新高一小班定義域與函數(shù)

第頁(yè)函數(shù)的定義域與值域函數(shù)的有關(guān)概念1．函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)．記作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．注意：1．定義域：能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數(shù)為零底不可以等于零，(7)實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問(wèn)題有意義.相同函數(shù)的判斷方法：①表達(dá)式相同（與表示自變量和函數(shù)值的字母無(wú)關(guān)）；②定義域一致(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)例題：1.求下列函數(shù)的定義域：⑴⑵2.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開_3.若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是4.函數(shù)，若，則=二．值域:函數(shù)經(jīng)典定義中，因變量的取值范圍叫做這個(gè)函數(shù)的值域,在函數(shù)現(xiàn)代定義中是指定義域中所有元素在某個(gè)對(duì)應(yīng)法則下對(duì)應(yīng)的所有的象所組成的集合。5.求下列函數(shù)的值域：⑴⑵(3)(4)3.函數(shù)圖象知識(shí)歸納(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(x，y)的集合C，叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象．C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過(guò)來(lái)，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x，y)，均在C上.一、定義域是函數(shù)y=f(x)中的自變量x的范圍。（1）分母不為零（2）偶次根式的被開方數(shù)非負(fù)。（3）對(duì)數(shù)中的真數(shù)部分大于0。（4）指數(shù)、對(duì)數(shù)的底數(shù)大于0，且不等于1（5）y=tanx中x≠kπ+π/2；y=cotx中x≠kπ等等。(6)中x二、抽象函數(shù)的定義域1.已知的定義域，求復(fù)合函數(shù)的定義域由復(fù)合函數(shù)的定義我們可知，要構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，則內(nèi)層函數(shù)的值域必須包含于外層函數(shù)的定義域之中，因此可得其方法為：若的定義域?yàn)?，求出中的解的范圍，即為的定義域。2.已知復(fù)合函數(shù)的定義域，求的定義域方法是：若的定義域?yàn)?，則由確定的范圍即為的定義域。3.已知復(fù)合函數(shù)的定義域，求的定義域結(jié)合以上一、二兩類定義域的求法，我們可以得到此類解法為：可先由定義域求得的定義域，再由的定義域求得的定義域。4.已知的定義域，求四則運(yùn)算型函數(shù)的定義域若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算結(jié)合而成的，其定義域?yàn)楦骰竞瘮?shù)定義域的交集，即先求出各個(gè)函數(shù)的定義域，再求交集。一.復(fù)合函數(shù)求定義域的幾種題型解:由題意知:解：由題意知:的定義域?yàn)榫毩?xí)聽懂了么定義域?yàn)?，定義域聽懂了么題型三：已知函數(shù)的定義域，求含參數(shù)的取值范圍解:定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)，對(duì)(1)當(dāng)K=0時(shí),3≠0成立當(dāng)時(shí)，由以上（1）（2）知，練習(xí):若函數(shù)的定義域是R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。方法總結(jié)：函數(shù)y=f[g(x)]的定義域是（a，b），求f(x)的定義域，其方法是：利用a<x<b，求得g(x)的范圍就是f(x)的定義域；函數(shù)y=f(x)的定義域是（a，b），求f[g(x)]的定義域，其方法是：利用a<g(x)<b，求得x的范圍就是f[g(x)]的定義域；函數(shù)值域八種常見求法做不出來(lái)的是SUPERBOY做不出來(lái)的是SUPERBOY5.部分分式法求的值域。解：（利用部分分式法）由，可得值域小結(jié)：已知分式函數(shù)，如果在其自然定義域（代數(shù)式自身對(duì)變量的要求）內(nèi)，值域?yàn)?；如果是條件定義域（對(duì)自變量有附加條件），采用部分分式法將原函數(shù)化為，用復(fù)合函數(shù)法來(lái)求值域。6.基本不等式法：例：求函數(shù)的值域解：原函數(shù)可化為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故值域?yàn)?.有界性法：（非負(fù)性）求函數(shù)的值域例7.求函數(shù)的值域。你丫就是不會(huì)做你丫就是不會(huì)做解：由原函數(shù)式可得：∵∴解得：故所求函數(shù)的值域?yàn)?.數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的值域。結(jié)合圖形不難得到：。例16.求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可化簡(jiǎn)得：-013-0134-4xy求的值域解法一：（圖象法）可化為觀察得值域二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問(wèn)題二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問(wèn)題，常見的有三種類型，（1）“軸定區(qū)間定”型，（2）“軸動(dòng)區(qū)間定”型，（3）“軸定區(qū)間動(dòng)”型。這三種類型都是根據(jù)對(duì)稱軸和區(qū)間的位置關(guān)系，來(lái)確定函數(shù)的值域。第（2）、（3）種類型，可按閉區(qū)間將數(shù)軸分成三個(gè)部分來(lái)分類，對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)，在區(qū)間左側(cè)或右側(cè)，只要對(duì)這三種情況討論，就可確定函數(shù)的值域。例1、（1）已知，求其值域。（2）已知，求其值域。（3）已知，求其值域。解：（1）易得值域?yàn)?。解：?）對(duì)稱軸為 (ⅰ)當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，易得值域?yàn)?ⅱ)當(dāng)時(shí)，，若 ，若，則。即當(dāng)時(shí)，值域?yàn)楫?dāng)時(shí)，值域?yàn)?。（ⅲ）?dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，，值域?yàn)榫C上所述：當(dāng)時(shí)值域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，值域?yàn)?；?dāng)時(shí)值域?yàn)椤＝猓海?），對(duì)稱軸為(ⅰ)當(dāng)即時(shí)，在上為增函數(shù)，值域?yàn)?