基于飽和向量值函數(shù)的無(wú)刷直流電機(jī)電壓跟蹤控制

基于飽和向量值函數(shù)的無(wú)刷直流電機(jī)電壓跟蹤控制

基于電機(jī)控制器的轉(zhuǎn)速抑制研究無(wú)刷直流電機(jī)以其簡(jiǎn)單的主體結(jié)構(gòu)、高功率密度、低轉(zhuǎn)動(dòng)習(xí)慣和高控制意識(shí)等特點(diǎn)而聞名。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，由于電機(jī)自身的結(jié)構(gòu)和電路控制，電機(jī)的反電動(dòng)勢(shì)不是理想的梯度波和正矩陣波流。此外，由于電機(jī)相位的存在，在電機(jī)交換期間會(huì)產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)誤差，從而產(chǎn)生隨機(jī)噪聲和振動(dòng)，這限制了無(wú)刷直流電機(jī)在高精密旋轉(zhuǎn)和大型電機(jī)堯的應(yīng)用，并影響了實(shí)際應(yīng)用的效果。因此，如何實(shí)現(xiàn)電機(jī)管理系統(tǒng)的隨機(jī)干擾衰減，以抑制旋轉(zhuǎn)誤差的目的是電機(jī)控制的研究重點(diǎn)。無(wú)刷直流電機(jī)的控制技術(shù)研究主要集中在轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)的特性分析和抑制,以及對(duì)電機(jī)的速度跟蹤進(jìn)行研究.研究方法大致為三類(lèi):一類(lèi)是從電機(jī)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)角度,使繞阻反電動(dòng)勢(shì)的波形逼近理想波形(方波或正弦波),進(jìn)而采用PID或PI使電機(jī)的輸出跟蹤指定參考信號(hào);另一類(lèi)是閉環(huán)控制技術(shù),其以電機(jī)的瞬時(shí)轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)為研究對(duì)象,根據(jù)實(shí)際轉(zhuǎn)矩反饋信號(hào),通過(guò)PID調(diào)節(jié)瞬時(shí)轉(zhuǎn)矩脈動(dòng),并對(duì)轉(zhuǎn)子的角速度進(jìn)行調(diào)節(jié),但需增加傳感器對(duì)角速度進(jìn)行測(cè)量;第三類(lèi)是先進(jìn)控制及智能控制技術(shù),如邱建琦、王海峰基于矢量控制法分別研究了正弦波驅(qū)動(dòng)下轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)的自適應(yīng)抑制以及最優(yōu)電流求解問(wèn)題,特別,王海峰以卡爾曼濾波器為工具,在α-β坐標(biāo)變換下,獲得電機(jī)磁鏈的較好估計(jì),但這種方法對(duì)轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)的控制精度不高及計(jì)算開(kāi)銷(xiāo)大,盡管如此,此研究為進(jìn)一步對(duì)電機(jī)的外部隨機(jī)干擾因素的擾動(dòng)抑制研究提供了新的啟迪.由于電機(jī)控制系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用中,控制器的輸出電壓常出現(xiàn)飽和現(xiàn)象,同時(shí)轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)隨機(jī)因素,使得電機(jī)控制技術(shù)的研究極為困難,同時(shí)此方面的研究極為罕見(jiàn).基于此,本文在考慮電機(jī)控制器的輸出電壓飽和因素及系統(tǒng)隨機(jī)因素前提下,借鑒文獻(xiàn)的部分研究思想,通過(guò)引入飽和函數(shù)和自適應(yīng)參數(shù),設(shè)計(jì)控制器解決電壓跟蹤問(wèn)題;理論上論證在設(shè)計(jì)的控制器作用下受控系統(tǒng)是全局一致畢竟有界,數(shù)值實(shí)驗(yàn)論證了理論結(jié)果的正確性.1含飽和項(xiàng)的非線性控制器ua,ub,ec的工作原理假定定子三相繞阻采用Y形接法且對(duì)稱和無(wú)中點(diǎn),氣隙等效長(zhǎng)度為常數(shù),忽略電樞反應(yīng)及已消除齒槽轉(zhuǎn)矩,控制方式為三相六狀態(tài)120。