論中考數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題策略 論文

2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選論中考數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題策略摘要：分析近兩年安徽中考數(shù)學(xué)試題，說(shuō)明中考數(shù)學(xué)命題改革的趨勢(shì)，并由此探尋它對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示。。關(guān)鍵詞：中考；數(shù)學(xué)；應(yīng)用題引子——從歷史悠久的方程應(yīng)用題談起說(shuō)它歷史悠久，不僅僅是因?yàn)楣湃擞梅匠袒蚍匠探M解應(yīng)用題的時(shí)間，而是因?yàn)槲覈?guó)在方程應(yīng)用方面的歷史文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，用題的獨(dú)特價(jià)值，還有很大可能在2023屆中考中出現(xiàn)。例1（2019年安徽中考題19——本文所選例題均為年中考試題，后面只注明地區(qū)）筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，如圖1，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車的工作原理，如圖2，筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓，已知圓心在AB的長(zhǎng)為6C的連線垂直于AB），求點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離。（參考數(shù)據(jù)：sin41.30≈0.66，cos41.30≈0.75，tan41.30≈0.88）解：連接CO并延長(zhǎng)，交AB于D，則CD⊥AB，所以D為AB中點(diǎn)，所求運(yùn)行軌道的最高點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離即為線段CD的長(zhǎng)。1在Rt△AOD中，∵AD＝2AB＝3，∠OAD＝41.30，∴OD＝AD·tan41.30≈3×0.88=2.64， AD ?3OA＝cos41.3o

