非平價(jià)基底上超薄液膜流動(dòng)的數(shù)值分析

非平價(jià)基底上超薄液膜流動(dòng)的數(shù)值分析

20世紀(jì)末，以微外科方法為主的技術(shù)發(fā)展成為推動(dòng)薄微小說水平的重點(diǎn)。尺度縮小,基底表面性質(zhì),如表面粗糙度、基底表面的微結(jié)構(gòu)等,必將對(duì)流動(dòng)產(chǎn)生重要的影響。在微納尺度下,液膜厚度相比流動(dòng)尺度非常小,所以采用潤滑理論建立液膜厚度的演化方程進(jìn)行數(shù)值計(jì)算比較適宜,計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果也比較吻合。Stillwagon等最早采用潤滑理論對(duì)水平旋轉(zhuǎn)凹槽壁面上的薄液膜流動(dòng)特性進(jìn)行了理論研究,發(fā)現(xiàn)液膜在壁面凸起處出現(xiàn)了由毛細(xì)力引起的隆起現(xiàn)象。Kalliadasis等對(duì)Stillwagon等的凹槽表面液膜厚度演化方程進(jìn)行了更深入研究,證實(shí)了凹槽或凸起可改變薄液膜氣液界面曲率,由毛細(xì)力引起的液膜隆起特征出現(xiàn)在薄液膜進(jìn)入凹槽或離開凸起之前。Saprykin等研究了黏性和慣性對(duì)臺(tái)階表面液膜流動(dòng)的影響。Tatiana等分析了波紋狀壁面對(duì)底部受熱液膜的形態(tài)和穩(wěn)定性及膜內(nèi)速度場(chǎng)的影響。Tseluiko等模擬了零Re下臺(tái)階表面帶電液膜的流動(dòng)特性。樸明日等在連續(xù)凹槽進(jìn)口處通過施加周期擾動(dòng)對(duì)液膜表面波特性進(jìn)行了研究,發(fā)現(xiàn)表面波形態(tài)與Re和時(shí)間t有關(guān)。上述研究的微結(jié)構(gòu)特征大多為臺(tái)階或截面為矩形的情況,實(shí)際中基底上的微結(jié)構(gòu)可能呈現(xiàn)出多種不同的形式。本文在文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上,根據(jù)潤滑理論建立了傾斜非平整表面超薄液膜穩(wěn)態(tài)流動(dòng)的理論模型,推導(dǎo)了超薄液膜厚度的演化方程,利用PDECOL程序進(jìn)行了求解,進(jìn)而分析了多種壁面微結(jié)構(gòu)及重力對(duì)超薄液膜穩(wěn)態(tài)流動(dòng)的影響。1“0”濃度為d如圖1所示,壁面微結(jié)構(gòu)位于與水平面成θ角的傾斜斜面上,其形狀可用函數(shù)s*(x*)表示。微結(jié)構(gòu)為凹槽,深度為D*,寬度為2w*,斜度為δ*,超薄液膜在重力分量驅(qū)動(dòng)下流經(jīng)微結(jié)構(gòu)表面。假設(shè)液膜為不可壓縮牛頓流體,動(dòng)力黏度μ*和密度ρ*為常數(shù);壁面為無滑移無滲透界面,液膜自由表面外為無黏性氣體。液膜厚度H*相比流動(dòng)尺度L*非常小,即Ε=H*/L*?1,微流動(dòng)體系中的慣性力非常小,所以液體黏性對(duì)流動(dòng)將產(chǎn)生重要的影響。1.1重力加速度t對(duì)于傾斜面上的黏性、不可壓縮牛頓流體,二維流動(dòng)的控制方程應(yīng)包括連續(xù)性方程和運(yùn)動(dòng)方程??u*=0(1)ρ*[u*t*+(u*??)u*]=-?p*+μ*?2u*+ρ*g*(2)式中:u*=(u*,w*),u*和w*分別為x*和z*方向的速度;g*=(g*sinθ,-g*cosθ),g*sinθ和-g*cosθ分別為x*和z*方向上的重力加速度分量;p*為壓強(qiáng)。