論中考數(shù)學應用題解題策略 論文

2022年安徽省中小學教育教學論文評選論中考數(shù)學應用題解題策略摘要：分析近兩年安徽中考數(shù)學試題，說明中考數(shù)學命題改革的趨勢，并由此探尋它對數(shù)學教學的啟示。。關(guān)鍵詞：中考；數(shù)學；應用題引子——從歷史悠久的方程應用題談起說它歷史悠久，不僅僅是因為古人用方程或方程組解應用題的時間，而是因為我國在方程應用方面的歷史文化源遠流長，用題的獨特價值，還有很大可能在2023屆中考中出現(xiàn)。例1（2019年安徽中考題19——本文所選例題均為年中考試題，后面只注明地區(qū)）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，如圖1，明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖2，筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，已知圓心在AB的長為6C的連線垂直于AB），求點C到弦AB所在直線的距離。（參考數(shù)據(jù)：sin41.30≈0.66，cos41.30≈0.75，tan41.30≈0.88）解：連接CO并延長，交AB于D，則CD⊥AB，所以D為AB中點，所求運行軌道的最高點C到弦AB所在直線的距離即為線段CD的長。1在Rt△AOD中，∵AD＝2AB＝3，∠OAD＝41.30，∴OD＝AD·tan41.30≈3×0.88=2.64， AD ?3OA＝cos41.3o

0.75∴CD=CO+OD=AO+OD=2.64+4=6.64。通過本例，我們還能發(fā)現(xiàn)解決數(shù)學應用題的一般思路：根據(jù)題目的背景材料，將題目抽象為純12022年安徽省中小學教育教學論文評選根據(jù)初中數(shù)學的知識結(jié)構(gòu)，中考應用性問題大致包括以下幾種類型.一、豐富多彩的幾何應用題還是會令你感到異彩紛呈的，因為幾何就在我們每個人的身邊.這些幾何應用題在解答時，往往要聯(lián)系幾何圖形的性質(zhì)、判定等公理、定理、定義，有時還要借助方程、函數(shù)等代數(shù)知識.例2（江蘇省鎮(zhèn)江市）小明用如圖所示的膠滾沿從左到右的方向?qū)D案滾涂到墻上，下列給出的四個圖案中，符合圖示膠滾涂出的圖案是（ ）A B C D解此題需要較好的空間形象能力.可以這樣做，把膠滾沿從左到右的方向，先將圖案滾涂到墻上一小段，再把膠滾按相反路線撤回，但不離開墻面，觀察涂出的圖案與膠滾上圖案的關(guān)系，就會發(fā)現(xiàn)二者呈軸對稱關(guān)系，只不過膠滾上的圖案是圈起來的圓柱側(cè)面圖形，膠滾在墻上的壓痕所在直線就是對稱軸.原來此題是一道主要考查圖形對稱性的應用題，利用軸對稱知識，畫出膠滾側(cè)面展開圖的軸對稱圖形，對照各選項，可知選A.例3（浙江省紹興市）如圖，某斜拉橋的一組鋼索a，b，c，d，e，共五條，它們互相平行，鋼索與橋面的固定點，，，，中每相鄰兩點等距離.（1）問至少需知道幾條鋼索的長，才能計算出其余鋼索的長？（2）請你對（1）中需知道的這幾條鋼索長給出具體數(shù)值，并由此計算出其余鋼索的長.edcPPPPP54321這個問題的背景雖不復雜，但是開放性較強，首先要確定用什么知識，以及這個知識的哪個定理.由于a//e，且a、e不等長，可以判定a、e，，，，中每相鄰兩點等距離，所以，c可以看作是這個梯形的中位線，而b、d又是c分成的要想通過三個關(guān)系式（可以看成是三個方程），求三個未知數(shù)的值，一般其中只能由三個未知數(shù)，所以必須有兩個成為已知數(shù).因此，在這5條鋼索中，至少需知道2條的長，才能計算出其余鋼索的長.不妨取a=20m，b=30m，由梯形的中位線定理得c=40m，d=50m，e=60m.22022年安徽省中小學教育教學論文評選二、生機勃勃的統(tǒng)計應用題統(tǒng)計知識天生就是為實際應用服務(wù)的，我們在當今的信息時代中生活，總免不了與各種數(shù)字、表格、各類統(tǒng)計圖形、分析報告打交道，對于這些材料的分析加工、真?zhèn)闻袆e就離不開統(tǒng)計知識.鑒于統(tǒng)計的實用性，統(tǒng)計應用題只能強化，不會削弱.例4（2019安徽中考題2115個數(shù)據(jù)按從小到大的順序整理成如下表格：編號①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩尺寸(cm)8.728.888.928.938.948.968.978.98a9.039.049.069.079.08b按照生產(chǎn)標準，產(chǎn)品等次規(guī)定如下：尺寸（單位：cm）尺寸（單位：cm）產(chǎn)品等次8.97≤x≤9.03特等品8.95≤x≤8.05優(yōu)等品8.90≤x≤9.10合格品x＜8.90或x＞9.10非合格品在統(tǒng)計優(yōu)等品個數(shù)時將特等品計算在內(nèi)在統(tǒng)計合格品個數(shù)時將優(yōu)等（含特等品計算在內(nèi)）（1）已知此次抽檢的合格率為（2）已知此次抽檢出優(yōu)等品尺寸中的中位數(shù)為9cm，(ⅰ)求a的值；(ⅱ)將這些優(yōu)等品分成兩組，一組尺寸大于1件進行復檢，求抽取到的2件產(chǎn)品都是特等品的概率。（1）因為抽檢的合格率為80﹪，所以合格產(chǎn)品有15×80﹪=12個，即非合格產(chǎn)品有3個。而從編號⑴至編號⒁對應的產(chǎn)品中，只有編號⑴與編號⑵對應的產(chǎn)品為非合格品，從而編號為⒂的產(chǎn)品不是合格品。……4分（2）(ⅰ)按照優(yōu)等品的標準，從編號⑹到編號⑾對應的6個產(chǎn)品為優(yōu)等品，中間兩個產(chǎn)品的尺寸數(shù)8.98據(jù)分別為8.98和a，所以中位數(shù)為