導(dǎo)通方式,反電動(dòng)勢(shì)為120。電角平頂寬度的梯形波;于是,獲電機(jī)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型:電壓方程為sat(uaubuc)=R(iaibic)+LΜddt(iaibic)+(eaebec)(1)sat???uaubuc???=R???iaibic???+LMddt???iaibic???+???eaebec???(1)其中,sat(X)表示向量X中各分量的飽和函數(shù)構(gòu)成的向量值函數(shù),ua,ia,ea、ub,ib,eb、uc,ic,ec分別表示三相繞組A、B、C的相電壓、相電流及反電動(dòng)勢(shì),R為三相繞阻的電阻,LM為自感與互感系數(shù)之差,ua,ub,uc的飽和電壓為umax;電磁轉(zhuǎn)矩方程為Τem=pω(eaia+ebib+ecic)(2)其中,p為極對(duì)數(shù),ω為轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速.機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程J¨θ=Τem-B0˙θ-Τ0(3)在此,J為轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,B0為轉(zhuǎn)子的阻尼系數(shù),T0為負(fù)載轉(zhuǎn)矩.眾所周知,系統(tǒng)(1)中三相的電壓由系統(tǒng)的輸入電壓U、三相反電動(dòng)勢(shì)及六狀態(tài)A+B-、A+C-、B+C-、B+A-、C+A-、C+B-的周期導(dǎo)通更替決定,具體可由表1獲知,其中UΝ=ea+eb+ec3.本文研究的目的是要設(shè)計(jì)一種含飽和項(xiàng)的非線性控制器(ua,ub,uc),使其抑制系統(tǒng)(1)的隨機(jī)噪聲和克服電壓飽和現(xiàn)象,同時(shí)要求該系統(tǒng)的三相電壓、電流分別跟蹤參考信號(hào)系統(tǒng)的三相電壓及電流.由于在系統(tǒng)(1)無(wú)隨機(jī)噪聲下,可以設(shè)計(jì)控制器使該系統(tǒng)達(dá)到漸近跟蹤,但當(dāng)此系統(tǒng)存在隨機(jī)噪聲時(shí),僅能設(shè)計(jì)控制器使該系統(tǒng)達(dá)到全局一致畢竟有界.為此,引入定義1給定如下非線性系統(tǒng)˙x=g(x,t),t0≤t≤Γ(4)若存在與t0無(wú)關(guān)的正常數(shù)b和c,使得對(duì)于每個(gè)a∈(0,c),若存在T=T(a,b)≥0與t0無(wú)關(guān),滿足‖x(t0)‖≤a?‖x(t)‖≤b,?t≥t0+T(5)則稱系統(tǒng)(4)是一致畢竟有界的,且最終的邊界為b;若(5)對(duì)于任意大a都成立,則稱系統(tǒng)(4)是全局一致畢竟有界的.2ue1s7eb-bu#keb-b假定系統(tǒng)(1)中各相反電動(dòng)勢(shì)的理想波形為平頂寬120。的梯形波,但由于紋波的影響,三相反電動(dòng)勢(shì)的實(shí)際波形是由梯形波及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)復(fù)合而成,為此,假定三相A、B、C的反電動(dòng)勢(shì)分別是由梯形波與隨機(jī)項(xiàng)之和構(gòu)成,即ea=?λ1ωEa(θ)+ζ1,eb=?λ2ωEb(θ)+ζ2,ec=?λ3ωEc(θ)+ζ3,在此,?λ1,?λ2,?λ3分別為三相A、B、C的待定反電動(dòng)勢(shì)常數(shù),Ea(θ),Eb(θ),Ec(θ)分別是界為1、周期為2π的函數(shù),ζ1,ζ2,ζ3為隨機(jī)函數(shù).另外,由于轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)使得電機(jī)本體及控制電路產(chǎn)生隨機(jī)噪聲,于是在考慮隨機(jī)因素前提下,系統(tǒng)(1)改寫(xiě)為ddt(iaibic)=-RLΜ(iaibic)+1LΜsat(uaubuc)-ωLΜE(θ)?λ-1LΜζ(6)在此,E(θ)=(Ea(θ)000Eb(θ)000Ec(θ)),?