2024版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第10章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布第1節(jié)兩個計數(shù)原理排列與組合課件_第1頁
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第一節(jié)兩個計數(shù)原理、排列與組合第十章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布考試要求:理解排列、組合的概念、排列數(shù)公式及組合數(shù)公式,并能利用公式解決一些簡單的實際問題.必備知識·回顧教材重“四基”01一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1.兩個計數(shù)原理

分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理條件完成一件事有____________,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有n種不同的方法完成一件事需要_________,做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法結(jié)論完成這件事共有N=_____種不同的方法完成這件事共有N=_____種不同的方法兩類不同方案兩個步驟m+nm×n兩個計數(shù)原理的區(qū)別分類加法計數(shù)原理針對“分類”問題,其中各種方法相互獨立,用其中任何一種方法都可以做完這件事;分步乘法計數(shù)原理針對“分步”問題,各個步驟相互依存,只有各個步驟都完成了才算完成這件事.2.排列與組合的定義排列的定義從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素按照一定的順序排成一列組合的定義作為一組3.排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)

排列數(shù)組合數(shù)定義從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有_________的個數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有_________的個數(shù)不同排列不同組合

排列數(shù)組合數(shù)公式性質(zhì)

n!1

34512×√×√×2.教學(xué)樓共有6層樓,每層都有南、北兩個樓梯,從一樓到六樓的走法共有(

)A.25種B.52種C.62種D.26種A

解析:根據(jù)題意,教學(xué)樓共有6層,共5層樓梯,每層均有兩個樓梯,即每層有2種走法,則一共有2×2×2×2×2=25種走法.故選A.345123.中國有十二生肖,又叫十二屬相,每一個人的出生年份對應(yīng)了十二種動物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種.現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個,三位同學(xué)依次選一個作為禮物,甲同學(xué)喜歡牛和馬,乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊,丙同學(xué)哪個吉祥物都喜歡.如果讓三位同學(xué)選取禮物都滿意,則選法有(

)A.30種B.50種C.60種D.90種B

解析:①甲同學(xué)選擇牛,乙有2種,丙有10種,選法有1×2×10=20種,②甲同學(xué)選擇馬,乙有3種,丙有10種,選法有1×3×10=30種,所以總共有20+30=50種.故選B.34512

34512

34512關(guān)鍵能力·研析考點強“四翼”考點1兩個計數(shù)原理——應(yīng)用性02考點2排列與組合——綜合性考點3分組分配問題——綜合性1.下圖是某項工程的網(wǎng)絡(luò)圖(單位:天),則從開始節(jié)點①到終止節(jié)點⑧的路徑共有(

)A.14條B.12條C.9條D.7條3412考點1兩個計數(shù)原理——應(yīng)用性B

解析:由圖可知,由①→④有3條路徑,由④→⑥有2條路徑,由⑥→⑧有2條路徑,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得從①→⑧共有3×2×2=12條路徑.故選B.2.用數(shù)字3,6,9組成四位數(shù),各數(shù)位上的數(shù)字允許重復(fù),且數(shù)字3至多出現(xiàn)一次,則可以組成的四位數(shù)的個數(shù)為(

)A.81

B.48

C.36

D.243412B

解析:根據(jù)題意,數(shù)字3至多出現(xiàn)一次,分2種情況討論:①數(shù)字3不出現(xiàn),此時四位數(shù)的每個數(shù)位都可以為6或9,都有2種情況,則此時四位數(shù)有2×2×2×2=16個;②數(shù)字3出現(xiàn)1次,則數(shù)字3出現(xiàn)的情況有4種,剩下的三個數(shù)位,可以為6或9,都有2種情況,此時四位數(shù)有4×2×2×2=32個,故有16+32=48個四位數(shù).故選B.34123.(2022·威海模擬)已知一個不透明的袋子中放有編號分別為1,2,3,4,5,6,7的7個大小、形狀相同的小球.小明從袋子中有放回地取3次球,每次只取一個球,且3次取出的球的編號相乘的結(jié)果為偶數(shù)、相加的結(jié)果為奇數(shù),則不同的取球方法種數(shù)為(