0.75∴CD=CO+OD=AO+OD=2.64+4=6.64。通過(guò)本例，我們還能發(fā)現(xiàn)解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的一般思路：根據(jù)題目的背景材料，將題目抽象為純12022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選根據(jù)初中數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，中考應(yīng)用性問(wèn)題大致包括以下幾種類型.一、豐富多彩的幾何應(yīng)用題還是會(huì)令你感到異彩紛呈的，因?yàn)閹缀尉驮谖覀兠總€(gè)人的身邊.這些幾何應(yīng)用題在解答時(shí)，往往要聯(lián)系幾何圖形的性質(zhì)、判定等公理、定理、定義，有時(shí)還要借助方程、函數(shù)等代數(shù)知識(shí).例2（江蘇省鎮(zhèn)江市）小明用如圖所示的膠滾沿從左到右的方向?qū)D案滾涂到墻上，下列給出的四個(gè)圖案中，符合圖示膠滾涂出的圖案是（ ）A B C D解此題需要較好的空間形象能力.可以這樣做，把膠滾沿從左到右的方向，先將圖案滾涂到墻上一小段，再把膠滾按相反路線撤回，但不離開(kāi)墻面，觀察涂出的圖案與膠滾上圖案的關(guān)系，就會(huì)發(fā)現(xiàn)二者呈軸對(duì)稱關(guān)系，只不過(guò)膠滾上的圖案是圈起來(lái)的圓柱側(cè)面圖形，膠滾在墻上的壓痕所在直線就是對(duì)稱軸.原來(lái)此題是一道主要考查圖形對(duì)稱性的應(yīng)用題，利用軸對(duì)稱知識(shí)，畫(huà)出膠滾側(cè)面展開(kāi)圖的軸對(duì)稱圖形，對(duì)照各選項(xiàng)，可知選A.例3（浙江省紹興市）如圖，某斜拉橋的一組鋼索a，b，c，d，e，共五條，它們互相平行，鋼索與橋面的固定點(diǎn)，，，，中每相鄰兩點(diǎn)等距離.（1）問(wèn)至少需知道幾條鋼索的長(zhǎng)，才能計(jì)算出其余鋼索的長(zhǎng)？（2）請(qǐng)你對(duì)（1）中需知道的這幾條鋼索長(zhǎng)給出具體數(shù)值，并由此計(jì)算出其余鋼索的長(zhǎng).edcPPPPP54321這個(gè)問(wèn)題的背景雖不復(fù)雜，但是開(kāi)放性較強(qiáng)，首先要確定用什么知識(shí)，以及這個(gè)知識(shí)的哪個(gè)定理.由于a//e，且a、e不等長(zhǎng)，可以判定a、e，，，，中每相鄰兩點(diǎn)等距離，所以，c可以看作是這個(gè)梯形的中位線，而b、d又是c分成的要想通過(guò)三個(gè)關(guān)系式（可以看成是三個(gè)方程），求三個(gè)未知數(shù)的值，一般其中只能由三個(gè)未知數(shù)，所以必須有兩個(gè)成為已知數(shù).因此，在這5條鋼索中，至少需知道2條的長(zhǎng)，才能計(jì)算出其余鋼索的長(zhǎng).不妨取a=20m，b=30m，由梯形的中位線定理得c=40m，d=50m，e=60m.22022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選二、生機(jī)勃勃的統(tǒng)計(jì)應(yīng)用題統(tǒng)計(jì)知識(shí)天生就是為實(shí)際應(yīng)用服務(wù)的，我們?cè)诋?dāng)今的信息時(shí)代中生活，總免不了與各種數(shù)字、表格、各類統(tǒng)計(jì)圖形、分析報(bào)告打交道，對(duì)于這些材料的分析加工、真?zhèn)闻袆e就離不開(kāi)統(tǒng)計(jì)知識(shí).鑒于統(tǒng)計(jì)的實(shí)用性，統(tǒng)計(jì)應(yīng)用題只能強(qiáng)化，不會(huì)削弱.例4（2019安徽中考題2115個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大的順序整理成如下表格：編號(hào)①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩尺寸(cm)8.728.888.928.938.948.968.978.98a9.039.049.069.079.08b按照生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)，產(chǎn)品等次規(guī)定如下：尺寸（單位：cm）尺寸（單位：cm）產(chǎn)品等次8.97≤x≤9.03特等品8.95≤x≤8.05優(yōu)等品8.90≤x≤9.10合格品x＜8.90或x＞9.10非合格品在統(tǒng)計(jì)優(yōu)等品個(gè)數(shù)時(shí)將特等品計(jì)算在內(nèi)在統(tǒng)計(jì)合格品個(gè)數(shù)時(shí)將優(yōu)等（含特等品計(jì)算在內(nèi)）（1）已知此次抽檢的合格率為（2）已知此次抽檢出優(yōu)等品尺寸中的中位數(shù)為9cm，(ⅰ)求a的值；(ⅱ)將這些優(yōu)等品分成兩組，一組尺寸大于1件進(jìn)行復(fù)檢，求抽取到的2件產(chǎn)品都是特等品的概率。（1）因?yàn)槌闄z的合格率為80﹪，所以合格產(chǎn)品有15×80﹪=12個(gè)，即非合格產(chǎn)品有3個(gè)。而從編號(hào)⑴至編號(hào)⒁對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品中，只有編號(hào)⑴與編號(hào)⑵對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品為非合格品，從而編號(hào)為⒂的產(chǎn)品不是合格品?！?分（2）(ⅰ)按照優(yōu)等品的標(biāo)準(zhǔn)，從編號(hào)⑹到編號(hào)⑾對(duì)應(yīng)的6個(gè)產(chǎn)品為優(yōu)等品，中間兩個(gè)產(chǎn)品的尺寸數(shù)8.98據(jù)分別為8.98和a，所以中位數(shù)為

