.如果題設(shè)中式或者不等式的結(jié)構(gòu)特征，并依據(jù)該結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而利用函數(shù)的單調(diào)性解題.幾種應(yīng)用，供大家參考.一、構(gòu)造函數(shù)求值【例1】已知實(shí)數(shù)a,b滿足(a(b3)52022(1a)32022(3b)3，求ab的值.分析：例1屬于一個(gè)方程化簡(jiǎn)求值的題型，首先考慮將含有相同變量的式子化到一邊，進(jìn)而仔細(xì)觀察，構(gòu)造合適的函數(shù)解題.解析：因?yàn)?a(b3)52022(1a)32022(3b)3，所以(a2022(a(3b)52022(3b)3.令f(x)x52022x3，則

f(x)在R上單調(diào)遞增，又

f(af(3b)，所以a13b，所以ab4.【例2】已知實(shí)數(shù)a,b滿足ae7a,3lnbe4lnb，求ab的值.分析：此為兩個(gè)方程化簡(jiǎn)求值的題型，我們考慮將兩個(gè)等式化簡(jiǎn)成一樣的形式，利用函數(shù)單調(diào)性得到同根.12022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文解析：因?yàn)閍(7a)lnb)(4lnb)7，所以a和3lnb同為xe7x的解，即函數(shù)f(x)xe7x的零點(diǎn).分析可知函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，所以a3lnb.故aae7(3lnb)e4lnbe 4，所以abe.b以上兩題，我們均采取的是構(gòu)造函數(shù)模型求值的方法，將方程f(x)0等價(jià)變形為F[g(x)]F[h(x)]或?qū)(a,b)0等價(jià)變形為F[g(a)]F[h(b)]F(x)的單調(diào)性得出簡(jiǎn)化的結(jié)果g(x)h(x)或g(a)h(b).的等價(jià)變形.二、構(gòu)造函數(shù)比大小2【例3】(2020全國(guó)卷Ⅰ)若2alog2

a4b2log

b，則（ ）4a2b4

a2b

ab2

ab222alog2

a4b2log

b22blog

b22blog

2bf(x)2xlogx，4222由指對(duì)函數(shù)單調(diào)性可得f(x)在(0,)上單調(diào)遞增，由f(a)f(2b)可得a2b，故選B.4222【例4】（2020全國(guó)卷Ⅱ）若2x2y3x3y，則（ ）A.ln(yx0ln|xy|0

B.ln(yx0ln|xy02x3x2y3y，令f(x)2x3x，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得f(x)在R上單調(diào)遞增，由f(x)f(y)可得xy.所以yx11，則ln(yx0，故選A.2020年高考全國(guó)Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)第12題和2020年高考全國(guó)Ⅱ卷理科數(shù)學(xué)第11題都考查了根據(jù)式子結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)單調(diào)性處理自變量大小關(guān)系.2020年高考全國(guó)Ⅱ卷理科數(shù)學(xué)第11題結(jié)構(gòu)整齊，只需移項(xiàng)將含有x的式子和含有y的式子放在不等式兩2020年高考全國(guó)Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)第12題的已知條件是等量關(guān)系式，需要通過放縮之后再構(gòu)建不等量關(guān)系式，稍有難度.解決此類問題的關(guān)鍵是要善于發(fā)現(xiàn)題干式子的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而找到恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)來解決比大小問題.對(duì)于構(gòu)造函數(shù)比大小的題目，我們考慮將不等式f(x)0等價(jià)變形或適當(dāng)放縮變形22022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文為F[g(x)]F[h(x)]f(a,b)0變形為F[g(a)]F[h(b)]（其他不等號(hào)類似）的形式，再利用F(x)的單調(diào)性得出簡(jiǎn)化的結(jié)果g(x)h(x)或g(a)h(b)（其他不等號(hào)類似）.三、構(gòu)造函數(shù)證明不等式【例5】已知a1，函數(shù)f(x)axlnx，證明：f(x)1xeax.e分析：本題是不等式的恒成立證明問題，觀察發(fā)現(xiàn)不等式兩邊出現(xiàn)了指數(shù)式和對(duì)數(shù)式，考慮通過指對(duì)變形來簡(jiǎn)化代數(shù)形式，還原這些改頭換面的代數(shù)結(jié)構(gòu)..xeax1elnxaxf(x)1xeaxelnxaxlnxax1.令(x)lnxax，則1a.當(dāng)x(0,1)時(shí)，0，(x)在(0,1)上單調(diào)遞x a a增；當(dāng)x(1,)0，(x)在(1,)上單調(diào)遞減.故j(x)￡j(1)1-1.a因?yàn)閍1，所以e

