2024版高考數(shù)學一輪總復習第5章平面向量復數(shù)第6節(jié)數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入教師用書

第六節(jié)數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入考試要求：1．理解復數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義．2．理解兩個復數(shù)相等的含義．3．掌握復數(shù)代數(shù)形式的四則運算，了解復數(shù)加、減運算的幾何意義．一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．復數(shù)的定義及分類(1)復數(shù)的定義形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，實部是a，虛部是b．(2)復數(shù)的分類：復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)實數(shù)2．復數(shù)的有關概念(1)復數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(2)共軛復數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(3)模：向量OZ的模叫做復數(shù)z＝a＋bi的模，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝a2+b2(a，b3．復數(shù)的幾何意義復平面的概念建立直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面實軸、虛軸在復平面內(nèi)，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，實軸上的點都表示實數(shù)；除原點以外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)復數(shù)的幾何表示復數(shù)z＝a＋bi一一對應復平面內(nèi)的點Z(a，b)一一對應平面向量OZ幾何意義復數(shù)的加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行．如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2，OZ＝OZ14.復數(shù)的運算法則設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則：(1)z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.(2)z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.(3)z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(4)z1z2＝a+bic+di＝a5．常用結(jié)論及復數(shù)加、減法的幾何意義(1)(1±i)2＝±2i，1+i1-i＝i(2)i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i，i4n＋i4n+1＋i4n+2＋i4n+3＝0(n∈N*)．(3)z·z＝|z|2＝|z|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，z1z2＝z1z2，|zn|(4)復數(shù)加法的幾何意義：若復數(shù)z1，z2對應的向量OZ1，OZ2不共線，則復數(shù)z1＋z(5)復數(shù)減法的幾何意義：復數(shù)z1－z2是OZ1-二、基本技能·思想·活動經(jīng)驗1．判斷下列說法的正誤，對的畫“√”，錯的畫“×”．(1)方程x2＋x＋1＝0沒有解． (×)(2)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)中，虛部為bi. (×)(3)復數(shù)中有相等復數(shù)的概念，因此復數(shù)可以比較大?。?(×)(4)原點是實軸與虛軸的交點． (√)(5)復數(shù)的模實質(zhì)上就是復平面內(nèi)復數(shù)對應的點到原點的距離，也就是復數(shù)對應的向量的模． (√)2．(1－i)4＝()A．－4 B．4C．－4i D．4iA解析：(1－i)4＝[(1－i)2]2＝(－2i)2＝－4.3．在復平面內(nèi)，向量AB對應的復數(shù)是2＋i，向量CB對應的復數(shù)是－1－3i，則向量CA對應的復數(shù)是()A．1－2i B．－1＋2iC．3＋4i D．－3－4iD解析：CA＝CB+BA＝－1－3i＋(－2－i)＝－34．若復數(shù)z＝(x2－1)＋(x－1)i為純虛數(shù)，則實數(shù)x＝_______．－1解析：因為z為純虛數(shù)，所以x2-1=0，5．已知(1＋2i)z＝4＋3i，則z＝_________．2＋i解析：因為(1＋2i)z＝4＋3i，所以z＝4+3i1+2i＝4+3i1-2i1+2i1-考點1復數(shù)的有關概念——基礎性1．