1.2應(yīng)力張量的計(jì)算固體壁面處滿足無滑移、無滲透條件時(shí)z*=s*,u*=w*=0(3)氣液界面滿足切向和法向應(yīng)力平衡方程時(shí)z*=h*+s*,n*?Τ*?t*=?σ*?t*(4)z*=h*+s*,n*?Τ*?n*=k*σ*(5)式中:n*和t*分別為界面處的單位法向量和切向量n*(x*,z*)=[-(h*x*+s*x*),1][1+(h*x*+s*x*)2]-1/2t*(x*,z*)=[1,h*x*+s*x*][1+(h*x*+s*x*)2]-1/2k*為界面平均曲率k*=(h*x*x*+s*x*x*)[1+(h*x*+s*x*)2]-3/2T*為液體的應(yīng)力張量。氣液界面運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件為z*=h*+s*,h*t*+u*s(h*x*+s*x*)=w*s(6)1.3保水性rongoni速度采用下式對(duì)控制方程組(1)、(2)及邊界條件(3)～(6)進(jìn)行無量綱化處理,即t*=tL*/U*(x*,z*,h*,s*)=L*(x,Εz,Εh,Εs)(u*,w*)=U*(u,Εw)p*=pσ*/Η*G=ρ*g*Η*L*/σ*式中:U*=σ*Η*μ*L*為Marangoni速度;σ*為超薄液膜的表面張力;G為邦德數(shù)(重力與表面張力之比)。對(duì)于無量綱化后的方程組,依據(jù)潤滑理論保留數(shù)量級(jí)大于等于O(Ε)的項(xiàng),可得ux+wz=0(7)uzz=px-Gsinθ(8)pz=0(9)無量綱形式的邊界條件為z=s,u=w=0(10)z=h+s,uz=0(11)z=h+s,p=-(hxx+sxx)(12)z=h+s,ht+us(hx+sx)=ws(13)1.4微結(jié)構(gòu)表面微織構(gòu)的演化方程結(jié)合式(9)～式(11),積分式(8)可得u=(px-Gsinθ)(z22-zh-zs+s22+hs)(14)由式(7)得ws=-∫uxdz|z=h+s=us(hx+sx)-[∫s+hsudz]x(15)將式(12)、式(14)和式(15)代入式(13)后化簡(jiǎn),可得液膜厚度演化方程ht=[-13h3(hxxx+sxxx+Gsinθ)]x(16)由于s(x)是關(guān)于x的任意函數(shù),通過改變s(x),可得不同特征的基底表面,因此式(16)不僅適用于凹槽,還適用于其他形狀的微結(jié)構(gòu)壁面,如臺(tái)階、V形溝槽和波狀凹槽等。2模型形狀特征的驗(yàn)證為研究液膜的穩(wěn)態(tài)流動(dòng)特征,下面將分別針對(duì)壁面微結(jié)構(gòu)為正向和負(fù)向臺(tái)階、左半和右半V字形、V字形、連續(xù)矩形凹槽,以及余弦波、三角波、梯形波和鋸齒波等不同形狀特征進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算中選取-20<x<20的一維區(qū)域,利用PDECOL程序?qū)κ?16)進(jìn)行數(shù)值求解,分析描述基底的多個(gè)無量綱結(jié)構(gòu)參數(shù)和重力參數(shù)對(duì)液膜穩(wěn)態(tài)流動(dòng)的影響。正向和負(fù)向臺(tái)階、左半和右半V字形、V字形和凹槽基底的形狀如圖2所示。為了與文獻(xiàn)的結(jié)論進(jìn)行比較,驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果的正確性,根據(jù)文獻(xiàn)G的取值范圍為0～30。模擬中G和θ如無特殊說明,則G=2,θ=30°。