aln1-1e-1，故(x)lnxax0.令a

a ag(t)ett，t(,0)，則et10，g(t)在(,0)上單調(diào)遞減，故g(t)ettg(0)1，即ett1在(,0)上恒成立.因此elnxaxlnxax1，原不等式得證.， ，另解：因?yàn)閍xlnxlnx 1xeax1x 所以本題也可考慮將所需證明的， ，eax不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為xlnx1處理.eax eax

eax利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等，再借此來證明不等式是近幾年高考的一大熱點(diǎn)問題.此類問題的解題關(guān)鍵是通過對(duì)所需證明的不等式的合理變形，找出需要構(gòu)造的輔助函數(shù)，把不等式證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.如果函數(shù)結(jié)構(gòu)中同問題就會(huì)迎刃而解.這種將指對(duì)數(shù)混合式進(jìn)行形式上的改造，達(dá)到結(jié)構(gòu)的統(tǒng)一，從而通過構(gòu)造函數(shù)解決問題是很常見的題型，主要分為以下三種同構(gòu)模型.1.積型：aeablnb（1）同左轉(zhuǎn)化為aea(lnb)elnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)xex；32022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文（2）同右轉(zhuǎn)化為ealneablnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)xlnx；（3）取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為alnalnbln(lnb)，構(gòu)造函數(shù)f(x)xlnx.ea b 2.商型： a lnba lnb x，構(gòu)造函數(shù) ；（1）同左轉(zhuǎn)化為ee f(x)e ，構(gòu)造函數(shù) ；a lnb xea b x （2）同右轉(zhuǎn)化為 ，構(gòu)造函數(shù)f(x) ；lnea

lnb

lnx（3）取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為alnalnbln(lnb)，構(gòu)造函數(shù)f(x)xlnx.3.和差型：aeablnb（1）同左轉(zhuǎn)化為aealnbelnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)xex；（2）同右轉(zhuǎn)化為ealneablnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)xlnx.四、構(gòu)造函數(shù)求參數(shù)取值范圍【例合肥一模理科ex-aln(ax-30對(duì)任意的x

,恒成立（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則實(shí)數(shù)a的最大值為（ ）e1

e

e21

e2分析：本題結(jié)構(gòu)獨(dú)特、技巧性高、綜合性強(qiáng)、難度較大，解題方法不唯一，可采用直接求導(dǎo)研究最值、先必要后充分、指對(duì)同構(gòu)法等多種方法解決.這里我們選擇構(gòu)造函數(shù)求題，得到自變量的不等關(guān)系后還需要通過分離參數(shù)求得參數(shù)的取值范圍.+x解析：因?yàn)閑x-aln(ax-30，所以e+x

13ln(ax-a-

1)，即ex-lna-lna3-

1-

a a a1)，不等式符合指對(duì)同構(gòu)的和差型.令F(t)teta a42022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文等式等價(jià)于F(x-lna)3F-

1)].因?yàn)楹瘮?shù)F(t)tet在R上單調(diào)遞增，所以ax-lna3ln(x-

1 ex)對(duì)任意的x , 恒成立.分離參數(shù)得a￡ 在 , 上恒成立.令a

x x1(x)e

，x(x)在e1a￡e，22x 22x 故選A.另解：本題也可考慮將原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為積型x(ex3axln(ax-來處理.下面我們?cè)賮砜?020年新高考全國(guó)Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)第21題.【例7】（2020新高考全國(guó)卷Ⅰ）已知f(x)aex1lnxlna，（2）若f(x)31，求a的取值范圍.aex-1-lnxa31，可將其等價(jià)轉(zhuǎn)化為指對(duì)同構(gòu)的積型xex-13xx或和差型a-1a-3a a

xx來處理.例7的解題過程與例6類似，這里就不做過多的贅述了.算量，加快了解題速度.本文總結(jié)了構(gòu)造函