廣東省深圳市2015屆高三第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)理試題（掃描版）

2015年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（二）數(shù)學(xué)（理科）試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)說明：1．參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識點和能力比照評分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù)．2．對解答題中的計算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分．3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．4．只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分．一、選擇題：本大題考查基本知識和基本運算．共8小題，每小題，滿分40分．題號12345678答案CDAABBCC二、填空題：本大題考查基本知識和基本運算，體現(xiàn)選擇性．共7小題，每小題，滿分30分．其中14~15題是選做題，考生只能選做一題．題號9101112131415答案1323016．（本小題滿分12分）解：（1）因為，所以可設(shè)，，，…………2分由余弦定理得，…………3分．………………4分（2）由（1）知，，因為是△的內(nèi)角，所以．………………………6分由（1）知，，因為△的面積為，所以，……………8分即，解得．…………………………10分由正弦定理，即，…………………11分解得．所以△外接圓半徑的大小為．…………………12分17．（本小題滿分12分）解：（1）根據(jù)頻率直方分布圖，解得．……………1分第3組人數(shù)為，所以．…………………2分第1組人數(shù)為，所以．……………3分第4組人數(shù)為，所以．……………4分（2）因為第3，4組答對全卷的人的比為，所以第3，4組應(yīng)依次抽取2人，4人.…………………5分依題意的取值為0，1，2．……………6分，…………………7分，………………8分，………………9分所以的分布列為：01………10分………10分所以．………………12分18．（本小題滿分14分）第（1）問用幾何法，第（2）問用向量法：C1ABA1B1D1CDC1ABA1B1D1CDMNEFE1F1在四邊形中，且，在四邊形中，且，所以且，所以四邊形是平行四邊形．所以．………………2分在△中，，，所以，所以．…………………………4分所以．C1ABA1B1D1CDC1ABA1B1D1CDMNEFE1F1（2）解：以點為坐標(biāo)原點，，，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，…………8分則，，．……………………10分設(shè)是平面的法向量，則即取，則，．所以是平面的一個法向量．………………12分設(shè)直線與平面所成的角為，則．故直線與平面所成角的正弦值為．………………14分第（1）（2）問均用向量法：（1）證明：以點為坐標(biāo)原點，，，所在的直線C1ABA1B1C1ABA1B1D1CDMNEFE1F1則，，，，，，……………2分所以，．………………3分因為，且與不重合，所以．…………5分所以，，，四點共面．………………………6分（2）解：由（1）知，，．………………10分（特別說明：由于給分板（1）6分（2）8分，相當(dāng)于把（1）中建系與寫點坐標(biāo)只給2分在此加2分）設(shè)是平面的法向量，則即取，則，．所以是平面的一個法向量．………………12分設(shè)直線與平面所成的角為，則．故直線與平面所成角的正弦值為．………………14分第（1）（2）問均用幾何法：（1）證明：連接，，，，在四邊形中，且，在四邊形中，且，C1ABA1C1ABA1B1D1CDMNEFE1F1所以四邊形是平行四邊形．所以．………………2分在△中，，，所以，所以．…………………………4分所以．所以，，，四點共面．………………………6分（2）連接，因為，所以直線與平面所成的角即為直線與平面所成的角．…7分連接，設(shè)點到平面的距離為，直線與平面所成的角為，則．……………8分因為，即．…………9分在邊長為3的正六邊形中，，，在△中，，，，由余弦定理可得，．在△中，，，所以．在△中，，，所以．在△中，，，，由余弦定理可得，，所以．所以．…………………11分又，……………12分所以．…………13分所以．故直線與平面所成角的正弦值為．………………14分19．（本小題滿分14分）（1）解：因為是直線：與軸的交點，所以，．……………………2分因為數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，所以．……………4分因為點在直線：上，所以．所以數(shù)列，的通項公式分別為，．………6分（2）證明：因為，，所以．所以．………………………7分所以．……8分因為，……………10分所以，當(dāng)時，……………11分………………………12分．又當(dāng)時，．………………………13分所以．……………14分20．（本小題滿分14分）解：（1）方法一：設(shè)圓的方程為：，………1分因為圓過點和，所以………………3分解得，．所以圓的方程為．…………………4分方法二：設(shè)，，依題意得，圓的圓心為線段的垂直平分線與軸的交點．………………1分因為直線的方程為，即，……………………2分所以圓心的坐標(biāo)為．…………3分所以圓的方程為．…………………4分（2）方法一：設(shè)圓上的動點的坐標(biāo)為，則，即，解得．…………………………5分由圓與圓的方程可知，過點向圓所作兩條切線的斜率必存在，設(shè)的方程為：，則點的坐標(biāo)為，同理可得點的坐標(biāo)為，所以，因為，是圓的切線，所以，滿足，即，是方程的兩根，………………7分即所以……………9分因為，所以．…………10分設(shè)，則．………………11分由，可知在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，……12分所以，，所以的取值范圍為．…………………14分方法二：設(shè)圓上的動點的坐標(biāo)為，則，即，解得．…………………………5分設(shè)點，，則直線：，即，因為直線與圓相切，所以，化簡得．①同理得，②由①②知，為方程的兩根，…………7分即所以．……………………9分因為，所以……………10分．………………11分令，因為，所以．所以，………12分當(dāng)時，，當(dāng)時，．所以的取值范圍為．…………………14分21．（本小題滿分14分）（1）解法一：因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，所以．……………1分即，即……………2分，因為在內(nèi)恒成立，所以．故實數(shù)的取值范圍為．……………………4分解法二：因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，所以．……………1分即，即，…………………2分設(shè)，當(dāng)時，得，此時不合題意．當(dāng)時，需滿足即解得，此時不合題意．當(dāng)時，需滿足或或解得或，所以．綜上所述，實數(shù)的取值范圍為．……………4分（2）證明：因為函數(shù)，所以．過點，作曲線的切線方程為：：，：，因為與的交點為，由………………6分消去，解得．①…………7分下面給出判定的兩種方法：方法一：設(shè)，………………………8分因為，所以，且．所以．…………9分設(shè)，則．………………………10分令，則．當(dāng)時，，，所以，………………11分所以函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，即，…………………12分所以函數(shù)在上是增函數(shù)，所以．…………………13分因為當(dāng)時，，所以．…………………14分方法二：由①得．設(shè)，…………