2.1流速旋轉(zhuǎn)式液膜流動(dòng)特性傾斜面上液膜流經(jīng)正向和負(fù)向臺(tái)階時(shí)的穩(wěn)態(tài)流動(dòng)特征如圖3和圖4所示,其中正向和負(fù)向臺(tái)階的基底函數(shù)為s(x)=D[(1/2±1/π)tan-1(x/δ)](17)式中:D和δ分別為臺(tái)階經(jīng)無量綱處理后的高度和斜度;正號(hào)和負(fù)號(hào)分別對(duì)應(yīng)正向和負(fù)向臺(tái)階。由圖3和圖4可知,液膜在流經(jīng)臺(tái)階表面時(shí),自由表面輪廓與臺(tái)階形狀基本相同,但在靠近臺(tái)階處有一定程度的偏移。圖3中,液膜流經(jīng)正向臺(tái)階之前在臺(tái)階底部形成凹陷,該凹陷深度隨δ的減小而增大,隨D的增加略有增加,見圖3c,這與Kalliadasis等研究的軸對(duì)稱旋轉(zhuǎn)液膜流經(jīng)正向臺(tái)階時(shí)的穩(wěn)定流動(dòng)特征相吻合。由圖4還可知,液膜流經(jīng)負(fù)向臺(tái)階之前隆起,且隆起高度隨D的增加顯著增大,隨δ的增加略有減小。對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)一步分析表明:液膜流經(jīng)正向臺(tái)階后,臺(tái)階的凹角使得此處液膜局部壓力減小,流速增大,因而液膜出現(xiàn)凹陷;負(fù)向臺(tái)階的凸角使得此處液體局部壓力增加,流速減小,因而液膜出現(xiàn)隆起。該結(jié)果與文獻(xiàn)關(guān)于臺(tái)階表面液膜穩(wěn)定流動(dòng)的研究結(jié)果一致。比較圖3和圖4可知,負(fù)向臺(tái)階處的液膜變形程度要比正向臺(tái)階處顯著,原因是隆起處的液體局部壓力絕對(duì)值明顯大于凹陷處,如D=1、δ=0.1時(shí),隆起處液體的p=0.7750,凹陷處液體的p=-0.4880。2.2半v型鋼表面液膜的變形特點(diǎn)半V字形和V字形基底函數(shù)為s(x)=D{1+1π[tan-1(x-wδ1)-tan-1(x+wδ2)]}(18)式中:w為V字的寬度。D=1,w=3時(shí)左半和右半V字形及V字形表面的液膜流動(dòng)特性如圖5所示。由圖5可知,液膜在離開左半V字形表面之前形成凹陷,在進(jìn)入右半V字形表面之前隆起,而在V字形表面并沒有發(fā)生類似的隆起和凹陷現(xiàn)象,這說明當(dāng)基底表面相對(duì)平坦(即δ≥1)時(shí),基底表面的不平整度對(duì)液膜表面變形的影響很小。結(jié)合圖3～圖5可知,半V字形表面液膜的隆起高度和凹陷深度要比臺(tái)階表面的更加明顯。這是因?yàn)榕c臺(tái)階基底的不平整度相比,半V字基底的不平整度更大,使得液膜局部壓力變化幅度增大,由此液膜表面變形放大。通過上述分析表明,液膜表面發(fā)生變形需要滿足:①基底表面相對(duì)崎嶇,即基底的不平整度使得基底表面形成的凸角和凹角更接近直角;②凸角的外法線方向與液膜的流動(dòng)方向成銳角(液體局部壓力增加,隆起出現(xiàn)),凹角的外法線方向與液膜的流動(dòng)方向成鈍角(液體局部壓力減小,凹陷出現(xiàn))。這與文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)液膜在彎曲壁面內(nèi)、外表面上的變形相同的結(jié)論完全吻合。2.3液膜流動(dòng)特性分析傾斜面上的液膜流動(dòng)受到了重力的驅(qū)動(dòng),因此研究重力對(duì)液膜流動(dòng)的影響很重要。下面以凹槽基底為例,研究x方向重力分量Gsinθ對(duì)液膜流動(dòng)特性的影響。