2 =9，則a=9.02?！?分（ⅱ）優(yōu)等品當中，編號⑹、編號⑺、編號⑻對應的產(chǎn)品尺寸不大于9cm，分別記為A1，A2，A3，192件產(chǎn)品都是特等品的有如下44A3B1，A3B2，所以抽到兩個產(chǎn)品都是特等品的概率P＝9本題除考查統(tǒng)計圖表、公式、概念等常規(guī)知識外，更具特色的是運用所學知識制定科學合理的方案，并運用擬定的方案創(chuàng)造性的解決實際問題.32022年安徽省中小學教育教學論文評選三、如日中天的函數(shù)應用題如果評選近兩年最“熱門”的應用題類型的話，函數(shù)應用題是絕對名列榜首的.與方程地位的下降形成明顯的對比，，近五年安徽省中考題中函數(shù)知識所占分值比重依次為：16.4%、18.0%、23.3%、27.5%、25.8%，基本上呈逐年增長的態(tài)勢，尤其近三年的解答題中必有1道分值為12分的函數(shù)應用題，使函數(shù)應用題的分值比重保證了20%的最低線，說它“如日中天”，毫不夸張.例5（2019安徽中考題22y=kx+4與二次函數(shù)y=ax2+c2），另一個交點是該二次函數(shù)圖像的頂點。⑴求k，a，c的值；⑵過點y軸的直線與二次函數(shù)y=ax2+c的圖像相交于O為坐標原點，記W=OA2+BC2，求W關(guān)于m函數(shù)解析式，并求W的最小值。（1）因為點（1，2）在一次函數(shù)y=kx+4的圖像上，所以2=k+4，即k=—2，因為一次函數(shù)y=kx+4與二次函數(shù)y=ax2+cy=kx+4的圖像上，即c=4，又點（1，2）也在二次函數(shù)y=ax2+c的圖像上，所以2=a+c，從而a=—2。 ……6分方法一：因為點A的坐標為（0，m）（0＜m＜4）,邊點A且垂直于y軸的直線與二次函數(shù)y=—2x2+4的圖像交于點BC故BC=2|x0|，又點B在二次函數(shù)y=—2x2+4的圖像上，所以—2x02+4=m，即 ，從而BC2=4m=1時，W有最小值7。 ……12分方法二：由（1）得二次函數(shù)的解析式為y=—2x2+4，因為點A的坐標為（0，m）（0＜m＜4），過點A且垂直于y軸的直線與二次函數(shù)y=—2x2+4的圖像交于點x1=2-m2

，x2=—

2-m2

，所以BC=

22-

m2，所以BC=

22-

m2，又OA=m，從而2? ?m22- ÷2è ?W=OA2+BC2=m2+ m=1有最小值7。解題時除用到函數(shù)知識外，還涉及到方程、不等式等知識，以及分類討論等數(shù)學思想方法.與其它數(shù)學知識的結(jié)合，也是函數(shù)應用題的一個典型特征.尾聲——古老的“圓材埋壁”問題這是一個古老的中國幾何應用性問題，被用在中考題中.例6（北京市西城區(qū)）“圓材埋壁”是我國古代著名的數(shù)學著作《九章算術(shù)》中的一個問題，“今有圓材，埋在壁中，不知大?。凿忎徶钜淮?，鋸道長一尺，問徑幾何？”用現(xiàn)在的數(shù)學語言表述是：“如圖CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直徑CD的長．”依題意，CD長為( )42022年安徽省中小學教育教學論文評選252

寸B. 13寸 C.25寸 D.26寸由垂徑定理，得AE=AB/2=10/2=5(寸).由相交線定理的推論，得AE2=CE·DE，所以DE=AE2/CE=52/1=25(寸).因此，CD=CE+DE=1+25=26(寸).故選D.《九章算術(shù)》最遲成書于公元1世紀，至公元3世紀，劉徽為其注解，流傳至今.古人就是對數(shù)學在應用中進行研究，在研究后加以應用的.今天的我