ⅱ)當(dāng)即時(shí)，若則；若則即當(dāng)時(shí)，值域?yàn)楫?dāng)時(shí)，值域?yàn)?ⅲ)當(dāng)即時(shí)，在上為減函數(shù)，值域?yàn)榫C上所述:當(dāng)時(shí),值域?yàn)?當(dāng)時(shí)，值域?yàn)?當(dāng)時(shí)，值域?yàn)?當(dāng)時(shí),值域?yàn)槎?、形如（、不同?）的函數(shù)的值域形如（、不同為0）的函數(shù)，若恒成立，可將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次方程，用判別時(shí)法來(lái)求值域。用此方法時(shí)，需注意項(xiàng)的系數(shù)為0的情況下的值。另外，這種形式的函數(shù)，也可以用均值不等式來(lái)求值域。方法是：在分子、分母中湊次數(shù)較低的一方，再變形成可用均值不等式的形式。別問(wèn)你家喵哥例3、求函數(shù)的值域。別問(wèn)你家喵哥解法一：由原式得：當(dāng)時(shí)，由則當(dāng)時(shí)函數(shù)有意義且在內(nèi)，因此，函數(shù)的值域?yàn)榻夥ǘ河稍瘮?shù)得：（ⅰ）當(dāng)時(shí)，（ⅱ）當(dāng)時(shí)（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）且此時(shí)（ⅲ）當(dāng)時(shí)（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）且此時(shí)綜上所述:原函數(shù)的值域?yàn)椤６?、形如的函?shù)值域問(wèn)題（學(xué)完單調(diào)性再學(xué)）由于函數(shù)的圖像形如“對(duì)勾反對(duì)勾”，因此把它叫“對(duì)勾反對(duì)勾”型函數(shù)。它在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間和上單調(diào)遞減。在求其值域時(shí)，可用其單調(diào)性來(lái)解決。例2、（1）求的值域。（2）求的值域。（3）求的值域。解：（1）易得其在時(shí)取得最小值。時(shí)，值域?yàn)榻猓海?）在上為增函數(shù)，值域?yàn)榻猓海?）在時(shí)取得最小值，（ⅰ）當(dāng)即時(shí)在上為增函數(shù)，故值域?yàn)椋áⅲ┊?dāng)即時(shí)在時(shí)取得最小值，其最大值在或處取得。令則故當(dāng)時(shí)，值域?yàn)楫?dāng)時(shí)，值域?yàn)椋á＃┊?dāng)即時(shí)在為減函數(shù)，值域?yàn)榫C上所述：當(dāng)時(shí)，值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，值域?yàn)楫?dāng)時(shí)，值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，值域?yàn)?。練?xí)：1．函數(shù)y＝eq\f(x＋10,\r(|x|－x))的定義域是()A．{x|x<0}B．{x|x>0}C．{x|x<0且x≠－1}D．{x|x≠0，且x≠－1，x∈R}2．下表表示y是x的函數(shù)，則函數(shù)的值域是()x0<x<55≤x<1010≤x<1515≤x≤20y2345A.[2,5] B．NC．(0,20] D．{2,3,4,5}3．若函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)閇0,2]，則函數(shù)g(x)＝eq\f(f2x,x－1)的定義域是()A．[0,1] B．[0,1)C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)4．函數(shù)y＝eq\f(2,x－1)的定義域是(－∞，1)∪[2,5)，則其值域是()A．(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))B．(－∞，2]C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪[2，＋∞)D．(0，＋∞)5．已知a為實(shí)數(shù)，則下列函數(shù)中，定義域和值域都有可能是R的是()A．f(x)＝x2＋a B．f(x)＝ax2＋1C．f(x)＝ax2＋x＋1 D．f(x)＝x2＋ax＋16．設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，|x|≥1，,x，|x|<1，))g(x)是二次函數(shù)，若f[g(x)]的值域是[0，＋∞)，則g(x)的值域是()A．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B．(－∞，－1]∪[0，＋∞)C．[0，＋∞)D．[1，＋∞)8．(2012·南京模擬)若函數(shù)f(x)＝eq\f(x－4,mx2＋4mx＋3)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．9．若函數(shù)y＝f(x)的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，則函數(shù)F(x)＝f(x)＋eq\f(1,fx)的值域是________．不會(huì)做的是小學(xué)生三、解答題(共3個(gè)小題，滿分35分)不會(huì)做的是小學(xué)生10．求下列關(guān)于x的函數(shù)的定義域和值域：(1)y＝eq\r(1－x)－eq\r(x)；(2)x012345y23456711．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,a)－eq\f(1,x)(a>0，x>0)，(1)判斷函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的單調(diào)性；(2)若f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，求a的值．（學(xué)完單調(diào)性做）12．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)，x∈[－2，－1，,－2，x∈\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，,x－\f(1,x)，x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)).))(1)求f(x)的值域．做不出來(lái)就是我的同類(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝ax－2，x∈[－2,2]，若對(duì)于任意的x1∈[－2,2]，總存在x0∈[－2,2]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．做不出來(lái)就是我的同類13、設(shè)函數(shù)，則使得的自變量的取值范圍為（）A、B、C、D、14、函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足條件，若則__________。1、求下列函數(shù)的定義域：⑴⑵⑶2、設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開__；函數(shù)的定義域?yàn)開_______；3、若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是；函數(shù)的定義域?yàn)?。知函?shù)的定義域?yàn)?，且函?shù)的定義域存在，求實(shí)