凹槽基底函數(shù)為s(x)=D{1+1π[tan-1(x-wδ)-tan-1(x+wδ)]}(19)D=1、w=5、δ=0.1,不同G時(shí)液膜流動(dòng)特性如圖6所示。由圖6可知,當(dāng)G增大時(shí),凸角處隆起高度和凹角處凹陷深度均在減小,其影響范圍也逐漸減小,隆起減小的速度明顯比凹陷的要快。這表明x方向上的重力分量可抑制液膜表面變形,即通過減緩液體局部壓力的增加或減小,來減小基底結(jié)構(gòu)對(duì)液膜表面變形的影響,從而使得液膜流動(dòng)趨于穩(wěn)定。文獻(xiàn)在研究水平旋轉(zhuǎn)臺(tái)階表面的液膜流動(dòng)特性時(shí)考慮了重力(即本文z方向重力分量)的影響,結(jié)果表明:G=20時(shí),重力的影響遠(yuǎn)大于表面張力的影響,液膜表面幾乎沒有隆起和凹陷;隨著G的減小,液膜表面變形愈加明顯,此時(shí)表面變形主要以表面張力的變化為主導(dǎo)。這進(jìn)一步證實(shí)了重力確實(shí)可以減緩基底結(jié)構(gòu)對(duì)液膜流動(dòng)的影響。2.4基底不平整度對(duì)液膜流動(dòng)特性的影響Kalliadasis等研究了不同w下水平旋轉(zhuǎn)凹槽和凸起表面的液膜流動(dòng)特性,并認(rèn)為液膜流經(jīng)凹槽和凸起表面時(shí)的情形類似于液膜依次流經(jīng)正向和負(fù)臺(tái)階,是正向和負(fù)臺(tái)階共同作用的結(jié)果,但未考慮連續(xù)凹槽對(duì)液膜流動(dòng)特性的影響。鑒于連續(xù)凹槽中液膜流動(dòng)特性的類似性,下面針對(duì)連續(xù)的2個(gè)凹槽進(jìn)行了研究,其基底函數(shù)為s(x)=D{1+1π[tan-1(x-w1δ)-tan-1(x+w1δ)+tan-1(x+w2δ)-tan-1(x-w2δ)]}(20)式中:w1為凹槽寬度;w2為凸起表面的寬度。液膜在流經(jīng)凹槽時(shí)會(huì)受到流動(dòng)損失的影響,所以液膜到達(dá)第2個(gè)凹槽時(shí)的速度幾乎為0,因此需增加重力來維持液膜的流動(dòng),為此取G=10。D=1、δ=0.1時(shí)不同w下連續(xù)凹槽的液膜流動(dòng)特性如圖7所示。由圖7可知:當(dāng)w1=1.5、w2=0.5,即連續(xù)凹槽的寬度很小時(shí),凸角和凹角處產(chǎn)生的局部壓力梯度出現(xiàn)疊加,從而導(dǎo)致正向和負(fù)臺(tái)階的共同作用減弱,因此液膜表面變形減小;當(dāng)w1、w2趨于0時(shí),s(x)趨于1,相當(dāng)于平整表面上的液膜流動(dòng);隨w1、w2的增加,如w1=6、w2=2的情形,此時(shí)凸角和凹角處的局部壓力梯度疊加部分相對(duì)減小,正向和負(fù)臺(tái)階的共同作用加強(qiáng),即基底不平整度增大,致使液膜表面變形放大,隆起和凹陷更加明顯;當(dāng)w1、w2足夠大時(shí),凸角和凹角處的局部壓力梯度相互獨(dú)立,分別形成穩(wěn)定的局部壓力梯度,此時(shí)正向和負(fù)臺(tái)階的共同作用最強(qiáng),基底不平整度最大且保持不變,液膜隆起高度和凹陷深度不再隨w1、w2而變,從圖7中也發(fā)現(xiàn)液膜隆起和凹陷沒有明顯的區(qū)別。觀察圖7中w1=1.5、w2=0.5曲線發(fā)現(xiàn),第2個(gè)凹槽的液膜隆起和凹陷程度比第1個(gè)凹槽略大,但圖7中w1=6、w2=2,w1=9、w2=3這2條曲線未觀察到類似現(xiàn)象,利用圖6的結(jié)論可知,這是G取值太大所致。