設a∈R且a≠0，若復數(shù)(1＋ai)3是實數(shù)，則a2＝()A．9 B．6C．3 D．2C解析：因為(1＋ai)3＝1＋3ai＋3(ai)2＋(ai)3＝1－3a2＋(3a－a3)i，所以3a－a3＝0，又a≠0，所以a2＝3.故選C.2．已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i為虛數(shù)單位)，則()A．a(chǎn)＝1，b＝－3 B．a(chǎn)＝－1，b＝3C．a(chǎn)＝－1，b＝－3 D．a(chǎn)＝1，b＝3B解析：因為a＋3i＝(b＋i)i＝－1＋bi，a，b∈R，所以a＝－1，b＝3.3．設復數(shù)z＝1+i20212-i，則A．35 BC．15 DA解析：z＝1+i20212-i＝1+i4×505·i2-解決復數(shù)概念問題的方法及注意事項(1)復數(shù)的分類及對應點的位置都可以轉(zhuǎn)化為復數(shù)的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．(2)解題時一定要先看復數(shù)是不是a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部．(3)解決此類問題的關鍵是弄清復數(shù)的相關概念，如第1題易弄混復數(shù)為實數(shù)的條件而致錯；第3題易混淆復數(shù)虛部的概念而誤選B.考點2復數(shù)的幾何意義——應用性(1)(2021·新高考全國Ⅱ卷)復數(shù)2-i1-3A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限A解析：2-i1-3i＝2-(2)(2020·全國Ⅱ卷)設復數(shù)z1，z2滿足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝3＋i，則|z1－z2|＝_________．23解析：方法一：設z1，z2在復平面內(nèi)對應的向量為OZ1，OZ2，以則|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)，所以|z1－z2|2＝2(22＋22)－4＝12，所以|z1－z2|＝23.方法二：設復數(shù)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則a2＋b2＝4，c2＋d2＝4.又z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i＝3＋i，所以a＋c＝3，b＋d＝1，則(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝4，所以8＋2ac＋2bd＝4，即2ac＋2bd＝－4，所以|z1－z2|＝a-c2+b-d2若本例(2)條件不變，則復數(shù)z1＋z2對應向量與復數(shù)z1對應向量的夾角等于_________．60°解析：因為|z1|＝|z2|＝|z1＋z2|＝2，所以由平行四邊形法則知，復數(shù)z1與復數(shù)z1＋z2對應向量的夾角為60°.復數(shù)幾何意義問題的解題策略(1)復數(shù)z、復平面上的點Z及向量OZ間的相互聯(lián)系：z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?OZ＝(a，b)．(2)由于復數(shù)、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題簡單化．1．(2022·聊城月考)設復數(shù)z1，z2在復平面內(nèi)對應的點關于實軸對稱，z1＝2＋i，則z1z2＝A．1＋i B．35C．1＋45i D．1＋4B解析：因為復數(shù)z1，z2在復平面內(nèi)對應的點關于實軸對稱，z1＝2＋i，所以z2＝2－i，所以z1z2＝2+i22．復數(shù)z滿足|z－2|＝1，則|z|的最大值為()A．1 B．2C．3 D．3C解析：設z＝x＋yi(x，y∈R)，因為|z－2|＝1，所以復數(shù)z對應點Z(x，y)在以A(2，0)為圓心，1為半徑的圓上運動．由圖可知當點Z位于點B(3，0)處時，點Z到原點的距離最大，最大值為3.故選C.考點3復數(shù)的運算——綜合性考向1復數(shù)的乘法運算(1)(2021·新高考Ⅰ卷)已知z＝2－i，則z(z＋i)＝()A．6－2i B．4－2iC．6＋2i D．4＋2iC解析：因為z＝2－i，所以z＝2＋i，則z(z＋i)＝(2－i)·(2＋2i)＝4＋4i－2i＋2＝6＋2i.故選C.(2)若復數(shù)z滿足z1-i＝i，其中i為虛數(shù)單位，則z＝A．1－i B．1＋iC．－1－i D．－1＋iA解析：因為z1-i＝i，所以z＝i(1－i)＝1＋i，所以z＝復數(shù)乘法運算的要點復數(shù)的乘法類似于多項式的乘法，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可，但要注意把i2換成－1.考向2復數(shù)的除法運算(1)(2021·全國乙卷)設iz＝4＋3i，則z＝()A．－3－4i B．－3＋4iC．3－4i D．