λ=(?λ1?λ2?λ3)ζ為三維的隨機(jī)向量,且假定‖ζ‖≤Mζ.另外,當(dāng)參考電壓作為輸入電壓直接作用于受控系統(tǒng)(1)時(shí),由于無(wú)負(fù)載作用,所以在此假定此時(shí)的反電動(dòng)勢(shì)的波形為梯形波,相應(yīng)的參考信號(hào)跟蹤系統(tǒng)取為ddt(i*ai*bi*c)=-RLΜ(i*ai*bi*c)+1LΜ(u*au*bu*c)-ωLΜE(θ)Κe(7)其中,Ke=(Kea,Keb,Kec)T,Kea,Keb,Kec分別是在參考電壓U*作為輸入電壓直接作用于受控系統(tǒng)(1)時(shí)三相A、B、C的反電動(dòng)勢(shì)常數(shù),u*a,u*b,u*c由表1確定.結(jié)合(6)、(7),可以獲得如下誤差系統(tǒng)˙X=-RLΜX+1LΜW-ωLΜE(θ)?λ-1LΜζ(8)其中,X≡(x1x2x3)=(ia-i*aib-i*bic-i*c),W≡(w1w2w3)=sat(uaubuc)-(u*au*bu*c),?λ≡?λ-Κe引入如下函數(shù):Sat(X)={(sin(πx12ε)sin(πx22ε)sin(πx32ε))if∥X∥≤εSgn(X)if∥X∥＞ε(9)其中,Sgn(X)=(sgn(x1),sgn(x2),sgn(x3))T,sgn(x)是關(guān)于x的符號(hào)函數(shù),ε>0.選取系統(tǒng)(1)的控制向量值函數(shù)(uaubuc)=(u*au*bu*c)+ρX-ΜvSat(X)(10)其中ρ<0.從而,可獲以下結(jié)論引理1若‖X‖>ε,則當(dāng)Mv≥Mζ時(shí),有XT(W-ζ)≤0.證明:由于‖X‖>ε,則有Sat(X)=Sgn(X),從而,(a)若ua,ub,uc均未達(dá)到飽和,則W=(uaubuc)-(u*au*bu*c)=ρX-ΜvSgn(X)(11)于是,XT(W-ζ)=ρXTX-XTζ-MvXTSgn(X)≤ρXTX+(Mζ-Mv)‖X‖<0(12)(b)若ua≥umax,ub≥umax,uc≥umax,則ρX-ΜvSgn(X)≥(umaxumaxumax)-(u*au*bu*c)=W≥0(13)因?yàn)棣裍與-Mvsgn(X)的對(duì)應(yīng)分量同號(hào),所以,X≤0,從而XT(W-ζ)≤ρXTX-XTζ-MvXTSgn(X)≤ρXTX+(Mζ-Mv)‖X‖<0(14)(c)若ua≤-umax,ub≤-umax,uc≤-umax,則有ρX-Μvsgn(X)≤(umaxumaxumax)-(u*au*bu*c)(15)從而,X≥0,且也有(14)成立.(d)若ua,ub,uc中僅有一個(gè)達(dá)到飽和,如|ua|>umax,可類(lèi)似于情形(b)、(c)證明結(jié)論成立.(e)若ua≥umax,ub≤umax,uc≤umax,則有ρx1-Mvsgn(x1)=ua-u*a≥w1≥0ρx2-Mvsgn(x2)=ub-u*b≤w2≤0ρx3-Mvsgn(x3)=uc-u*c≤w3≤0(16)再由ρ<0,Mv>0,xisgn(xi)≥0,i=1,2,3,有XT(W-ζ)=x1(w1-ζ1)+x2(w2-ζ2)+x3(w3-ζ2)≤0(17)對(duì)于其它情形,同理可證XT(W-ζ)≤0,因而結(jié)論成立.引理2若‖X‖≤ε,則對(duì)于δ(ε)>0,在Μv＞12ε(4ρε+Μ2ζ)δ(ε)π(24-π2)(18)的條件下,必有XT(W-ζ)<ε.證明:由于‖X‖≤ε,則有sat(X)=(sin(πx12ε)sin(πx22ε)sin(πx32ε))=(πx12ε(1-(πx1)224ε2cosζ1)πx22ε(1-(πx2)224ε2cosζ2)πx32ε(1-(πx3)224ε2cosζ3))(19)其中,|ζ1|<ε,|ζ2|<ε,|ζ2|<ε.于是,XΤsat(X)=XΤ(sin(πx12ε)sin(πx22ε)sin(πx32ε))=π2ε3∑i=1πx212εx2i(1-(πxi)224ε2cosζi)≥π(24-π2)48ε∥X∥2＞0(20)又由于(1-(πxi)224ε2cosζi)≥1-π224＞0因此,X與sat(X)同號(hào),即ρX與-Mvsat(X)同號(hào);進(jìn)而類(lèi)似于引理1的證明,可獲得XΤ(W-ζ)=XΤ(sat(uaubuc)-(u*au*bu*c)-ζ)≤ρXΤX-XΤζ-ΜvXΤsat(X)(21)于是,利用(18)、(20)-(21)得XΤ(W-ζ)≤(ρ-Μvπ(24-π2)48ε)∥X∥2+Μζ∥X∥≤-Μ2ζ4(ρ-Μvπ(24-π2)48ε)＜δ(ε)(22)定理1在引理1、2的假設(shè)下,經(jīng)由自適應(yīng)控制器(uaubuc)=(u*au*bu*c)+ρX-Μvsat(X),˙?