圖7表明,基底的連續(xù)不平整將對(duì)液膜流動(dòng)產(chǎn)生多處擾動(dòng),沿流動(dòng)方向的擾動(dòng)不斷加強(qiáng),使得該方向上的液膜表面變形更加顯著。文獻(xiàn)對(duì)矩形波紋底板的薄膜流動(dòng)特性的數(shù)值計(jì)算表明,表面行波的振幅和波長(zhǎng)沿流動(dòng)方向均有所增大,這與本文的分析結(jié)果相符。2.5液膜起落架動(dòng)態(tài)目前,關(guān)于非平整基底表面的液膜流動(dòng)主要集中于臺(tái)階、矩形凹槽和凸起的結(jié)構(gòu),對(duì)于波狀基底,如余弦波、三角波、梯形波和鋸齒波等基底的研究甚少,下面對(duì)上述表面的液膜流動(dòng)特征進(jìn)行了研究。由于基底函數(shù)需保證三階可導(dǎo)且恒不為0,所以三角波、梯形波和鋸齒波基底函數(shù)不能選取分段函數(shù),需轉(zhuǎn)換成傅里葉級(jí)數(shù)的形式,由此余弦波基底函數(shù)為s(x)=D2[cos(kx)+1](21)三角波基底函數(shù)為s(x)=5D12[65+∞∑n=11n2cos(knx)]n=1,3,5,?(22)梯形波基底函數(shù)為s(x)=5D9[910+21/2∑n=1∞1n2cos(nπ4)cos(knx)]n=1,3,5,?(23)鋸齒波基底函數(shù)為s(x)=5D16[85+∑n=1∞1nsin(knx)]n=1,2,3,?(24)式中:k為基底波數(shù),描述基底周期寬度的變化。G=2、D=1、k=1時(shí)不同波狀表面的液膜流動(dòng)特性如圖8所示。由圖8可知,液膜在鋸齒波表面的隆起高度最大,其余依次為梯形波、余弦波和三角波,但凹陷深度與之相反,波狀表面的液膜隆起高度和凹陷深度比臺(tái)階、V字形和連續(xù)矩形凹槽等大得多,這表明波狀基底不平整度的影響更為顯著。液膜隆起高度和液膜凹陷深度隨k和D的變化如圖9所示。由圖9a可知:當(dāng)1≤k≤1.2時(shí),液膜隆起高度隨k的增加(即基底周期寬度減小)而減小,而當(dāng)k≥1.2時(shí),隨k的增加基本上保持穩(wěn)定,此時(shí)余弦波表面的液膜隆起高度最大。由圖9b可知,隨著k的增加,梯形波表面的液膜凹陷深度線性減小,凹陷程度最大,而三角波表面的液膜凹陷深度整體呈振蕩減小的趨勢(shì),余弦波和鋸齒波表面的液膜凹陷深度隨k的增加略微降低。比較圖9a和圖9b發(fā)現(xiàn),當(dāng)k增大時(shí),液膜凹陷深度的變化整體比隆起高度更加明顯,因?yàn)楫?dāng)k增加,即基底的凸角和凹角彼此逐漸靠近且變得尖銳時(shí),凹角作用增強(qiáng),凸角作用減弱。因此,k增加具有增強(qiáng)液膜凹陷深度、減弱液膜隆起高度的作用。由圖9c可知:余弦波、三角波和梯形波表面的液膜隆起高度隨D的增加以接近1.7的線性增長(zhǎng)率穩(wěn)定增加;D≤0.8時(shí),鋸齒波表面的液膜隆起高度的增長(zhǎng)速率與其他波狀表面基本相同,當(dāng)D>0.8時(shí)以約為30%的增長(zhǎng)率迅速增加,液膜隆起高度急劇增大。這是因?yàn)榕c其他波狀表面相比,鋸齒波表面的鋸齒隨D的增加更加尖銳,液體局部壓力增大的幅度明顯大于其他波狀表面。由圖9d可知:當(dāng)D<1.0時(shí),波狀表面的液膜凹陷深度隨D的增加均呈線性增長(zhǎng),其中鋸齒波的增長(zhǎng)率為97%,梯形波的增長(zhǎng)率為36%,因此梯形波表面的凹陷深度最大,其余依次為余弦波、三角波和鋸齒波;當(dāng)D>1.0時(shí),4種波狀表面的液膜凹陷深度隨D的增加基本上保持不變。比較圖9c和圖9d發(fā)現(xiàn),隨著D的增加,液膜隆起高度的增長(zhǎng)率大于凹陷