疊加定理的改進

疊加定理的改進

重復(fù)定理是線性電路的重要病理之一，在線性電路分析中發(fā)揮著非常重要的作用。其基本內(nèi)容是:任一線性電路中任一支路的電流或電壓等于電路中各個獨立電源單獨作用時,在這個支路所產(chǎn)生的電流或電壓的代數(shù)和。定理指明了它適用于計算電路中的電壓和電流,但在分析正弦交流電路時,需要計算電壓和電流的瞬時值和相量值,確定這兩者是否都可以使用疊加定理進行計算。線性電路還包括非正弦周期電流電路,它的電壓和電流的瞬時值和相量值是否也可用疊加定理進行計算。定理中沒有提到功率的計算,在分析電路中功率和電壓、電流都是重要的參數(shù),那么功率的計算是否也可用疊加定理。本文就以上問題進行進一步的探討。1線性直流電道1.1電壓和電流疊加定理一般都是在直流線性電路分析中引出,因此用于計算直流線性電路的電壓和電流肯定是成立的。1.2交叉積分法在直流電路中的負載為電阻,電阻的功率計算公式為:假設(shè)電阻上的電壓和電流為兩個獨立源作用的疊加,即U=U′+U″,I=I′+I″,則P′=U′I′,P″=U″I″,但:顯然用分功率的疊加失去了交叉乘積項U′I″和U″I′,同樣用式(1)的另兩個公式進行分析可以得出同樣的結(jié)論,減少了交叉項。從式(1)還可看出功率與電壓或電流的平方成線性關(guān)系,而不是與電壓或電流的一次方成線性關(guān)系,這也可作為判斷功率是否滿足疊加原理的依據(jù)之一。總之,對于直流線性電路來講疊加定理是不能用來計算功率的。2大類特性的適應(yīng)根據(jù)電路中激勵頻率不同可把電路分為兩大類,一類是單一頻率正弦交流電路,另一類是不同頻率交流正弦電路,它們對于疊加定理的適應(yīng)也不相同,現(xiàn)分別闡述。2.1單一頻率電路,認(rèn)為效假設(shè)電路中含有兩個同頻率的正弦信號,則電路中響應(yīng)的頻率與信號源的頻率相同,此時電路仍為單一頻率電路。則阻抗Z上產(chǎn)生的電壓和電流分別為:2.1.1電壓和電流的瞬時值的計算由上分解式可以看出同頻率正弦交流電路中,電壓和電流的瞬時值的計算可以用疊加定理進行計算。而相量值由于電壓和電流的分量的頻率相同,則也可用疊加定理計算。即:2.1.2單一頻率在線疊加定理即瞬時功率不可用疊加定理進行計算。根據(jù)有功功率的計算公式P=UIcosφ可以推出:其中φ是電壓和電流的相位差,φz是阻抗Z的阻抗角。由式(4)可看出有功功率不是電壓或電流的線性關(guān)系。因此單一頻率正弦交流電路中疊加定理一般不適用有功功率的計算。這里也有特例,參考文獻中指出:在兩個同頻率的電源共同作用下的線性正弦交流電路中,如果這兩個電源分別單獨作用在某一支路上產(chǎn)生的兩個電流的相位差為90°時,該支路的平均功率就可以用疊加定理進行計算。2.2各頻率下的響應(yīng)當(dāng)電路中含有不同頻率的電源,根據(jù)疊加原理,兩個不同頻率的激勵在線性電路中分別產(chǎn)生與其頻率相同的響應(yīng),即電路中的每一響應(yīng)均為兩種頻率的正弦量之和,即在阻抗Z上產(chǎn)生的電壓和電流分別為:2.2.1交流電路的計算由上分解式可以看出在不同頻率正弦交流電路中,電壓和電流的瞬時值的計算恰好是不同頻率正弦交流電路的求解思路,所以電壓和電流的瞬時值可以用疊加定理進行計算。不同頻率的電源在電路中的響應(yīng)電壓和電流的頻率也不相同,因此不能用疊加定理計算電壓和電流的相量值。2.2.2功率由于不同頻率的電壓和電流產(chǎn)生的有功功率為零,則恰好使得疊加定理在計算不同頻率正弦交流電路的有功功率成立。3赫利條件的修正一般遇到的非正弦周期交流電路都符合狄里赫利條件,可以用傅里葉級數(shù)分解為直流部分、各種振幅和初相不同而頻率為基波的整數(shù)倍的正弦量的疊加,即把電壓或電流分解為:3.1電壓和電流相量值的疊加由上分解式可以看出在非正弦周期電流電路中,只有直流分量的頻率均為零相同,而各次諧波的頻率均不相同,因此只能疊加電壓和電流的瞬時值,不能疊加電壓和電流的相量值。3.2功能模件的疊加瞬時功率p為:如使用疊加原理進行計算,則:顯然式(6)、式(7)的計算結(jié)果不一致,即非正弦周期電流電路的瞬時功率的計算疊加定理不成立。有功功率也稱為平均功率,它是瞬時功率在一個周期內(nèi)的平均值。即:其中準(zhǔn)uk-準(zhǔn)ik是第j次諧波電壓和電流的相位差。從式(8)可以看出,只有頻率相同的電壓和電流才產(chǎn)生有功功率,等于各次諧波單獨作用時產(chǎn)生的有功功率的疊加,即有功功率可用疊加定理進行計算。本文對線性直流電路和線性交流電路關(guān)于疊加定理的使用范圍和條件進行了分析,通過討論研究得出:在線性直流電路中,電壓和電流的計算可以使用疊加定理,但不能用于功率的計算;對于正弦交流電路,在單一頻率的情況下,電路中的電壓和電流的瞬時值和相量值都可以使用疊加定理進行計算,瞬時功率不適用疊加定理計算,而有功功率一般不適用疊加定理來計算,只有在兩個同頻率的電源共同作用下的線性正弦交流電路,如果這兩個電源分別單獨作用在某一支路上產(chǎn)生的兩個電流的相位差為90°時,該支路的平均功率就可以用疊加定理進行計算;對于不同頻率正弦交流電路,電路中的電壓和電流的瞬時值可以使用疊加定理進行計算,而相量值不適用疊加定理計算,瞬時功率也不適用于疊加定理來計算,有功功率可用疊加定理進行計算;對于非正弦周期交流電路,電路中的電壓和電流的