λ=μωE(θ)X(23)系統(tǒng)(1)是全局一致畢竟有界.證明:取Lyapunov函數(shù)V=XΤX+1Lμ?λΤ?λ(24)于是,由(22)中的第二式得˙V=2XΤ˙X+2Lμ˙?λΤ?λ=-2RLΜXΤX+2LΜXΤ(W-ζ)-2LΜωXΤ(θ)?λ+2Lμ˙?λΤ?λ=-2RLΜXΤX+2LΜXΤ(W-ζ)(25)進(jìn)而,由引理1及引理2,得˙V＜{0if∥X∥＞ε2LΜδ(ε)if∥X∥≤ε(26)故由(26)及定義1獲證.3反電動(dòng)勢(shì)仿真實(shí)驗(yàn)檢測(cè)控制器(23)作用于系統(tǒng)(1)的控制性能,在此,測(cè)試系統(tǒng)(1)在給定轉(zhuǎn)速下,三相電壓、電流分別跟蹤系統(tǒng)(7)的三相電壓、電流的情況.本部分在Matlab6.1環(huán)境下,考慮兩種類(lèi)型參考信號(hào)U*的跟蹤控制:階躍參考信號(hào)及正弦波參考信號(hào).系統(tǒng)(1)中三相A、B、C的反電動(dòng)勢(shì)包含的隨機(jī)變量服從均勻分布:0.5U(-0.5,0.5).選取時(shí)間單位為秒(s),參數(shù)值選取為:R=2.40574Ω,LM=3.3227×10-4mH,T0=15N,B0=10-4N.s/m.三相的額定電壓均為2.5V,系統(tǒng)(7)的反電動(dòng)勢(shì)常數(shù)均為0.0495497v/(rad/s),系統(tǒng)(1)、(7)的采樣間隔為1.25×10-4s,角速度取為w=60rad/s,ε=100,ρ=-0.1(1+exp(-0.5t))-1.情形1階躍電壓信號(hào)跟蹤選取參考電壓為(1V),則由表1及系統(tǒng)(7)可獲三相A、B、C的電壓及電流的變化情況,如圖1所示.由此圖可知,三相電流基本上呈現(xiàn)矩形波形狀變化,同時(shí)滿足在各時(shí)刻,三相電流之和為0的條件.另外,三相6狀態(tài)的電壓變化具有周期性.在此,實(shí)驗(yàn)的目的是希望系統(tǒng)(1)的三相電流、電壓在控制器(23)的作用下分別跟蹤圖1中對(duì)應(yīng)的電流及電壓,如圖2所示.經(jīng)對(duì)圖1、2中對(duì)應(yīng)的圖形進(jìn)行對(duì)比分析可知,系統(tǒng)(1)中反電動(dòng)勢(shì)紋波對(duì)電流的影響得到了較為有效的抑制,但電流自身仍然存在一定的紋波,特別在該系統(tǒng)的三相電流分別跟蹤系統(tǒng)(7)的三相電流到達(dá)各自的峰值時(shí)間內(nèi),系統(tǒng)(1)的三相電流各自仍然有一定的紋波,這說(shuō)明了反電動(dòng)勢(shì)的紋波對(duì)電流的干擾較大,盡管如此,系統(tǒng)(1)的電流紋波獲得了有效抑制;另外,系統(tǒng)(1)的三相電壓幾乎不受電流、反電動(dòng)勢(shì)的紋波干擾,并在任何時(shí)刻均能分別跟蹤系統(tǒng)(7)的三相電壓,因此,電壓的跟蹤較為理想.由此表明,對(duì)于方波驅(qū)動(dòng)的無(wú)刷直流電機(jī)控制系統(tǒng)(1),在控制器(23)作用下,該系統(tǒng)的輸出電壓能有效地跟蹤參考電壓,即該系統(tǒng)的三相電壓能分別有效地跟蹤系統(tǒng)(7)的三相電壓.情形2正弦波參考電壓跟蹤選取參考電壓為3sin(2θ+2π/3)V,類(lèi)似于情形1可獲得系統(tǒng)(7)的各相電壓及電流變化情況,如圖3所示.由此圖可知,在參考電壓為非階躍信號(hào)前提下,三相電流在±2A之間呈正弦波形狀變化,這說(shuō)明,盡管反電動(dòng)勢(shì)呈梯形波形狀變化,但當(dāng)跟蹤信號(hào)為非階躍信號(hào)時(shí),繞阻各相電流不一定保持矩形波的特征.另外,由于三相6狀態(tài)的更替具有周期性,所以三相的電壓變化各自也進(jìn)行周期性變化.類(lèi)似于情形1,獲得系統(tǒng)(1)的三相電流、電壓跟蹤系統(tǒng)(7)的相應(yīng)電流、電壓跟蹤曲線,如圖4所示.經(jīng)由對(duì)圖3、4中對(duì)應(yīng)的圖形進(jìn)行對(duì)比分析可獲得與情