)A.712

B.216

C.108

D.723412C

解析:根據(jù)3次取出的球的編號相乘的結(jié)果為偶數(shù)、相加的結(jié)果為奇數(shù)可知,有一次取出的球的編號為奇數(shù),2次取出的球的編號為偶數(shù),先確定哪一次得到奇數(shù)號球,然后從4個奇數(shù)號球中取一個,再每次都從3個偶數(shù)號球中任取一個(有放回取球),故滿足題意的取球方法有3×4×3×3=108(種).34124.現(xiàn)有5種不同顏色的染料,要對如圖所示的四個不同區(qū)域進行涂色,要求有公共邊的兩個區(qū)域不能使用同一種顏色,則不同的涂色方法的種數(shù)是(

)A.120

B.140

C.240

D.2603412D

解析:先涂A處共有5種涂法,再涂B處有4種涂法,最后涂C處,若C處與A處所涂顏色相同,則C處共有1種涂法,D處有4種涂法;若C處與A處所涂顏色不同,則C處有3種涂法,D處有3種涂法,由此可得不同的涂法方法有5×4×(1×4+3×3)=260(種),故選D.兩個計數(shù)原理的應(yīng)用(1)應(yīng)用兩個計數(shù)原理的難點在于明確是分類還是分步:分類要做到“不重不漏”,正確把握分類標準是關(guān)鍵;分步要做到“步驟完整”,步步相連才能將事件完成.(2)較復(fù)雜的問題可借助圖表來完成.(3)對于涂色問題:①分清元素的數(shù)目以及在不相鄰的區(qū)域內(nèi)是否可以使用同類元素.②注意對每個區(qū)域逐一進行,分步處理.例1

(1)(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演,若甲不站在兩端,丙和丁相鄰,則不同排列方式共有(

)A.12種B.24種C.36種D.48種考點2排列與組合——綜合性B

解析:因為丙、丁要在一起,先把丙、丁捆綁,看做一個元素,連同乙、戊看成三個元素排列,有3!種排列方式;為使甲不在兩端,必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入,有2種插空方式;注意到丙、丁兩人的順序可交換,有2種排列方式,故安排這5名同學(xué)共有:3!×2×2=24(種)不同的排列方式.故選B.(2)現(xiàn)有16張不同的卡片,其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張,從中任取3張,要求這3張卡片不能是同一種顏色,且紅色卡片至多1張,不同取法的種數(shù)為(

)A.232

B.252

C.472

D.484

1.有限制條件的排列問題的常用方法(1)對于有限制條件的排列問題,分析問題時有位置分析法、元素分析法,在實際進行排列時一般采用特殊元素優(yōu)先原則,即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置,對于分類過多的問題可以采用間接法.(2)對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法.2.組合問題的常見類型與處理方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型:“含有”,則先將這些元素取出,再由另外元素補足;“不含有”,則先將這些元素剔除,再從剩下的元素中選取.(2)“至少”或“至多”含有幾個元素的題型:若直接法分類復(fù)雜時,可逆向思維,間接求解.考向1整體均分問題例2

教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育,在全國重點師范大學(xué)免費培養(yǎng)教育專業(yè)師范生,畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教.現(xiàn)有6個免費培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學(xué)校去任教,有______種不同的分派方法.考點3分組分配問題——綜合性

解決分組問題的關(guān)鍵是如何刪去重復(fù)排列的組數(shù).一般地,若為平均分組,則應(yīng)用n個元素分組得到的排列種數(shù)除以組數(shù)的全排列;若為不平均分組,則應(yīng)按照實際情況分析重復(fù)排列的種數(shù),然后再進行相應(yīng)計算.考向2

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