2 =9，則a=9.02?！?分（ⅱ）優(yōu)等品當(dāng)中，編號(hào)⑹、編號(hào)⑺、編號(hào)⑻對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品尺寸不大于9cm，分別記為A1，A2，A3，192件產(chǎn)品都是特等品的有如下44A3B1，A3B2，所以抽到兩個(gè)產(chǎn)品都是特等品的概率P＝9本題除考查統(tǒng)計(jì)圖表、公式、概念等常規(guī)知識(shí)外，更具特色的是運(yùn)用所學(xué)知識(shí)制定科學(xué)合理的方案，并運(yùn)用擬定的方案創(chuàng)造性的解決實(shí)際問(wèn)題.32022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選三、如日中天的函數(shù)應(yīng)用題如果評(píng)選近兩年最“熱門”的應(yīng)用題類型的話，函數(shù)應(yīng)用題是絕對(duì)名列榜首的.與方程地位的下降形成明顯的對(duì)比，，近五年安徽省中考題中函數(shù)知識(shí)所占分值比重依次為：16.4%、18.0%、23.3%、27.5%、25.8%，基本上呈逐年增長(zhǎng)的態(tài)勢(shì)，尤其近三年的解答題中必有1道分值為12分的函數(shù)應(yīng)用題，使函數(shù)應(yīng)用題的分值比重保證了20%的最低線，說(shuō)它“如日中天”，毫不夸張.例5（2019安徽中考題22y=kx+4與二次函數(shù)y=ax2+c2），另一個(gè)交點(diǎn)是該二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)。⑴求k，a，c的值；⑵過(guò)點(diǎn)y軸的直線與二次函數(shù)y=ax2+c的圖像相交于O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記W=OA2+BC2，求W關(guān)于m函數(shù)解析式，并求W的最小值。（1）因?yàn)辄c(diǎn)（1，2）在一次函數(shù)y=kx+4的圖像上，所以2=k+4，即k=—2，因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y=kx+4與二次函數(shù)y=ax2+cy=kx+4的圖像上，即c=4，又點(diǎn)（1，2）也在二次函數(shù)y=ax2+c的圖像上，所以2=a+c，從而a=—2。 ……6分方法一：因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，m）（0＜m＜4）,邊點(diǎn)A且垂直于y軸的直線與二次函數(shù)y=—2x2+4的圖像交于點(diǎn)BC故BC=2|x0|，又點(diǎn)B在二次函數(shù)y=—2x2+4的圖像上，所以—2x02+4=m，即 ，從而B(niǎo)C2=4m=1時(shí)，W有最小值7。 ……12分方法二：由（1）得二次函數(shù)的解析式為y=—2x2+4，因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，m）（0＜m＜4），過(guò)點(diǎn)A且垂直于y軸的直線與二次函數(shù)y=—2x2+4的圖像交于點(diǎn)x1=2-m2

，x2=—

2-m2

，所以BC=

22-

m2，所以BC=

22-

m2，又OA=m，從而2? ?m22- ÷2è ?W=OA2+BC2=m2+ m=1有最小值7。解題時(shí)除用到函數(shù)知識(shí)外，還涉及到方程、不等式等知識(shí)，以及分類討論等數(shù)學(xué)思想方法.與其它數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)合，也是函數(shù)應(yīng)用題的一個(gè)典型特征.尾聲——古老的“圓材埋壁”問(wèn)題這是一個(gè)古老的中國(guó)幾何應(yīng)用性問(wèn)題，被用在中考題中.例6（北京市西城區(qū)）“圓材埋壁”是我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題，“今有圓材，埋在壁中，不知大小．以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？”用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述是：“如圖CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直徑CD的長(zhǎng)．”依題意，CD長(zhǎng)為( )42022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選252

寸B. 13寸 C.25寸 D.26寸由垂徑定理，得AE=AB/2=10/2=5(寸).由相交線定理的推論，得AE2=CE·DE，所以DE=AE2/CE=52/1=25(寸).因此，CD=CE+DE=1+25=26(寸).故選D.《九章算術(shù)》最遲成書(shū)于公元1世紀(jì)，至公元3世紀(jì)，劉徽為其注解，流傳至今.古人就是對(duì)數(shù)學(xué)在應(yīng)用中進(jìn)行研究，在研究后加以應(yīng)用的.今天的我