3＋4iC解析：方法一：因為iz＝4＋3i，所以i2z＝(4＋3i)·i＝－3＋4i，所以－z＝－3＋4i，則z＝3－4i.故選C.方法二：由iz＝4＋3i，得z＝4+3ii＝4+3i-ii(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1－z)＝1，則z＋z＝()A．－2 B．－1C．1 D．2D解析：由i(1－z)＝1，得1－z＝1i＝-i-i2＝－i，所以z＝1＋i，則z所以z＋z＝1＋i＋1－i＝2.求解復數(shù)除法問題的注意點除法的關鍵是分子、分母同乘分母的共軛復數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式．1．(2022·全國甲卷)若z＝1＋i，則|iz＋3z|＝()A．45 B．42C．25 D．22D解析：z＝1＋i，所以iz＋3z＝i＋i2＋3(1－i)＝i－1＋3－3i＝2－2i，則|iz＋3z|＝22+-22．(多選題)下面是關于復數(shù)z＝2-1+i的四個命題，其中的真命題為A．|z|＝2B．z2＝2iC．z的共軛復數(shù)為1＋iD．z的虛部為－1BD解析：因為z＝2-1+i＝2-1-i-1+i-1-i＝－1－i，所以|z|＝2，z23．歐拉公式eiθ＝cosθ＋isinθ把自然對數(shù)的底數(shù)e，虛數(shù)單位i，三角函數(shù)cosθ和sinθ聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學的和諧美，被譽為“數(shù)學的天橋”．若復數(shù)z滿足(eiπ＋i)·z＝i，則|z|＝()A．1 B．2C．32 B解析：由題意z＝ieiπ+i＝icosπ+isinπ所以z＝122+-1課時質(zhì)量評價(三十一)A組全考點鞏固練1．(2022·新高考Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝()A．－2＋4i B．－2－4iC．6＋2i D．6－2iD解析：(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i－4i2＝6－2i.2．(2022·全國乙卷)設(1＋2i)a＋b＝2i，其中a，b為實數(shù)，則()A．a(chǎn)＝1，b＝－1B．a(chǎn)＝1，b＝1C．a(chǎn)＝－1，b＝1D．a(chǎn)＝－1，b＝－1A解析：因為(1＋2i)a＋b＝2i，所以a＋b＋2ai＝2i，即a+b3．(2022·北京卷)若復數(shù)z滿足i·z＝3－4i，則|z|＝()A．1 B．5C．7 D．25B解析：由i·z＝3－4i，得z＝3-4ii＝－所以|z|＝3-4ii＝34．(2022·全國甲卷)若z＝－1＋3i，則zzz-1A．－1＋3i B．－1－3iC．－13+33i C解析：因為z＝－1＋3i，所以z·z＝|z|2＝-12+則zzz-1＝5．設i為虛數(shù)單位，則復數(shù)z＝2-5i1+A．32 B．－C．92 D．－B解析：z＝2-5i1+i＝22+-521+i＝36．復數(shù)z1，z2分別對應復平面內(nèi)的點M1，M2，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，線段M1M2的中點M對應的復數(shù)為4＋3i(i是虛數(shù)單位)，則|z1|2＋|z2|2＝()A．10 B．100C．52 D．50B解析：由|z1＋z2|＝|z1－z2|可知，OM1⊥OM2，故△OM1M2為直角三角形，故有z12+z22＝OM12+B組新高考培優(yōu)練7．若復數(shù)z滿足z(2－i)＝(2＋i)(3－4i)，則|z|等于()A．5 B．3C．5 D．25C解析：由題意z(2－i)＝(2＋i)(3－4i)＝10－5i，則z＝10-5i2-i＝10-58．(多選題)(2022·邯鄲二模)若復數(shù)z滿足(2＋i)z＋5i＝0，則()A．z的虛部為－2B．z＝1＋2iC．z在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限D(zhuǎn)．|z4|＝25AD解析：由z＝-5i2+i＝－1－2i，虛部為－2，故A正確；z＝－1＋2i，故B錯誤；z在復平面內(nèi)對應的點位于第三象限，故C錯誤；|z4|＝|z|4＝(5)4＝259．在復平面內(nèi)，復數(shù)z＝a＋bi(a∈R，b∈R)對應向量OZ(O為坐標原點)，設|OZ|＝r，以射線Ox為始邊，OZ為終邊旋轉(zhuǎn)的角為θ，則z＝r(cosθ＋isinθ)．法國數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)棣莫弗定理：z1＝r1(cosθ1+isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，則z1z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]，由棣莫弗定理導出了復數(shù)乘方公式：zn＝[r(cosθ＋isinθ)]n＝rn(cosnθ＋isinnθ)，則(－A．1024－10243iB．－1024＋10243iC．512－5123iD．－512＋5123iD解析：根據(jù)復數(shù)乘方